摘要：自2017年版新課程標(biāo)準(zhǔn)實施以來，數(shù)列的考查方向更明確，內(nèi)容更清晰，文章對新舊課程標(biāo)準(zhǔn)中數(shù)列教學(xué)要求做了簡單分析，通過對2017-2021年全國卷中數(shù)列解答題知識詳細考點分析，歸納出了六種基本問題并做了經(jīng)典試題分析，基于此給出了備考復(fù)習(xí)建議.

關(guān)鍵詞：數(shù)列;課程標(biāo)準(zhǔn);基本問題;復(fù)習(xí)建議

中圖分類號：G632文獻標(biāo)識碼：A文章編號：1008-0333（2022）13-0021-05

數(shù)列是高中數(shù)學(xué)重點知識之一，是與大學(xué)數(shù)學(xué)知識銜接的內(nèi)容之一，在研究和學(xué)習(xí)過程中，從知識的生成、生發(fā)、遷移、重組、融合和創(chuàng)新上培養(yǎng)學(xué)生思維能力和綜合素養(yǎng).依據(jù)新課程標(biāo)準(zhǔn)，數(shù)列模塊屬于選擇性必修課程主題——函數(shù)的內(nèi)容，作為一類特殊的函數(shù)，具有遞推規(guī)律的數(shù)學(xué)模型，是研究其他類型函數(shù)的基本工具.

1 精準(zhǔn)領(lǐng)會新課程標(biāo)準(zhǔn)要求

1.1 新舊課程標(biāo)準(zhǔn)教學(xué)要求區(qū)別

新課標(biāo)增加了通過數(shù)學(xué)中的實例了解數(shù)列的概念;要求通過生活中的實例理解等差（比）數(shù)列的概念，強調(diào)了數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，突顯了數(shù)列的應(yīng)用性，引導(dǎo)學(xué)生感悟數(shù)學(xué)應(yīng)用價值;增加了“理解等差（比）數(shù)列的通項公式與前n項和公式的關(guān)系”，對等差（比）數(shù)列提出了更高的要求;新課標(biāo)強調(diào)數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用范圍限于“數(shù)列”中的一些簡單命題.

1.2 兩了解、四理解和兩體會

了解：數(shù)列的概念和表示方法（列表、圖象、通項公式）;數(shù)列是一種特殊函數(shù);數(shù)學(xué)歸納法的原理.

理解：等差數(shù)列的概念和通項公式的意義;等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式的關(guān)系;等比數(shù)列的概念和通項公式的意義;等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式的關(guān)系.

體會：等差數(shù)列與一元一次函數(shù)的關(guān)系;等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系.

重點：提升學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運算、直觀想象、數(shù)學(xué)建模和邏輯推理素養(yǎng).

2 高考考情統(tǒng)計分析

基本問題高考卷基本問題高考卷

等差（比）數(shù)列判定

2021年乙卷理（1）、2021年甲卷文（2）

2019年新課標(biāo)Ⅱ理（1）、2018年新課標(biāo)Ⅰ（2）

2017年新課標(biāo)Ⅲ文（2）

數(shù)列與不等式

2021年乙卷文（2）

2021年新高考Ⅱ（2）

2019年新課標(biāo)Ⅰ文（2）

求通項公式

2021年乙卷理（2）、2021年乙卷文（1）

2021年甲卷文（2）、2021年新高考Ⅲ（1）

2020年新課標(biāo)Ⅲ文理（1）、2019年新課標(biāo)Ⅰ文（1）

2019年新課標(biāo)Ⅱ文（1）、2019年新課標(biāo)Ⅱ理（2）

2018年新課標(biāo)Ⅰ文（3）、2018年新課標(biāo)Ⅱ理（1）

2018年新課標(biāo)Ⅲ文（1）、2017年新課標(biāo)Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ文（1）

求前n項和

2021年新高考Ⅰ（2）

2020年新課標(biāo)Ⅰ理（2）

2020年新課標(biāo)Ⅲ文理（2）

2019年新課標(biāo)Ⅱ文（2）

2018年新課標(biāo)Ⅲ文（2）

2017年新課標(biāo)ⅡⅢ文（2）

數(shù)列中奇偶項問題

2021年新高考Ⅰ

結(jié)構(gòu)不良問題

2021年甲卷理

由統(tǒng)計可以看出，

（1）十八個題中，有十五道題涉及求數(shù)列通項公式，占比83.3%，求數(shù)列基本量計算比重較大.

（2）求數(shù)列前n項和有十二道題，占比67%，考查頻率較高，并且一般情況下通項公式處于第一問，求和處于第二問位置.

（3）考查等差（比）數(shù)列的判定或證明，有五道題.

