摘要：“王師傅賣鞋問題”的解答情況反映出，當(dāng)前“有理數(shù)的加減法”的教學(xué)更多地關(guān)注了有理數(shù)加減法的法則等純粹數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)，而忽略了對有理數(shù)和加減法實(shí)際意義的理解，沒有培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題的能力。對此，給出三條教學(xué)建議：“正數(shù)和負(fù)數(shù)”的教學(xué)，要幫助學(xué)生體會數(shù)學(xué)抽象，理解運(yùn)算對象;“有理數(shù)加減運(yùn)算法則”的教學(xué)，要在“同化”與“順應(yīng)”中促進(jìn)學(xué)生系統(tǒng)理解算理;“有理數(shù)加減法的應(yīng)用”的教學(xué)，要在主客體的變換中幫助學(xué)生學(xué)會數(shù)學(xué)建模。

關(guān)鍵詞：有理數(shù)的加減法;數(shù)學(xué)抽象;算理;數(shù)學(xué)建模

本文系江蘇省中小學(xué)教學(xué)研究第十三期立項(xiàng)課題“發(fā)展農(nóng)村初中學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的實(shí)踐研究”（編號：2019JK13L181）與“農(nóng)村初中生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)培塑的實(shí)踐研究”（編號：2019JK13L170）的階段性研究成果。“有理數(shù)的加減法”是初中數(shù)學(xué)最先學(xué)習(xí)的、最為基本的“數(shù)的運(yùn)算”知識，也是幾乎所有學(xué)生都能“學(xué)好”的知識——各地中考試卷中的相關(guān)試題幾乎都是“送分題”。但是，學(xué)生真的學(xué)好“有理數(shù)的加減法”了嗎？本文通過對“王師傅賣鞋問題”（具體如下）解法與解答情況的分析，試著回答這個問題，并由此談一談“有理數(shù)的加減法”的教學(xué)。

王師傅是賣鞋的，一雙鞋進(jìn)價(jià)30元，甩賣20元。一位顧客來買鞋，給了一張50元，王師傅沒有零錢，于是找鄰居換了50元。事后，鄰居發(fā)現(xiàn)那一張50元是假幣，王師傅又賠了鄰居50元。請問：王師傅一共虧了多少錢？

一、解法的分析

結(jié)合有理數(shù)（正負(fù)數(shù)）和加減法的實(shí)際意義，可以對這道題的條件做全面的分析。假設(shè)收入為正，支出為負(fù)，我們可以具體分析條件闡述的每個行為給各個主體帶來的收支影響，然后分別將各個主體（只有意義相同的量才可以相加減）的各項(xiàng)收支加起來（因?yàn)榧拥臄?shù)可以是負(fù)數(shù)，所以最終的運(yùn)算包括減法），得到各個主體最終的收支。分析的過程和結(jié)果如表1所示（其中，假幣的價(jià)值是0）。

由此，在題目只要求王師傅一共虧了多少錢的情況下，完整的列式解法（解法1）是0-0+50-30-30+0-50=-60（元）。在此，若不考慮收支假幣以及抵消對鄰居的收支，則節(jié)約（縮略）的列式解法（解法2）是-30-30=-60（元）。當(dāng)然，若假設(shè)支出為正，則是30+30=60（元）;若轉(zhuǎn)換考慮顧客的收入就是王師傅的支出（因?yàn)猷従邮罩嗟郑?，則也是30+30=60（元）。以上式子中的一個“30”也都可以寫成“50-20”。

此外，還有一種統(tǒng)整考慮的解法（解法3）：收到假幣虧50元（買賣需要用同等價(jià)值物品和找錢交換），賣出一雙鞋子虧30-20=10（元）（低于進(jìn)價(jià)甩賣本身要虧本），因此解法是50+10=60（元）。這里的“10”也可以寫成“30-20”。

可見，解決這道題需要運(yùn)用的，主要不是有理數(shù)加減法的法則，而是有理數(shù)和加減法的實(shí)際意義。進(jìn)一步來看，這道題考查的并不是純粹的數(shù)學(xué)知識（用到的數(shù)學(xué)知識非常簡單），而是應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題的能力。

