李赟

【摘要】實施單元整體教學設(shè)計，有助于學生構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)的同時提高思維品質(zhì)。良好的思維品質(zhì)一旦形成，就會進入良性循環(huán)，處于自主建構(gòu)的狀態(tài)，從而成為推動學生個體健康發(fā)展的核心驅(qū)動力。因此，研究單元整體設(shè)計的策略具有重要意義。本研究以“直線與方程”一單元的教學設(shè)計為例，從教學目標確定、教學要素分析以及教學流程設(shè)計三個層面，討論了單元整體設(shè)計的步驟和流程。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學；單元設(shè)計；“直線與方程”

【中圖分類號】G633.6【文獻標志碼】A【文章編號】1004—0463（2022）09—0116—04

目前，大部分教師的教學設(shè)計拘泥于單課時內(nèi)容的就課論課，一方面缺少了整體上的把握，另一方面對各個教學要素的選擇和應(yīng)用缺乏回旋余地。而單元教學理念的應(yīng)用，有效解決了上述問題。它與傳統(tǒng)單課時教學相比較，更具有系統(tǒng)性，更有利于學生數(shù)學知識網(wǎng)絡(luò)的構(gòu)建，更有利于學生數(shù)學核心素養(yǎng)的提升[1]。下面，筆者以“直線與方程”一單元的教學設(shè)計為例，就如何在分析課標、學情、教材等基礎(chǔ)上，設(shè)計整單元教學流程，談?wù)勛约旱捏w會。

教學目標是課堂教學的靈魂，在教學活動中發(fā)揮著指向、激勵和評價等多方面的作用[2]。在教學設(shè)計中科學、合理地確定教學目標，對教學活動的順利進行具有十分重要的作用。

首先，對教學內(nèi)容，主要側(cè)重于了解整單元知識在整個高中數(shù)學學習中的地位以及本單元的重難點知識，同時包括例題、習題及它們承載的方法、規(guī)律和結(jié)果的分析。其次，對學生，主要通過觀察、提問、測試等方式，分析學生的知識準備情況、能力水平、身心成熟程度和學習動力狀態(tài)等。最后，在此基礎(chǔ)上，確定單元教學目標。

比如，教學“直線與方程”一單元之前，筆者通過課前知識清單填寫以及課前小測試，了解了學生的知識儲備情況，發(fā)現(xiàn)大部分學生存在數(shù)形轉(zhuǎn)化能力低下、沒有領(lǐng)悟方程思想等問題。同時，考慮到這一單元的知識對學生而言較為抽象。筆者確定本單元的教學目標為：用解析幾何的思路和方法研究直線問題，建立平面直角坐標系；通過研究直線方程所具有的性質(zhì)，從而得出直線的性質(zhì)；將幾何問題代數(shù)化，初步給學生滲透用代數(shù)方法解決幾何問題的方法，體會數(shù)形結(jié)合的思想。

1.對教學內(nèi)容的整體分析。不僅要分析教學重難點，還要分析教學內(nèi)容在整個高中數(shù)學中的地位和作用。同時，還要對比新舊教材內(nèi)容容量、課時等各方面的不同，為教學方案的設(shè)計奠定良好的基礎(chǔ)。

比如，設(shè)計“直線與方程”一單元的教學方案時，筆者主要分析了以下內(nèi)容：

（1）本單元在高中數(shù)學中的地位與作用。本單元的內(nèi)容是第四章圓與方程以及選修中圓錐曲線的學習基礎(chǔ)，同時是用圖解法解決線性規(guī)劃問題的知識鋪墊，也是由“等”過渡到“不等”的數(shù)學基礎(chǔ)，可以說本章是高中數(shù)學體系中的“交通樞紐”。

（2）本單元的教學重難點。教學重點：以解析幾何為基點，通過直線的傾斜角與斜率得到直線方程；根據(jù)斜率判定兩條直線平行與垂直、相交以及得出交點坐標。教學難點：一般式下兩直線平行或垂直位置關(guān)系的判斷問題；利用等面積法推導點到直線的距離公式。

（3）本單元新舊教材對比。把新舊教材作比較后發(fā)現(xiàn)，就內(nèi)容而言，舊教材按照學生知識掌握的難易程度依次呈現(xiàn)，而新教材以數(shù)形結(jié)合思想為貫穿全章節(jié)的主線，在平面直角坐標系中，通過直線的具體圖象，確定直線的代數(shù)性質(zhì)和幾何性質(zhì)，符合學生的認知規(guī)律。這就要求教師在設(shè)計教學方案時，要設(shè)計具有“坡度”的問題，以問題引導學生的思路，讓他們通過探究自己獲得知識。