（4）近幾年數(shù)列與不等式以及函數(shù)綜合應(yīng)用問題也比較多，數(shù)列中奇偶項問題即交叉遞推關(guān)系源自于分段函數(shù)，結(jié)合數(shù)列特征，看似復(fù)雜，其實不難.

（5）從2021年開始出現(xiàn)結(jié)構(gòu)不良問題，表現(xiàn)出更多的開放性和靈活性.

3 幾個基本問題以及經(jīng)典試題分析

3.1 等差（比）數(shù)列的判定

例1（2021年甲卷文）記Sn為數(shù)列an的前n項和，已知an>0，a2=3a1，且數(shù)列Sn是等差數(shù)列，證明：an是等差數(shù)列.

證明因為Sn是等差數(shù)列，

設(shè)公差d=S2-S1=a1，

所以Sn=a1+（n-1）a1=na1.

則Sn=a1n2.

當(dāng)n≥2時，an=Sn-Sn-1=2na1-a1，

當(dāng)n=1時，滿足an=2na1-a1，

故an的通項公式an=2na1-a1.

所以an是以a1為首項，2a1為公差的等差數(shù)列.

總結(jié)提升判斷等差（比）數(shù)列的方法：一是定義法，an+1-an（或an+1an）為一個常數(shù);二是等差（比）中項公式法，其本質(zhì)還是公式法;三是函數(shù)法，an=kn+b（即為關(guān)于n的一次函數(shù)）.需要注意的是an+1=qan和a2n=an-1an（n≥2）都是數(shù)列為等比數(shù)列的必要不充分條件，因為有可能各項為0，并且要注意在利用an=Sn-Sn-1求通項公式時，一定要分類討論n=1和n≥2兩種情況.

3.2 求等差（比）數(shù)列的通項公式

例2（2021年乙卷理）記Sn為數(shù)列an的前n項和，bn為數(shù)列Sn的前n項積，已知2Sn+1bn=2.

（1）證明：數(shù)列bn是等差數(shù)列;

（2）求an的通項公式.

（1）證法1因為bn=S1·S2·…·Sn-1·Sn，

于是bn-1=S1·S2·…·Sn-1（n≥2）.

則bnbn-1=Sn.

因為2Sn+1bn=2，

所以bn-bn-1=12（n≥2）.

當(dāng)n=1時，S1=b1=32.

所以數(shù)列{bn是以b1=32為首項，以d=12為公差的等差數(shù)列.

證法2因為2Sn+1bn=2，則bn=Sn2Sn-2，且Sn≠0，bn≠0，Sn≠1.

又因為bn=S1·S2·…·Sn-1·Sn=Sn·bn-1，

所以bn-1=bnSn=12Sn-2（n≥2）.

則bn-bn-1=12，同上.

證法3可知b1=32，b2=2，b3=52.

猜想{bn是以b1=32為首項，以d=12為公差的等差數(shù)列，bn=12n+1.

用數(shù)學(xué)歸納法證明略.

（2）由（1）可得，

bn=12n+1，Sn=n+2n+1.

當(dāng)n=1時，a1=32，

當(dāng)n≥2時，an=Sn-Sn-1=-1n（n+1），

顯然對于n=1不成立，所以an=32，n=1，-1n（n+1），n≥2.

評注本題考查等差數(shù)列的證明，考查數(shù)列的前n項和與項的關(guān)系，第一問也可以由2b12b1-1·2b22b2-1·…·2bn2bn-1=bn，得到2b12b1-1·2b22b2-1·…·2bn+12bn+1-1=bn+1，進而得到2bn+12bn+1-1=2bn2bn-1.此題新穎，有新定義的味道.熟練掌握前n項和，積與數(shù)列的項的關(guān)系，消和（積）得到項（或項的遞推關(guān)系），或者消項得到和（積）的遞推關(guān)系是常用的重要思想方法.

總結(jié)提升求數(shù)列通項公式方法有（1）定義公式法;

（2）累加法;（3）累積法;

（4）已知Sn求an，即an=S1，n=1，Sn-Sn-1，n≥2;（5）倒數(shù)構(gòu)造法;（6）構(gòu)造法或拼湊法等.

3.3 求數(shù)列的前n項和

例3（2017年新課標(biāo)Ⅲ文）設(shè)數(shù)列an滿足a1+3a2+…+（2n-1）an=2n.

（1）求an的通項公式;

（2）求數(shù)列an2n+1 的前n項和.

解析（1）因為a1+3a2+…+（2n-1）an=2n，則當(dāng)n≥2時，a1+3a2+…+（2n-3）an-1=2（n-1）.

所以（2n-1）an=2.

即an=22n-1（n≥2）.

當(dāng)n=1時，a1=2，上式也成立，故an=22n-1.

（2）an2n+1=2（2n+1）（2n-1）

=12n-1-12n+1，

數(shù)列an2n+1的前n項和為（1-13）+（13-15）+…+（12n-1-12n+1）=1-12n+1=2n2n+1.