首先，解決本題時(shí)，要將實(shí)際問題抽象為“互為相反意義的量”的數(shù)學(xué)問題。如果能正確地用“正負(fù)數(shù)”來表示，那么，列式將更簡單，只需要考慮加法（求代數(shù)和）。當(dāng)然，如果沒有學(xué)過“正負(fù)數(shù)”，只要理解實(shí)際意義，也可很方便地用加減混合運(yùn)算（求絕對值的和或差）解決本題。

其次，解決本題時(shí)，準(zhǔn)確理解運(yùn)算的對象，即參與運(yùn)算的所有數(shù)據(jù)的實(shí)際意義，尤其重要。其實(shí)，從下文解答情況的分析中，我們可以發(fā)現(xiàn)，解決本題時(shí)沒有因?yàn)椤皵?shù)值運(yùn)算”出錯的，都是因?yàn)椤耙饬x運(yùn)算”出錯的，即對意義不同（如行為主體不同、收支方向不同）或?qū)σ饬x有重復(fù)、遺漏情況的數(shù)據(jù)進(jìn)行加（減）法運(yùn)算。

再次，解決本題時(shí)，要選擇合適的對象（王師傅、顧客、鄰居）進(jìn)行分析，得出如“王師傅的支出-王師傅的收入=王師傅虧的”“顧客的收入-顧客的支出=顧客賺的”“三個人中，一些人賺的=另一些人虧的（系統(tǒng)收支平衡，沒有外部收支）”“鄰居不賺不虧，所以，王師傅虧的=顧客賺的”等模型，然后選擇適當(dāng)?shù)哪Ｐ土惺竭\(yùn)算。

二、三個群體解答情況的分析

這道題曾經(jīng)以多種版本在網(wǎng)絡(luò)上流傳，成為一些數(shù)學(xué)教師以及數(shù)學(xué)愛好者甚至全民用來檢測智力水平的熱題。筆者曾經(jīng)參與某知名數(shù)學(xué)教師QQ群對本題的討論，并利用本題在筆者所任教的七年級學(xué)生中進(jìn)行測試，還在筆者所指導(dǎo)的數(shù)學(xué)師范生中進(jìn)行調(diào)查。下面簡述不同群體對本題的解答情況。

數(shù)十位教師參與了QQ群里的討論，分別來自5個省的8個地級市的10多位教師做了有效發(fā)言。筆者將他們對本題的解答情況做了整理、統(tǒng)計(jì)，得到表2（表中的“算式含義解釋”是教師給出的，不是筆者推測的）?？梢姡處煹慕Y(jié)果正確率大概是30%，過程正確率大概是20%。

在七年級上學(xué)期第一節(jié)數(shù)學(xué)課上，筆者對尚未學(xué)習(xí)“有理數(shù)的加減法”的學(xué)生進(jìn)行了測試。他們對本題的解答情況如下頁表3所示（表中的“算式含義解釋”是學(xué)生給出的，不是筆者推測的）。可見，學(xué)生的結(jié)果正確率大概是16%，過程正確率大概是12%。

在為兩所大學(xué)數(shù)學(xué)教育（師范）專業(yè)本科生做教學(xué)實(shí)踐指導(dǎo)方面的報(bào)告的過程中，筆者曾經(jīng)利用本題做了調(diào)查。因?yàn)槭乾F(xiàn)場調(diào)查，不便了解觀眾的思維過程，所以，只統(tǒng)計(jì)了結(jié)果正確率。結(jié)果，一所學(xué)校將近60名師范生的正確率竟然為0，另一所學(xué)校將近80名師范生的正確率也不足30%，而兩所學(xué)校統(tǒng)算的正確率只有17%。

綜上，解答本題時(shí)，教師（在職教師）、師范生（未來教師）和七年級新生的正確率都很低。而絕大部分錯誤都是因?yàn)樗兴闶剑ㄋ鲞\(yùn)算）沒有實(shí)際意義（其中有些量不能相加減）。這充分說明了，很多的“有理數(shù)的加減法”教學(xué)，更多地關(guān)注了有理數(shù)加減法的法則等純粹數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)，而忽略了有理數(shù)和加減法實(shí)際意義的理解，沒有培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題的能力。

三、對“有理數(shù)的加減法”教學(xué)的啟示

通過對以上案例的分析，我們不難發(fā)現(xiàn)，“有理數(shù)的加減法”的教學(xué)，特別要注意幫助學(xué)生理解有理數(shù)和加減法的實(shí)際意義，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題的能力。為此，要做好以下幾點(diǎn)：

