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        基于強化基礎(chǔ)和素養(yǎng)導(dǎo)向的高考數(shù)學(xué)備考策略

        2022-05-26 10:23:10巨小鵬
        關(guān)鍵詞:基本問題數(shù)列課程標(biāo)準(zhǔn)

        摘要:自2017年版新課程標(biāo)準(zhǔn)實施以來,數(shù)列的考查方向更明確,內(nèi)容更清晰,文章對新舊課程標(biāo)準(zhǔn)中數(shù)列教學(xué)要求做了簡單分析,通過對2017-2021年全國卷中數(shù)列解答題知識詳細考點分析,歸納出了六種基本問題并做了經(jīng)典試題分析,基于此給出了備考復(fù)習(xí)建議.

        關(guān)鍵詞:數(shù)列;課程標(biāo)準(zhǔn);基本問題;復(fù)習(xí)建議

        中圖分類號:G632文獻標(biāo)識碼:A文章編號:1008-0333(2022)13-0021-05

        數(shù)列是高中數(shù)學(xué)重點知識之一,是與大學(xué)數(shù)學(xué)知識銜接的內(nèi)容之一,在研究和學(xué)習(xí)過程中,從知識的生成、生發(fā)、遷移、重組、融合和創(chuàng)新上培養(yǎng)學(xué)生思維能力和綜合素養(yǎng).依據(jù)新課程標(biāo)準(zhǔn),數(shù)列模塊屬于選擇性必修課程主題——函數(shù)的內(nèi)容,作為一類特殊的函數(shù),具有遞推規(guī)律的數(shù)學(xué)模型,是研究其他類型函數(shù)的基本工具.

        1 精準(zhǔn)領(lǐng)會新課程標(biāo)準(zhǔn)要求

        1.1 新舊課程標(biāo)準(zhǔn)教學(xué)要求區(qū)別

        新課標(biāo)增加了通過數(shù)學(xué)中的實例了解數(shù)列的概念;要求通過生活中的實例理解等差(比)數(shù)列的概念,強調(diào)了數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系,突顯了數(shù)列的應(yīng)用性,引導(dǎo)學(xué)生感悟數(shù)學(xué)應(yīng)用價值;增加了“理解等差(比)數(shù)列的通項公式與前n項和公式的關(guān)系”,對等差(比)數(shù)列提出了更高的要求;新課標(biāo)強調(diào)數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用范圍限于“數(shù)列”中的一些簡單命題.

        1.2 兩了解、四理解和兩體會

        了解:數(shù)列的概念和表示方法(列表、圖象、通項公式);數(shù)列是一種特殊函數(shù);數(shù)學(xué)歸納法的原理.

        理解:等差數(shù)列的概念和通項公式的意義;等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式的關(guān)系;等比數(shù)列的概念和通項公式的意義;等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式的關(guān)系.

        體會:等差數(shù)列與一元一次函數(shù)的關(guān)系;等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系.

        重點:提升學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運算、直觀想象、數(shù)學(xué)建模和邏輯推理素養(yǎng).

        2 高考考情統(tǒng)計分析

        基本問題高考卷基本問題高考卷

        等差(比)數(shù)列判定

        2021年乙卷理(1)、2021年甲卷文(2)

        2019年新課標(biāo)Ⅱ理(1)、2018年新課標(biāo)Ⅰ(2)

        2017年新課標(biāo)Ⅲ文(2)

        數(shù)列與不等式

        2021年乙卷文(2)

        2021年新高考Ⅱ(2)

        2019年新課標(biāo)Ⅰ文(2)

        求通項公式

        2021年乙卷理(2)、2021年乙卷文(1)

        2021年甲卷文(2)、2021年新高考Ⅲ(1)

        2020年新課標(biāo)Ⅲ文理(1)、2019年新課標(biāo)Ⅰ文(1)

        2019年新課標(biāo)Ⅱ文(1)、2019年新課標(biāo)Ⅱ理(2)

        2018年新課標(biāo)Ⅰ文(3)、2018年新課標(biāo)Ⅱ理(1)

