【摘 要】數(shù)學課堂教學的過程是提出問題、解決問題、提出新問題、解決新問題的過程?？梢妴栴}的提出與解決對數(shù)學教學至關重要。數(shù)學問題鏈是指教師在課外預設，并在課堂上以多種方式呈現(xiàn)給學生的、有序的主干問題序列，它既為學生提供了數(shù)學學習的骨架，又為學生發(fā)展高水平的思維提供了可能性。數(shù)學問題鏈有助于數(shù)學知識的生成，促進學生對數(shù)學的深刻理解。一個有效的問題鏈的創(chuàng)設需體現(xiàn)整體性、思維性、主體性和發(fā)展性。

【關鍵詞】問題鏈;整體性;思維性;主體性;發(fā)展性

【作者簡介】何睦，浙江師范大學教師教育學院博士研究生，一級教師，張家港市學術帶頭人，新青年數(shù)學教師工作室成員，張家港市羅建宇名師工作室成員，主要研究方向為數(shù)學課程與教學研究。

數(shù)學家哈爾莫斯曾指出，問題是數(shù)學的心臟。數(shù)學的發(fā)展過程可以看成是以下模式：問題的提出→問題的解決→新的問題的提出→新的問題的解決……可見問題的提出與解決對于數(shù)學研究至關重要。數(shù)學課堂教學是關于數(shù)學的教學，因此，數(shù)學課堂教學的過程也可以認為是提出問題、解決問題、提出新問題、解決新問題的過程。數(shù)學新課程改革倡導“問題—建立模型—解釋、應用與拓展”的課程模式?？梢姡n程改革將問題作為數(shù)學知識產(chǎn)生的源頭，是課堂教學的起點。以問題鏈的形式開展數(shù)學教學無疑有助于數(shù)學知識的生成，促進學生對數(shù)學的深刻理解。下面筆者結合數(shù)學問題鏈的教學實踐，談談自己的一些研究和思考。

一、問題鏈的概念與內(nèi)涵

數(shù)學核心素養(yǎng)是當前數(shù)學教育課程改革的核心要素與主題，而問題鏈教學正是開展深度學習的重要途徑，同時也為核心素養(yǎng)的落地提供了現(xiàn)實載體[1]。鑒于此，越來越多的研究者關注問題鏈教學，他們有的從理論層面探討問題鏈教學與思維的關聯(lián)[2]與教學價值[3]，也有從實踐層面探討問題鏈教學設計與實施過程[4]。近年來，以浙江師范大學唐恒鈞、張維忠教授領銜的研究團隊在系統(tǒng)研究“問題”與“問題解決”的基礎上，提出了“問題鏈”的基本概念。他們認為，數(shù)學問題鏈是指教師在課外預設，并在課堂上以多種方式呈現(xiàn)給學生的、有序的主干問題序列，它既為學生提供了數(shù)學學習的骨架，又為學生發(fā)展高水平的思維提供了可能性[5]。其內(nèi)涵主要包括以下五個方面：第一，問題鏈是由主干問題組成的;第二，問題鏈中的問題是有序的;第三，問題鏈是在課外預設的，但并非線性的、僵化的;第四，問題鏈教學倡導用主干問題驅動學生思考，為學生提供冷靜思考的時間和充分表達的機會;第五，盡管問題鏈中的問題以教師課外預設為主，課堂上卻是在師生交互作用下得以呈現(xiàn)的。

二、數(shù)學教學中問題鏈創(chuàng)設的教學實踐

不管是數(shù)學概念的形成還是數(shù)學規(guī)律的建構，都離不開問題的引導?？梢哉f，問題是數(shù)學課堂教學的重要組織形式?，F(xiàn)以筆者執(zhí)教的一節(jié)市級公開課“函數(shù)的零點與方程的解”為例，談談筆者的做法和思考。

“函數(shù)的零點與方程的解”是人教A版高中數(shù)學必修第一冊第四章第五節(jié)的內(nèi)容。本節(jié)內(nèi)容要求學生了解函數(shù)的零點與方程解的關系;結合具體連續(xù)函數(shù)及其圖象的特點，了解函數(shù)零點存在定理。本節(jié)課的難點在于函數(shù)零點存在定理的導出，教學過程以“概念—定理—應用”的線索展開。因此，筆者將教學設計分解為函數(shù)零點的概念、函數(shù)零點存在定理的導出、函數(shù)零點存在定理的應用。