在內(nèi)容安排上也有微調(diào)，與舊教材相比較，兩條直線平行與垂直的判定放在了直線方程之前，刪了兩直線的夾角與曲線和方程的關(guān)系等相關(guān)內(nèi)容，開設(shè)了“思考”“觀察”“探究”等欄目，穿插了“閱讀與思考”等內(nèi)容，增加了教材旁注。說明新教材更注重學生數(shù)學核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，這就要求教師要轉(zhuǎn)變以前教教材的舊思想，要重視學生各種能力的培養(yǎng)，尤其要重視發(fā)揮學生的主體作用。

2.對課程標準的分析。新課程標準是教學的導航，認真研讀新課程標準，有助于順利完成以下教學目標：（1）滲透并引導學生用代數(shù)方法研究幾何問題。（2）熟悉確定直線的兩個條件和兩種方法，明確直線方程的系數(shù)確定直線的幾何特征，斜率和截距決定直線的位置關(guān)系。（3）幫助學生領(lǐng)悟數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想。

3.對學情的分析。（1）知識儲備與能力提升。學生在初中已經(jīng)學習了一次函數(shù)，高中初步學習了立體幾何相關(guān)知識，既掌握了代數(shù)解題方法，又獲得了幾何感性認識。在此基礎(chǔ)上學習直線與方程，可以說是對點、直線的再認識、再深化。通過代數(shù)計算結(jié)果反饋直線位置關(guān)系，讓學生體會幾何問題代數(shù)化的思維方法。（2）突出問題。雖然在立體幾何中出現(xiàn)過兩個平面所成的二面角α的范圍是：0°≤α≤180°，但未曾求過大于90°的角度問題，且教材上從未出現(xiàn)過此類型的例題或習題。初中階段學習三角函數(shù)的定義僅局限于直角三角形，沒有涉及過求鈍角的正切值和0°角的正切值，而誘導公式等內(nèi)容未學。

因此，教師在教學時應(yīng)遵循以下原則：一是由特殊到一般的原則。體現(xiàn)在先學習直線方程的幾種特殊形式，再研究具體的幾何特征，而后給出直線方程的一般式。二是實踐性原則。從本章開始設(shè)計的實際問題，到后來在探究發(fā)現(xiàn)中的魔術(shù)師的地毯問題，都注重學生應(yīng)用數(shù)學知識解決實際問題能力的培養(yǎng)。三是數(shù)形結(jié)合的原則。本章始終貫穿數(shù)形結(jié)合思想，教師要引導學生在圖形的研究過程中注意代數(shù)方法的使用，在代數(shù)方法的使用過程中加強與圖形的聯(lián)系，以培養(yǎng)學生數(shù)形結(jié)合的意識。

根據(jù)高中學生易于控制自身注意力、樂于合作探究、勤于思考與發(fā)現(xiàn)等特點，本單元采用基于校情的教學方法——“學、問、思、辯、行”五字教學法。教學中，通過嘗試解決設(shè)置的問題，讓學生經(jīng)歷“獨立思考——師生交流——歸納提升”的學習過程。教師在學生獨立完成的基礎(chǔ)上，引導學生對基礎(chǔ)知識歸納、總結(jié)，并對易錯、易混知識通過問題驅(qū)動的方式引導學生辨析、梳理。為了突破難點，本單元設(shè)計了探究與發(fā)現(xiàn)環(huán)節(jié)，選擇了一個幾何問題和一個代數(shù)問題，設(shè)置了“獨立思考——小組合作——交流分享”的學習流程。通過該環(huán)節(jié)，讓學生體會代數(shù)和幾何之間的關(guān)系，形成數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化化歸思想。

本單元教學應(yīng)注意以下幾點：一是直線方程的表示形式由特殊到一般，教學中特別要注意各種直線方程的使用條件，以及不同形式直線方程的特點，加深對不同形式直線方程的理解。二是直線方程的一般式反映了直線方程在形式上的特點，教學中教師應(yīng)充分揭示直線方程本質(zhì)屬性，建立二元一次方程與直線的對應(yīng)關(guān)系。在含參數(shù)的直線方程的一般式下研究兩直線平行與垂直是本章的教學重點和難點。在教學中，教師應(yīng)注重引導學生分析解題思路，培養(yǎng)學生的數(shù)學思維能力和分類討論的意識，為后續(xù)學習“曲線方程”打下基礎(chǔ)。三是讓學生明白確定一條直線所需的條件，感受直線的方向向量。同時，讓學生深刻理解截距的定義。