        2018年新課標(biāo)Ⅲ文(1)、2017年新課標(biāo)Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ文(1)

        求前n項和

        2021年新高考Ⅰ(2)

        2020年新課標(biāo)Ⅰ理(2)

        2020年新課標(biāo)Ⅲ文理(2)

        2019年新課標(biāo)Ⅱ文(2)

        2018年新課標(biāo)Ⅲ文(2)

        2017年新課標(biāo)ⅡⅢ文(2)

        數(shù)列中奇偶項問題

        2021年新高考Ⅰ

        結(jié)構(gòu)不良問題

        2021年甲卷理

        由統(tǒng)計可以看出,

        (1)十八個題中,有十五道題涉及求數(shù)列通項公式,占比83.3%,求數(shù)列基本量計算比重較大.

        (2)求數(shù)列前n項和有十二道題,占比67%,考查頻率較高,并且一般情況下通項公式處于第一問,求和處于第二問位置.

        (3)考查等差(比)數(shù)列的判定或證明,有五道題.

        (4)近幾年數(shù)列與不等式以及函數(shù)綜合應(yīng)用問題也比較多,數(shù)列中奇偶項問題即交叉遞推關(guān)系源自于分段函數(shù),結(jié)合數(shù)列特征,看似復(fù)雜,其實不難.

        (5)從2021年開始出現(xiàn)結(jié)構(gòu)不良問題,表現(xiàn)出更多的開放性和靈活性.

        3 幾個基本問題以及經(jīng)典試題分析

        3.1 等差(比)數(shù)列的判定

        例1(2021年甲卷文)記Sn為數(shù)列an的前n項和,已知an>0,a2=3a1,且數(shù)列Sn是等差數(shù)列,證明:an是等差數(shù)列.

        證明因為Sn是等差數(shù)列,

        設(shè)公差d=S2-S1=a1,

        所以Sn=a1+(n-1)a1=na1.

        則Sn=a1n2.

        當(dāng)n≥2時,an=Sn-Sn-1=2na1-a1,

        當(dāng)n=1時,滿足an=2na1-a1,

        故an的通項公式an=2na1-a1.

        所以an是以a1為首項,2a1為公差的等差數(shù)列.

        總結(jié)提升判斷等差(比)數(shù)列的方法:一是定義法,an+1-an(或an+1an)為一個常數(shù);二是等差(比)中項公式法,其本質(zhì)還是公式法;三是函數(shù)法,an=kn+b(即為關(guān)于n的一次函數(shù)).需要注意的是an+1=qan和a2n=an-1an(n≥2)都是數(shù)列為等比數(shù)列的必要不充分條件,因為有可能各項為0,并且要注意在利用an=Sn-Sn-1求通項公式時,一定要分類討論n=1和n≥2兩種情況.

        3.2 求等差(比)數(shù)列的通項公式

        例2(2021年乙卷理)記Sn為數(shù)列an的前n項和,bn為數(shù)列Sn的前n項積,已知2Sn+1bn=2.

        (1)證明:數(shù)列bn是等差數(shù)列;

        (2)求an的通項公式.

        (1)證法1因為bn=S1·S2·…·Sn-1·Sn,

        于是bn-1=S1·S2·…·Sn-1(n≥2).

        則bnbn-1=Sn.

        因為2Sn+1bn=2,

        所以bn-bn-1=12(n≥2).

        當(dāng)n=1時,S1=b1=32.

        所以數(shù)列{bn是以b1=32為首項,以d=12為公差的等差數(shù)列.

        證法2因為2Sn+1bn=2,則bn=Sn2Sn-2,且Sn≠0,bn≠0,Sn≠1.

        又因為bn=S1·S2·…·Sn-1·Sn=Sn·bn-1,

        所以bn-1=bnSn=12Sn-2(n≥2).

        則bn-bn-1=12,同上.

        證法3可知b1=32,b2=2,b3=52.

        猜想{bn是以b1=32為首項,以d=12為公差的等差數(shù)列,bn=12n+1.