評注本題考查了利用遞推公式求通項公式，裂項法求和的簡單應(yīng)用，比較基礎(chǔ).

總結(jié)提升數(shù)列求和方法有：（1）求和公式法;（2）倒序相加法;（3）分組求和法;（4）錯位相減法;（5）裂項相消法;（6）并項相加法求和，例如{（-1）n-1·an}求和，需要對n進行奇偶分類討論，又例如例4;（7）待定系數(shù)法.

3.4 數(shù)列中奇偶項問題

例4（2021年新高考Ⅰ卷）已知數(shù)列an滿足a1=1，an+1=an+1，n為奇數(shù)，an+2，n為偶數(shù).

（1）記bn=a2n，寫出b1，b2，并求數(shù)列bn的通項公式;

（2）求an的前20項和.

解析（1）可知b1=2，b2=5.

又a2k+2=a2k+1+1，a2k+1=a2k+2，

故a2k+2=a2k+3.

即bn+1=bn+3.

所以bn為以2為首項，3為公差的等差數(shù)列.

故bn=3n-1（n∈N*）.

（2）方法1設(shè)an的前20項和為S20=a1+a2+a3+…+a20，

因為a1=a2-1，a3=a4-1，…，a19=a20-1，

所以S20=2（a2+a4+…+a20）-10=2（b1+b2+b3+…+b20）-10=300.

方法2由（1）知a2n=3n-1.

則a2n-1=3n-2（n∈N*）.

所以S20=（a1+a3+…+a19）+（a2+a4+…+a20）=300.

方法3（累加法）易知an-an-1=3-（-1）n2，an-1-an-2=3-（-1）n-12，…，a2-a1=3-（-1）12.

所以an=6n-3-（-1）n4.

即S20=300.

評注對于數(shù)列的交叉遞推關(guān)系，我們一般利用已知的關(guān)系得到奇數(shù)項的遞推關(guān)系或偶數(shù)項的遞推關(guān)系，再結(jié)合已知數(shù)列的通項公式、求和公式等來求解，或者直接求通項公式，并項求和.此類問題的本質(zhì)還是等差（比）數(shù)列問題.

關(guān)聯(lián)試題1（2019年天津卷文科18題）設(shè)an是等差數(shù)列，bn是等比數(shù)列，公比大于0，已知a1=b1=3，b2=a3 ，b3=4a2+3.

（1）求an和bn的通項公式;

（2）設(shè)數(shù)列cn滿足cn=1，n為奇數(shù)，bn2，n為偶數(shù)，求a1c1+a2c2+…+a2nc2nn∈N*.

關(guān)聯(lián)試題2（2020年天津卷19題）已知an為等差數(shù)列，bn為等比數(shù)列，a1=b1=1，a5=5a4-a3，b5=4b4-b3.

（1）求an和bn的通項公式;

（2）記an的前n項和為Sn，求證：SnSn+2<S2n+1n∈N*;

（3）對任意的正整數(shù)n，設(shè)cn=

3an-2bnanan+2，n為奇數(shù)，an-1bn+1，n為偶數(shù).求數(shù)列cn的前2n項和.

3.5 數(shù)列與不等式

例5（2021年全國乙卷理）設(shè)an是首項為1的等比數(shù)列，數(shù)列bn滿足bn=nan3.已知a1，3a2，9a3成等差數(shù)列.

（1）求an和bn的通項公式;

（2）記Sn和Tn分別為an和bn的前n項和.證明：Tn<Sn2.

思路分析（1）利用等差數(shù)列的性質(zhì)及a1得到9q2-6q+1=0，解方程即可;（2）利用公式法、錯位相減法求出Sn，Tn，則Tn-Sn2=34（1-13n）-n2×3n-34（1-13n）=-n2×3n<0，所以Tn<Sn2.

評注本題主要考查數(shù)列的求和，涉及到等差數(shù)列的性質(zhì)，錯位相減法求數(shù)列的和，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運算能力，其中證明不等式時采用作差法、作商法或者放縮法等，要根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)類型靈活選擇，關(guān)鍵是要看如何消項化簡得更為簡潔.

3.6 結(jié)構(gòu)不良問題

例6（2021年全國甲卷理）已知數(shù)列an的各項均為正數(shù)，記Sn為an的前n項和，從下面①②③中選取兩個作為條件，證明另外一個成立.

①數(shù)列an是等差數(shù)列;

②數(shù)列Sn是等差數(shù)列;

③a2=3a1.