結(jié)合教材知識內(nèi)容和教學目標，本單元的教學環(huán)節(jié)設(shè)計如下：

探究1：設(shè)直線l的斜率k滿足∣k∣<1，指出直線l的傾斜角α的取值范圍。

師：傾斜角為銳角時，斜率正負如何？傾斜角增大時，斜率如何變化？傾斜角為90°時，斜率如何？

設(shè)計意圖：通過探究1歸納傾斜角、斜率的概念和它們之間的關(guān)系；通過問題驅(qū)動學生經(jīng)歷“數(shù)”與“形”對應(yīng)的過程，領(lǐng)悟數(shù)形結(jié)合思想。

師：兩條直線垂直時，它們斜率的乘積都是-1？平行線間的距離公式是如何推導的？你學過哪些距離公式？你認為所學距離公式中最核心的是哪一個？

設(shè)計意圖：引導學生體會：方程中的代數(shù)要素（參數(shù)a）如何影響著兩條直線的幾何要素（它們的位置關(guān)系），感悟數(shù)形結(jié)合思想。

通過探究2研究兩條直線之間的位置關(guān)系，交點坐標及距離公式；問題一二的設(shè)置是為了使學生對所學知識有更深入的認識，這是章節(jié)小結(jié)的重要目的之一。此時，我們可以借助對探究2中問題的思考，再拋出兩個問題：問題1針對直線系方程，問題2針對點到直線的距離公式的幾何意義進行深入研究。學生完成這兩個問題之后，本節(jié)知識將會達到全面的升華。

問題1：求經(jīng)過兩條直線2x-3y+10 = 0和3x+ 4y -2=0的交點，且垂直于直線3x-2y+4= 0的直線方程；求經(jīng)過兩條直線2x+y-8=0和x-2y +2 =0的交點，且平行于直線4x-3y-7=0的直線方程；求經(jīng)過兩條直線2x+y-8 =0和x-2y+2=0的交點，并且經(jīng)過點P（3，5）的直線方程。

設(shè)計意圖：逐步滲透“數(shù)”與“形”之間的轉(zhuǎn)化意識，為盡早形成數(shù)形結(jié)合意識打下基礎(chǔ)。

探究4：證明三角形兩邊中點所連線段平行于第三邊且等于第三邊的一半。

師：在初中我們用平面幾何知識能夠完成以上證明，那么同學們能否用代數(shù)方法完成以上證明呢？

設(shè)計意圖：引導學生如何使用代數(shù)方法刻畫距離和兩條直線的位置關(guān)系，讓學生經(jīng)歷把幾何問題代數(shù)化，用坐標表示點，用方程表示直線；通過直線方程斜率之間的關(guān)系，得出直線的位置關(guān)系；滲透轉(zhuǎn)化和化歸的數(shù)學思想方法。

設(shè)計意圖：引導學生觀察代數(shù)式的結(jié)構(gòu)，發(fā)掘它的幾何背景，從而利用幾何直觀化解該問題。學生經(jīng)歷了將幾何問題代數(shù)化后，那么自然遇到代數(shù)問題，會想到它背后的幾何背景，探究發(fā)現(xiàn)“數(shù)”與“形”之間的密切聯(lián)系。

總之，“直線與方程”作為高中平面解析幾何的第一章，既是對初中所學“一次函數(shù)”的延展，又是后續(xù)學習“圓與方程”“圓錐曲線與方程”的基石，它起著承上啟下的作用。在用有序?qū)崝?shù)對表示點之后，直線作為平面中最簡單的圖形，它的坐標化既是自然延續(xù)，又是圓與圓錐曲線坐標化的前提。這體現(xiàn)了教材編排的系統(tǒng)性，以及由易到難、由淺入深的編排特點。而坐標法作為連接“形”與“數(shù)”的橋梁，集中體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想。因此，本章的學習中，教師既要對本單元主要內(nèi)容進行梳理，使學生形成系統(tǒng)的知識結(jié)構(gòu)，又要通過重溫坐標法研究幾何圖形的基本思想，為后續(xù)數(shù)學學習打好基礎(chǔ)。

參考文獻

[1]許薇嫣.直線與方程單元學習策略探究[J].數(shù)理化學習（高一二版），2018（09）：43-44.

[2]雷曉莉，吳鵬，高軍，等.單元教學模式的構(gòu)建與實踐——“直線的交點坐標與距離公式”單元教學設(shè)計[J].中小學數(shù)學（高中版），2013.

（本文系2021年度甘肅省“十四五”教育科學規(guī)劃課題“核心素養(yǎng)視域下的高中數(shù)學概念課教學策略研究”的研究成果，課題立項號：GS[2021]GHB1142）

編輯：謝穎麗