        用數(shù)學(xué)歸納法證明略.

        (2)由(1)可得,

        bn=12n+1,Sn=n+2n+1.

        當(dāng)n=1時,a1=32,

        當(dāng)n≥2時,an=Sn-Sn-1=-1n(n+1),

        顯然對于n=1不成立,所以an=32,n=1,-1n(n+1),n≥2.

        評注本題考查等差數(shù)列的證明,考查數(shù)列的前n項和與項的關(guān)系,第一問也可以由2b12b1-1·2b22b2-1·…·2bn2bn-1=bn,得到2b12b1-1·2b22b2-1·…·2bn+12bn+1-1=bn+1,進而得到2bn+12bn+1-1=2bn2bn-1.此題新穎,有新定義的味道.熟練掌握前n項和,積與數(shù)列的項的關(guān)系,消和(積)得到項(或項的遞推關(guān)系),或者消項得到和(積)的遞推關(guān)系是常用的重要思想方法.

        總結(jié)提升求數(shù)列通項公式方法有(1)定義公式法;

        (2)累加法;(3)累積法;

        (4)已知Sn求an,即an=S1,n=1,Sn-Sn-1,n≥2;(5)倒數(shù)構(gòu)造法;(6)構(gòu)造法或拼湊法等.

        3.3 求數(shù)列的前n項和

        例3(2017年新課標(biāo)Ⅲ文)設(shè)數(shù)列an滿足a1+3a2+…+(2n-1)an=2n.

        (1)求an的通項公式;

        (2)求數(shù)列an2n+1 的前n項和.

        解析(1)因為a1+3a2+…+(2n-1)an=2n,則當(dāng)n≥2時,a1+3a2+…+(2n-3)an-1=2(n-1).

        所以(2n-1)an=2.

        即an=22n-1(n≥2).

        當(dāng)n=1時,a1=2,上式也成立,故an=22n-1.

        (2)an2n+1=2(2n+1)(2n-1)

        =12n-1-12n+1,

        數(shù)列an2n+1的前n項和為(1-13)+(13-15)+…+(12n-1-12n+1)=1-12n+1=2n2n+1.

        評注本題考查了利用遞推公式求通項公式,裂項法求和的簡單應(yīng)用,比較基礎(chǔ).

        總結(jié)提升數(shù)列求和方法有:(1)求和公式法;(2)倒序相加法;(3)分組求和法;(4)錯位相減法;(5)裂項相消法;(6)并項相加法求和,例如{(-1)n-1·an}求和,需要對n進行奇偶分類討論,又例如例4;(7)待定系數(shù)法.

        3.4 數(shù)列中奇偶項問題

        例4(2021年新高考Ⅰ卷)已知數(shù)列an滿足a1=1,an+1=an+1,n為奇數(shù),an+2,n為偶數(shù).

        (1)記bn=a2n,寫出b1,b2,并求數(shù)列bn的通項公式;

        (2)求an的前20項和.

        解析(1)可知b1=2,b2=5.

        又a2k+2=a2k+1+1,a2k+1=a2k+2,

        故a2k+2=a2k+3.

        即bn+1=bn+3.

        所以bn為以2為首項,3為公差的等差數(shù)列.

        故bn=3n-1(n∈N*).

        (2)方法1設(shè)an的前20項和為S20=a1+a2+a3+…+a20,

        因為a1=a2-1,a3=a4-1,…,a19=a20-1,

        所以S20=2(a2+a4+…+a20)-10=2(b1+b2+b3+…+b20)-10=300.

        方法2由(1)知a2n=3n-1.

        則a2n-1=3n-2(n∈N*).

        所以S20=(a1+a3+…+a19)+(a2+a4+…+a20)=300.

        方法3(累加法)易知an-an-1=3-(-1)n2,an-1-an-2=3-(-1)n-12,…,a2-a1=3-(-1)12.

        所以an=6n-3-(-1)n4.

        即S20=300.