思路分析選①②作條件證明③時，可設(shè)出Sn，結(jié)合an，Sn的關(guān)系求出an，利用an是等差數(shù)列可證a2=3a1;選①③作條件證明②時，根據(jù)等差數(shù)列的求和公式表示出Sn，結(jié)合等差數(shù)列定義可證;選②③作條件證明①時，設(shè)出Sn=an+b（a>0），結(jié)合an，Sn的關(guān)系求出an，根據(jù)a2=3a1可求b，然后可證an是等差數(shù)列，方法類似例1.

評注這類題型在解答題中較為罕見，求解的關(guān)鍵是牢牢抓住已知條件，結(jié)合相關(guān)公式，逐步推演，等差數(shù)列的證明通常采用定義法、等差中項法或者函數(shù)法.

4 蘊含思想方法分析

數(shù)列在高中數(shù)學(xué)中蘊藏著豐富的數(shù)學(xué)思想方法，運用這些思想方法提出問題、分析問題和解決問題，可以強化學(xué)生對知識的理解，提高解題能力.

4.1 函數(shù)與方程思想

等差（比）數(shù)列基本量計算，即a1，n，d（q），an和Sn，運用“知一求二”，即建立方程求解;然而數(shù)列是定義域為正整數(shù)集或正整數(shù)集的子集上的函數(shù)，通過函數(shù)形式和函數(shù)思想，解決數(shù)列問題，主要表現(xiàn)在兩個方面：一是借助初等函數(shù)的性質(zhì)，求值、解（證明）不等式、討論參數(shù)范圍問題;二是通過建立函數(shù)關(guān)系或者構(gòu)造函數(shù)，把所研究的問題轉(zhuǎn)化至討論函數(shù)性質(zhì)問題.

4.2 分類討論思想

數(shù)列中離不開分類討論思想，可以考查學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性和條理性.關(guān)鍵一是明確引起分類的原因;二是明確確定分類的標(biāo)準(zhǔn)或方法;三是注意分類結(jié)論的整合，有分有合、先分后合是分類討論的本質(zhì)屬性.比如數(shù)列奇偶問題.

4.3 轉(zhuǎn)化與化歸思想

從復(fù)雜到簡單，從未知到已知，是解題思維必經(jīng)之路.等價轉(zhuǎn)化就會顯得尤為重要，關(guān)鍵是如何轉(zhuǎn)化.常見的轉(zhuǎn)化類型通過換元、構(gòu)造或者待定系數(shù)法等把復(fù)雜的數(shù)列轉(zhuǎn)化至熟悉的等差（比）數(shù)列，比如2021年乙卷理科19題，2019年新課標(biāo)Ⅱ卷理科19題，2018年新課標(biāo)Ⅰ卷文科17題.

4.4 數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合主要體現(xiàn)三個方面，一是以形助數(shù)，即借助直觀性闡述數(shù)之間的聯(lián)系;二是以數(shù)助形，即借助數(shù)的精確性闡述形的屬性;三是數(shù)形互助，即直觀與形的相互轉(zhuǎn)化，最終達到解決問題的目的.研究數(shù)列通項及其求和公式的函數(shù)特征，函數(shù)圖象，或者建立方程以及方程曲線，以此借助數(shù)形結(jié)合思想解決問題.比如2018年全國Ⅱ卷理科17題.

除了以上數(shù)學(xué)思想還會用到類比思想，比如等差（比）數(shù)列與指對函數(shù)性質(zhì)類比;建模思想解決實際問題，如2019年全國Ⅱ卷理科21壓軸題;特殊與一般思想完成數(shù)學(xué)歸納法的推理與證明，如2020年新課標(biāo)Ⅲ卷理科17題等.

5 教學(xué)建議

雖然近幾年數(shù)列在全國卷中難度不大，但是也要引起重視，因為浙江、北京卷等高考數(shù)列壓軸題居多，不排除難度增加的可能，畢竟導(dǎo)數(shù)和解析幾何壓軸已經(jīng)很多年了，2021年數(shù)列題明顯一見清新，考查靈活，難度自然有所提升.數(shù)列基本量運算和等差（比）數(shù)列性質(zhì)在選擇填空考查比較多，對于解答題備考需要注意：一是依據(jù)新課程標(biāo)準(zhǔn)要求對數(shù)列進行專題復(fù)習(xí);二是回歸教材，注重數(shù)列中六類基本問題的生成和原理，特別是求通項公式和求和，并加強運算能力;三是加強思想和方法的理解，特別是講題講方法、講思想;四是加強用函數(shù)觀點思考數(shù)列問題;五是加強基本知識和方法的總結(jié)，方法靈活多變，但是萬變不離其宗，比如2021年乙卷;六是利用規(guī)律解決較為抽象復(fù)雜的數(shù)列問題.

參考文獻：

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[責(zé)任編輯：李璟]

收稿日期：2022-02-05

作者簡介：巨小鵬，陜西省漢中人，碩士，中學(xué)二級教師，從事數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

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