（一）“正數(shù)和負(fù)數(shù)”的教學(xué)：幫助學(xué)生體會數(shù)學(xué)抽象，理解運(yùn)算對象

有理數(shù)的加減法與小學(xué)的正數(shù)加減法主要的區(qū)別在于引入了“負(fù)數(shù)”的概念。這就使得學(xué)生在理解運(yùn)算對象，尤其是復(fù)雜情境中的運(yùn)算對象時(shí)，容易產(chǎn)生混亂。所以，正負(fù)數(shù)的概念是有理數(shù)加減法的知識起點(diǎn)，要真正學(xué)好有理數(shù)的加減法必須先學(xué)好正負(fù)數(shù)的概念。

1.注重正負(fù)數(shù)概念的形成性，幫助學(xué)生體會數(shù)學(xué)抽象

在實(shí)際教學(xué)中，正負(fù)數(shù)的概念并未得到應(yīng)有的重視。不少初中教師因?yàn)閷W(xué)生在小學(xué)已經(jīng)學(xué)過正負(fù)數(shù)，所以在教學(xué)中一帶而過，使得不少學(xué)生只是通過少量特征明顯的實(shí)例就抽象出正負(fù)數(shù)的概念，缺乏從較為復(fù)雜的情境中抽象正負(fù)數(shù)概念的經(jīng)歷，從而導(dǎo)致在面臨具體問題時(shí)，沒有使用正負(fù)數(shù)解決問題的意識，或不能正確地使用正負(fù)數(shù)表征問題。事實(shí)上，根據(jù)筆者事后的訪談，解決本題時(shí)，有意識地使用正負(fù)數(shù)知識的人不到20%，大部分人的解法停留在正數(shù)運(yùn)算層面?？梢姡凇罢龜?shù)和負(fù)數(shù)”的教學(xué)中，教師不但要揭示概念的形成過程，而且要讓學(xué)生參與到概念的生成過程中;既要提供大量正負(fù)數(shù)的實(shí)例讓學(xué)生提煉、抽象，還要讓學(xué)生舉出（或制造）大量的實(shí)例以加深理解。

2.揭示正負(fù)數(shù)概念的相對性，幫助學(xué)生理解運(yùn)算對象

數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)主要表現(xiàn)為“理解運(yùn)算對象，掌握運(yùn)算法則，探究運(yùn)算思路，求得運(yùn)算結(jié)果”。在實(shí)際教學(xué)中，教師往往對“掌握運(yùn)算法則，探究運(yùn)算思路，求得運(yùn)算結(jié)果”關(guān)注較多，而對“理解運(yùn)算對象”關(guān)注不夠。表現(xiàn)在上述案例中，就是計(jì)算的結(jié)果正確，但是所列算式卻不完全正確。在正負(fù)數(shù)概念的教學(xué)中，教師往往只強(qiáng)調(diào)正負(fù)數(shù)的“絕對性”，而忽略正負(fù)數(shù)的“相對性”。具體到本題中，所謂的“絕對性”是指將“盈利為正”“虧損為負(fù)”絕對化地作用于單一對象（如王師傅），缺乏變通理解。所謂的“相對性”是指同一個數(shù)據(jù)對不同的對象有不同的意義，也就是可以有不同的正負(fù)性（如表1中各行所示）。所以，在正負(fù)數(shù)概念的教學(xué)中，教師要通過實(shí)例讓學(xué)生理解正負(fù)數(shù)的“絕對性”和“相對性”之間的相互依存關(guān)系，幫助學(xué)生理解運(yùn)算對象。