        評注對于數(shù)列的交叉遞推關(guān)系,我們一般利用已知的關(guān)系得到奇數(shù)項的遞推關(guān)系或偶數(shù)項的遞推關(guān)系,再結(jié)合已知數(shù)列的通項公式、求和公式等來求解,或者直接求通項公式,并項求和.此類問題的本質(zhì)還是等差(比)數(shù)列問題.

        關(guān)聯(lián)試題1(2019年天津卷文科18題)設(shè)an是等差數(shù)列,bn是等比數(shù)列,公比大于0,已知a1=b1=3,b2=a3 ,b3=4a2+3.

        (1)求an和bn的通項公式;

        (2)設(shè)數(shù)列cn滿足cn=1,n為奇數(shù),bn2,n為偶數(shù),求a1c1+a2c2+…+a2nc2nn∈N*.

        關(guān)聯(lián)試題2(2020年天津卷19題)已知an為等差數(shù)列,bn為等比數(shù)列,a1=b1=1,a5=5a4-a3,b5=4b4-b3.

        (1)求an和bn的通項公式;

        (2)記an的前n項和為Sn,求證:SnSn+2<S2n+1n∈N*;

        (3)對任意的正整數(shù)n,設(shè)cn=

        3an-2bnanan+2,n為奇數(shù),an-1bn+1,n為偶數(shù).求數(shù)列cn的前2n項和.

        3.5 數(shù)列與不等式

        例5(2021年全國乙卷理)設(shè)an是首項為1的等比數(shù)列,數(shù)列bn滿足bn=nan3.已知a1,3a2,9a3成等差數(shù)列.

        (1)求an和bn的通項公式;

        (2)記Sn和Tn分別為an和bn的前n項和.證明:Tn<Sn2.

        思路分析(1)利用等差數(shù)列的性質(zhì)及a1得到9q2-6q+1=0,解方程即可;(2)利用公式法、錯位相減法求出Sn,Tn,則Tn-Sn2=34(1-13n)-n2×3n-34(1-13n)=-n2×3n<0,所以Tn<Sn2.

        評注本題主要考查數(shù)列的求和,涉及到等差數(shù)列的性質(zhì),錯位相減法求數(shù)列的和,考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運算能力,其中證明不等式時采用作差法、作商法或者放縮法等,要根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)類型靈活選擇,關(guān)鍵是要看如何消項化簡得更為簡潔.

        3.6 結(jié)構(gòu)不良問題

        例6(2021年全國甲卷理)已知數(shù)列an的各項均為正數(shù),記Sn為an的前n項和,從下面①②③中選取兩個作為條件,證明另外一個成立.

        ①數(shù)列an是等差數(shù)列;

        ②數(shù)列Sn是等差數(shù)列;

        ③a2=3a1.

        思路分析選①②作條件證明③時,可設(shè)出Sn,結(jié)合an,Sn的關(guān)系求出an,利用an是等差數(shù)列可證a2=3a1;選①③作條件證明②時,根據(jù)等差數(shù)列的求和公式表示出Sn,結(jié)合等差數(shù)列定義可證;選②③作條件證明①時,設(shè)出Sn=an+b(a>0),結(jié)合an,Sn的關(guān)系求出an,根據(jù)a2=3a1可求b,然后可證an是等差數(shù)列,方法類似例1.

        評注這類題型在解答題中較為罕見,求解的關(guān)鍵是牢牢抓住已知條件,結(jié)合相關(guān)公式,逐步推演,等差數(shù)列的證明通常采用定義法、等差中項法或者函數(shù)法.

        4 蘊含思想方法分析

        數(shù)列在高中數(shù)學(xué)中蘊藏著豐富的數(shù)學(xué)思想方法,運用這些思想方法提出問題、分析問題和解決問題,可以強化學(xué)生對知識的理解,提高解題能力.