環(huán)節(jié)一：通過問題鏈引出函數(shù)零點的概念

問題1：下列方程有實數(shù)根嗎？

（1）x2-2x-3=0;（2）x3+x-2=0;（3）lnx+2x-6=0。

人類用智慧架設的無數(shù)座從已知通向未知的金橋中，方程的求解是其中最璀璨的一座。 數(shù)學情境的引入有兩種方式：一是從現(xiàn)實情境出發(fā)，引導學生從現(xiàn)實情境逐步抽象數(shù)學問題;二是從數(shù)學情境出發(fā)。本節(jié)課主要探討函數(shù)零點與方程的解的關系，因此從數(shù)學情境（解方程）入手，能引發(fā)學生更深層次的思考。

問題2：二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a≠0）與一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有何聯(lián)系？

（1）方程x2-2x-3=0的解為_________，函數(shù)y=x2-2x-3的圖象與x軸有_________個交點，坐標為_________。

（2）方程x2-2x+1=0的解為_________，函數(shù)y=x2-2x+1的圖象與x軸有_________個交點，坐標為_________。

（3）方程x2-2x+3=0的解為_________，函數(shù)y=x2-2x+3的圖象與x軸有_________個交點，坐標為_________。

問題3：根據(jù)問題2的研究，你有什么發(fā)現(xiàn)？

教師以學生熟悉的二次函數(shù)與一元二次方程引入，引導學生觀察、發(fā)現(xiàn)一元二次方程的根與二次函數(shù)與x軸交點的橫坐標相等這一事實，自然引出本節(jié)課的基本概念：函數(shù)的零點。

環(huán)節(jié)二：函數(shù)零點存在定理的導出

問題4：對于二次函數(shù)f（x）=x2-2x-3，觀察它的圖象，發(fā)現(xiàn)它在區(qū)間[2，4]上有零點，這時，函數(shù)圖象與x軸有什么關系？在區(qū)間[-2，0]上是否也有這種關系？

問題5：圖1的（1）（2）（3）分別為函數(shù)y=f（x）在三個不同范圍的圖象，能否僅依據(jù)其中一個圖象，得出函數(shù)y=f（x）在某個區(qū)間只有一個零點的判斷？為什么？

問題6：從二次函數(shù)圖象直觀地看，圖象只要穿過x軸函數(shù)就有零點（不穿過也不一定沒有零點），這是從圖形上來看的，但是圖形不一定準確，需要利用嚴格的數(shù)學推理得出相應的結論，那么如何從數(shù)學上更準確地描述穿過x軸？

問題4仍然從學生熟悉的二次函數(shù)入手研究連續(xù)函數(shù)在給定區(qū)間上存在零點的幾何特征：圖象穿過x軸。 但是當自變量取值范圍不同時，學生有可能會因為圖象呈現(xiàn)出的細節(jié)不同會導致錯誤的判斷。 問題5的設置意在引導學生由“形”一步步的轉向“數(shù)”的探索與研究，一個“大致”的函數(shù)圖象有時不足以說明零點問題。 因此，必須將圖形特征與代數(shù)特征相結合，以進一步說明研究函數(shù)零點存在代數(shù)特征（函數(shù)零點存在定理）的必要性。 問題6則是在此基礎上的進一步追問。

問題7：觀察下面的函數(shù)圖象（如圖2），并完成下列思考。

① 函數(shù)記為y=f（x），在[-2，-1]是否有零點？在[1，2]呢？為什么？

② 任取一個區(qū)間[a，b][-2，-1]，當f（a），f（b）的值滿足什么條件時，函數(shù)y=f（x）在（a，b）內(nèi)一定有零點？

③ 若f（a）f（b）<0，則y=f（x）在區(qū)間（a，b）上一定有零點嗎？

問題8：由問題7的探究，你能給出函數(shù)在給定區(qū)間存在零點的代數(shù)特征嗎？

教師再一次由函數(shù)的圖象，逐步引導學生導出函數(shù)零點存在的代數(shù)表征。在該過程中，由“形”到“數(shù)”是學生認知的一大難點，要給足學生冷靜思考的時間與充分表達的機會。

問題9：辨析下列命題。

① 如果函數(shù)y=f（x）的圖象與x軸有公共點，則函數(shù)y=f（x）是否一定存在零點？

② 如果函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[a，b]上的圖象是一條不間斷的曲線，且f（a）f（b）<0，那么函數(shù)y=f（x）在（a，b）上是否有唯一零點？

③ 如果函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[a，b]上的圖象是一條不間斷的曲線，且是單調函數(shù)，f（a）f（b）<0，那么函數(shù)y=f（x）在（a，b）上是否有唯一零點？