（二）“有理數(shù)加減運(yùn)算法則”的教學(xué)：在“同化”與“順應(yīng)”中促進(jìn)學(xué)生系統(tǒng)理解算理

在“有理數(shù)的加減法”的教學(xué)中，多數(shù)教師都明白小學(xué)的正數(shù)加減法是有理數(shù)加減法的基礎(chǔ)，正數(shù)范圍內(nèi)的運(yùn)算法則與運(yùn)算律在有理數(shù)范圍內(nèi)仍然適用，知道用正數(shù)的加減法“同化”有理數(shù)的加減法，但是，缺少對正數(shù)的加減法也符合有理數(shù)的加減法所有規(guī)則的“順應(yīng)”過程的分析。這種只強(qiáng)調(diào)“同化”、不強(qiáng)調(diào)“順應(yīng)”的做法，會使學(xué)生原有的知識與新學(xué)的知識難以銜接，導(dǎo)致學(xué)生難以站在更高的角度理解舊知、接受新知，更有甚者會因?yàn)橹粡?qiáng)調(diào)“同化”而變得因循守舊、不思創(chuàng)新。所以，在教學(xué)過程中，既要用原有的知識“同化”新的問題，更要讓原有的方法“順應(yīng)”新的情況，保證運(yùn)算法則前后的一致性。只有這樣，才能使學(xué)生對所學(xué)運(yùn)算法則知其然并知其所以然，獲得對運(yùn)算法則較為系統(tǒng)的理解。最后再提及一點(diǎn)，不少學(xué)生在解決相關(guān)問題時(shí)一律回到小學(xué)的正數(shù)加減知識和方法上，就是因?yàn)椤绊槕?yīng)”工作沒有做好。

（三）“有理數(shù)加減法的應(yīng)用”的教學(xué)：在主客體的變換中幫助學(xué)生學(xué)會數(shù)學(xué)建模

教學(xué)“有理數(shù)加減法的應(yīng)用”時(shí)，教師通常設(shè)置單一主體的問題情境。比如，“出租車行駛位置問題”和“出租車油耗問題”，前者只需求代數(shù)和，后者只需求絕對值的和，兩者都只要關(guān)注一個變量。這種單一主體的問題訓(xùn)練多了，學(xué)生很容易被“套路”，形成套題型的習(xí)慣。所以，我們應(yīng)該設(shè)置適當(dāng)難度的多個主體的問題情境，讓學(xué)生在多個主體的轉(zhuǎn)換中理解同一個數(shù)據(jù)的不同意義，從而真正理解運(yùn)算對象，學(xué)會選擇合適的主體，建立恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型（數(shù)量關(guān)系），較為便捷地解決問題。

一個典型的例子是：

小明向媽媽借500元錢，向爸爸借500元錢，一共得到1000元。自己買了一雙鞋，花了970元，手頭還有30元;先還媽媽10元，再還爸爸10元，手中還剩10元。這樣，還欠媽媽490元，還欠爸爸490元，欠媽媽和爸爸的錢加起來是980元，加上自己還剩的10元一共是990元。問：還有10元錢哪兒去了？

對于此題，只有厘清了各個數(shù)據(jù)對應(yīng)的主體和客體，才能選擇合適的主體進(jìn)行研究，準(zhǔn)確理解每一個數(shù)據(jù)的意義，賦予每一個數(shù)據(jù)正確的符號，從而理解問題中的“490+490+10=990”這個算式是沒有實(shí)際意義的，其原因是式子的左邊不是同一性質(zhì)的數(shù)據(jù)，不可以用絕對值相加。進(jìn)而知道，本題應(yīng)該用“個人資產(chǎn)=債務(wù)（負(fù)數(shù)）+債權(quán)（正數(shù)）+現(xiàn)金（正數(shù)）+實(shí)物價(jià)值（正數(shù)）”這個模型來計(jì)算。這樣，媽媽的資產(chǎn)是490（債權(quán)）+10（現(xiàn)金）=500（元），爸爸的資產(chǎn)也是490（債權(quán)）+10（現(xiàn)金）=500（元），也就是說，爸爸和媽媽的資產(chǎn)還是每人500元，一共1000元，只不過是形式發(fā)生了變化，各自有490元從現(xiàn)金變?yōu)榱藗鶛?quán);小明的資產(chǎn)是-490（對媽媽的債務(wù)）-490（對爸爸的債務(wù)）+10（現(xiàn)金）+970（鞋的價(jià)值）=0，也就是說，小明盡管有980元的債務(wù)，同時(shí)還有10元現(xiàn)金和價(jià)值970元的鞋，所以實(shí)際資產(chǎn)還是0元，并沒有變化。由此，從每個人的角度看，都不存在資產(chǎn)矛盾，所以，題目所問的“還有10元錢哪兒去了？”是一個不存在的問題。

參考文獻(xiàn)：

[1] 徐小建.例談數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的落實(shí)——以“胡不歸”問題的教學(xué)為例[J].中小學(xué)教材教學(xué)，2019（4）.

[2] 徐小建.基于“數(shù)學(xué)抽象”素養(yǎng)的函數(shù)概念生成教學(xué)[J].中小學(xué)教材教學(xué)，2020（11）.