        4.1 函數(shù)與方程思想

        等差(比)數(shù)列基本量計算,即a1,n,d(q),an和Sn,運用“知一求二”,即建立方程求解;然而數(shù)列是定義域為正整數(shù)集或正整數(shù)集的子集上的函數(shù),通過函數(shù)形式和函數(shù)思想,解決數(shù)列問題,主要表現(xiàn)在兩個方面:一是借助初等函數(shù)的性質(zhì),求值、解(證明)不等式、討論參數(shù)范圍問題;二是通過建立函數(shù)關(guān)系或者構(gòu)造函數(shù),把所研究的問題轉(zhuǎn)化至討論函數(shù)性質(zhì)問題.

        4.2 分類討論思想

        數(shù)列中離不開分類討論思想,可以考查學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性和條理性.關(guān)鍵一是明確引起分類的原因;二是明確確定分類的標(biāo)準(zhǔn)或方法;三是注意分類結(jié)論的整合,有分有合、先分后合是分類討論的本質(zhì)屬性.比如數(shù)列奇偶問題.

        4.3 轉(zhuǎn)化與化歸思想

        從復(fù)雜到簡單,從未知到已知,是解題思維必經(jīng)之路.等價轉(zhuǎn)化就會顯得尤為重要,關(guān)鍵是如何轉(zhuǎn)化.常見的轉(zhuǎn)化類型通過換元、構(gòu)造或者待定系數(shù)法等把復(fù)雜的數(shù)列轉(zhuǎn)化至熟悉的等差(比)數(shù)列,比如2021年乙卷理科19題,2019年新課標(biāo)Ⅱ卷理科19題,2018年新課標(biāo)Ⅰ卷文科17題.

        4.4 數(shù)形結(jié)合思想

        數(shù)形結(jié)合主要體現(xiàn)三個方面,一是以形助數(shù),即借助直觀性闡述數(shù)之間的聯(lián)系;二是以數(shù)助形,即借助數(shù)的精確性闡述形的屬性;三是數(shù)形互助,即直觀與形的相互轉(zhuǎn)化,最終達到解決問題的目的.研究數(shù)列通項及其求和公式的函數(shù)特征,函數(shù)圖象,或者建立方程以及方程曲線,以此借助數(shù)形結(jié)合思想解決問題.比如2018年全國Ⅱ卷理科17題.

        除了以上數(shù)學(xué)思想還會用到類比思想,比如等差(比)數(shù)列與指對函數(shù)性質(zhì)類比;建模思想解決實際問題,如2019年全國Ⅱ卷理科21壓軸題;特殊與一般思想完成數(shù)學(xué)歸納法的推理與證明,如2020年新課標(biāo)Ⅲ卷理科17題等.

        5 教學(xué)建議

        雖然近幾年數(shù)列在全國卷中難度不大,但是也要引起重視,因為浙江、北京卷等高考數(shù)列壓軸題居多,不排除難度增加的可能,畢竟導(dǎo)數(shù)和解析幾何壓軸已經(jīng)很多年了,2021年數(shù)列題明顯一見清新,考查靈活,難度自然有所提升.數(shù)列基本量運算和等差(比)數(shù)列性質(zhì)在選擇填空考查比較多,對于解答題備考需要注意:一是依據(jù)新課程標(biāo)準(zhǔn)要求對數(shù)列進行專題復(fù)習(xí);二是回歸教材,注重數(shù)列中六類基本問題的生成和原理,特別是求通項公式和求和,并加強運算能力;三是加強思想和方法的理解,特別是講題講方法、講思想;四是加強用函數(shù)觀點思考數(shù)列問題;五是加強基本知識和方法的總結(jié),方法靈活多變,但是萬變不離其宗,比如2021年乙卷;六是利用規(guī)律解決較為抽象復(fù)雜的數(shù)列問題.

        參考文獻:

        [1]

        中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)\[M\].北京:人民教育出版社,2018.

        \[2\] 郭慧清,黎治國.2021年高考“數(shù)列”專題命題分析\[J\].中國數(shù)學(xué)教育,2021(Z4):59-67.

        [責(zé)任編輯:李璟]

        收稿日期:2022-02-05

        作者簡介:巨小鵬,陜西省漢中人,碩士,中學(xué)二級教師,從事數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

        [FQ)]

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