④ 如果函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[a，b]上的圖象是一條不間斷的曲線，函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a，b）有零點，那么f（a）f（b）<0是否成立？

⑤ 如果函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[a，b]上的圖象是一條不間斷的曲線，函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a，b）有唯一零點，那么f（a）f（b）<0是否成立？

學生在經(jīng)歷了問題7和問題8后得到的定理內(nèi)容往往不夠完整，學生建構的定理可能為“函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[a，b]上滿足f（a）f（b）<0，則函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a，b）上有一個零點”等，往往會忽略“連續(xù)不間斷”“存在零點”這兩個關鍵要素。因此，通過對定理的辨析，教師不斷地引導學生分析函數(shù)零點存在定理的本質屬性，排除非本質屬性對定理認知的干擾。

環(huán)節(jié)三：函數(shù)零點存在定理的應用

問題10：已知函數(shù)y=f（x）的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且有如下對應值表（見表1）。

① 函數(shù)y=f（x）在哪幾個區(qū)間內(nèi)一定有零點？為什么？

② 能判斷出有幾個零點嗎？為什么？

問題11：求方程lnx+2x-6=0的實數(shù)解的個數(shù)。

思考1 為什么由f（2）·f（3）<0還不能說明函數(shù)只有一個零點？

思考2 能通過計算，進一步縮小函數(shù)零點所在的范圍嗎？你能提出什么問題？

問題10與問題11是對函數(shù)零點存在定理的直接應用，意在鞏固深化學生對定理內(nèi)容的認識，進一步強調定理使用的條件與關鍵。 問題10的函數(shù)以列表法形式給出，引導學生觀察數(shù)據(jù)特征進而做出判斷;問題11的函數(shù)則以解析式形式給出，從數(shù)與形兩個角度幫助學生理解解題方法;思考2則為下一節(jié)課利用二分法求方程的近似解埋下伏筆。

三、數(shù)學教學中問題鏈創(chuàng)設的有效性思考

基于“函數(shù)的零點與方程的解”的教學，筆者對問題鏈創(chuàng)設的教學實踐做以下思考。

（一）問題鏈的創(chuàng)設需體現(xiàn)整體性

數(shù)學課堂教學一般會以某條固定的結構線索展開，如本課例是按照“概念—定理—應用”的線索開展的。因此，在開展問題鏈設計時，教師必須整體把握教學內(nèi)容的結構線索，從整體視角對教學內(nèi)容進行解構與設計。具體來說，要熟知本節(jié)內(nèi)容的教學目標、教學重點與難點，本節(jié)內(nèi)容在整節(jié)或整章中的地位和作用，本節(jié)內(nèi)容在整個數(shù)學分支學科中的價值，以及通過本節(jié)課學生能獲得什么樣的基本知識、基本技能、基本數(shù)學思想方法、基本數(shù)學活動經(jīng)驗等。只有通過對教學內(nèi)容的整體理解和把握，才能在問題鏈的設計中得以體現(xiàn)。因此，問題鏈的設計首先應指向本節(jié)課的教學主題與教學內(nèi)容，在對本節(jié)課結構線索解構的基礎上進行分解與劃分。同時還應兼顧本節(jié)課在本章或本學科分支中的地位與價值，以及通過本節(jié)課如何培養(yǎng)和發(fā)展學生的數(shù)學核心素養(yǎng)，以實現(xiàn)教學整體性的同時真正實現(xiàn)數(shù)學教學的育人價值。

（二）問題鏈的創(chuàng)設需體現(xiàn)思維性

蘇聯(lián)學者加里寧曾說，數(shù)學是思維的體操。數(shù)學學習要以學生一定的思維發(fā)展水平為前提，反過來，學習數(shù)學又能在很大程度上促進學生思維的發(fā)展。因此，在問題鏈設計時，教師必須考慮學生的認知水平與思維水平，以體現(xiàn)思維性。具體來說，問題鏈的創(chuàng)設不能因低估學生認知能力與思維發(fā)展的水平而降低教學要求，如此不僅不能產(chǎn)生合適的課堂認知沖突而使課堂枯燥無味，也不利于學生數(shù)學思維能力的發(fā)展。與此同時，問題鏈的創(chuàng)設也不能難度跨度過大，這樣不僅不能激發(fā)學生的求知欲望，還會加重學生的學業(yè)負擔，從而導致學生厭惡數(shù)學的可能性。由此看來，問題鏈的創(chuàng)設要有思維的遞進，利用問題鏈給學生搭建合適的思維臺階，在學生的“思維發(fā)展區(qū)”的范圍內(nèi)設置合理、適當?shù)膯栴}鏈。在向學生展示問題鏈時，教師要根據(jù)學生的認知水平和思維能力做出精心的設計，既要呈現(xiàn)數(shù)學對象的本質屬性，還應排除數(shù)學對象非本質屬性對學生認知的干擾。

（三）問題鏈的創(chuàng)設需體現(xiàn)主體性

問題鏈光靠教師的設計還不足以保證問題鏈創(chuàng)設的有效性，學生親歷問題鏈的生成過程才是關鍵，因此問題鏈的創(chuàng)設需正確處理預設與生成的關系，需體現(xiàn)學生的主體性。學生的主體性主要表現(xiàn)在以下兩個方面。

第一，問題鏈的生成必須有學生積極的思維參與。當前的數(shù)學課堂教學，有些數(shù)學活動實際上只是學生機械地執(zhí)行活動，很多時候學生只是被動地接受教師的指令，沒有學生主體性的體現(xiàn)。課堂教學看似有生成，但只是教師的生成，并非是學生的

生成。問題鏈的創(chuàng)設要多給學生留足冷靜思考的時機和空間，引導學生多用規(guī)范的數(shù)學語言表達。

第二，問題鏈的生成必須根據(jù)學生課堂的實際情況進行調整。問題鏈的預設只是教師根據(jù)自身教育教學的實踐經(jīng)驗開展的設計。但同樣的教學內(nèi)容，不同的教學對象、教學環(huán)境抑或是引導語都會有不同的生成。因此，教師必須隨時根據(jù)學生在課堂中的實際應答做出相應的調整。教師要在課堂中不斷地磨煉自己并形成教學智慧，從而更好地應對課堂中出現(xiàn)的預設與生成的偏差。

（四）問題鏈的創(chuàng)設需體現(xiàn)發(fā)展性

教育部于2013年啟動了普通高中課程修訂工作，于2018年初正式發(fā)布了各科的普通高中課程標準的修訂版，這一次的修訂進一步凝練了學科核心素養(yǎng)、更新了學科的教學內(nèi)容、研制了學科的學業(yè)質量標準、進一步增強了標準的指導性。課程標準明確提出數(shù)學教學的總目標之一是逐步學會用數(shù)學的眼光觀察世界，發(fā)展數(shù)學抽象、直觀想象素養(yǎng);用數(shù)學的思維分析世界，發(fā)展邏輯推理、數(shù)學運算素養(yǎng);用數(shù)學的語言表達世界，發(fā)展數(shù)學建模、數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)，增強創(chuàng)新意識和數(shù)學應用能力[6]?？梢姅?shù)學核心素養(yǎng)的培養(yǎng)應成為數(shù)學教師進行教學設計的根本出發(fā)點，數(shù)學教學必須直接指向學生數(shù)學核心素養(yǎng)的提升。因此，問題鏈的創(chuàng)設必須體現(xiàn)發(fā)展性，即要兼顧學生數(shù)學核心素養(yǎng)的發(fā)展和關鍵能力的提升。教師應充分開展對課程標準的研究，深入把握培養(yǎng)學生的哪些數(shù)學核心素養(yǎng)和培養(yǎng)到什么程度等問題，深刻理解課程標準中數(shù)學核心素養(yǎng)的內(nèi)涵與數(shù)學素養(yǎng)水平的劃分標準，把握對學生的總體期望，將課程標準中的核心素養(yǎng)的內(nèi)涵和水平層次具化為問題鏈設計的每個數(shù)學活動，以更好地實現(xiàn)學科育人的總目標。

參考文獻：

[1]唐恒鈞，張維忠，陳碧芬.基于深度理解的問題鏈教學[J].教育發(fā)展研究，2020（4）：53-57.

[2]黃榮光.問題鏈方法與數(shù)學思維[J].數(shù)學教育學報，2003（2）：35-37.

[3]殷堰工.試論問題鏈在數(shù)學教學中的作用[J].中學數(shù)學月刊，2008（10）：1-4.

[4]唐恒鈞，黃輝.數(shù)學問題鏈教學設計與實施的三個關鍵[J].中學數(shù)學，2020（5）：78-80.

[5]唐恒鈞，張維忠.數(shù)學問題鏈教學的理論與實踐[M].上海：華東師范大學出版社，2021.

[6]中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2018.

（責任編輯：陸順演）