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        2022屆高考模擬考試數(shù)學(xué)試題(本試卷適合新高考地區(qū)考生使用)

        2022-05-26 10:23:10李昌成
        關(guān)鍵詞:雙曲線小題單調(diào)

        本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分.時(shí)量120分鐘,滿分150分.

        第Ⅰ卷

        一、單選題(本大題共8小題,每小題5分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的)

        1.設(shè)φ∈R,則“f(x)=cos(x+φ)(x∈R)為偶函數(shù)”是“φ=π”的().

        A. 充分不必要條件

        B. 必要不充分條件C. 充分必要條件

        D. 既不充分也不必要條件

        2.設(shè)i是虛數(shù)單位,則復(fù)數(shù)2i1-i在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于().

        A.第一象限B. 第二象限

        C.第三象限D(zhuǎn). 第四象限

        3.已知|a|=2|b|≠0,且關(guān)于x的方程x2+

        |a|x+a·b=0有實(shí)根,則a與b的夾角的取值范圍是().

        A. 0,π6B. π3,π

        C. π3,2π3D. π6,π

        4.函數(shù)f(x)=(m2-m-1)xm2+2m-5是冪函數(shù),對(duì)任意的x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,滿足f(x1)-f(x2)x1-x2>0,若a,b∈R,且a+b>0,則f(a)+f(b)的值().

        A. 恒大于0B. 恒小于0

        C. 等于0D. 無法判斷

        5.等腰Rt△OAB內(nèi)接于拋物線,其中O為拋物線C:y2=2px(p>0)的頂點(diǎn),OA⊥OB,△OAB的面積為16,F(xiàn)為C的焦點(diǎn),M為C上的動(dòng)點(diǎn),則|OM||MF|的最大值為().

        A. 33B. 63C. 233D. 263

        6.2cos48°-23sin36°cos36°cos27°-sin27°=().

        A. 22B. 1C. -1D. -22

        7.如圖1,在等邊△ABC中,D,E分別是線段AB,AC上異于端點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn),且BD=CE,現(xiàn)將△ADE沿直線DE折起,使平面ADE⊥平面BCED,當(dāng)點(diǎn)D從點(diǎn)B滑動(dòng)到點(diǎn)A的過程中,則下列選項(xiàng)中錯(cuò)誤的是().

        A. ∠ADB的大小不會(huì)發(fā)生變化

        B. 二面角A-BD-C的平面角的大小不會(huì)發(fā)生變化

        C. BD與平面ABC所成的角變大

        D. AB與DE所成的角先變小后變大

        8.設(shè)(lnx)2-lnx-2=0的兩根是α,β,則logαβ+logβα=().

        A. 32B. -32C. 52D. -52

        二、多選題(本大題共4小題,每小題5分.在每個(gè)小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求,全部選出的得5分,部分選出的得2分,有選錯(cuò)的得0分)

        9.已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2),其圖象相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為π4,且直線x=-π12是其中一條對(duì)稱軸,則下列結(jié)論正確的是().

        A. 函數(shù)f(x)的最小正周期為π2

        B. 函數(shù)f(x)在區(qū)間[-π6,π12]上單調(diào)遞增

        C. 點(diǎn)(-5π24,0)是函數(shù)f(x)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心

        D. 將函數(shù)f(x)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍,縱坐標(biāo)不變,再把得到的圖象向左平移π6個(gè)單位長度,可得到g(x)=sin2x的圖象

        10.在發(fā)生公共衛(wèi)生事件期間,有專業(yè)機(jī)構(gòu)認(rèn)為該事件在一段時(shí)間內(nèi)沒有發(fā)生大規(guī)模群體感染的標(biāo)志為“連續(xù)10天,每天新增疑似病例不超過7人”.過去10日,甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例數(shù)據(jù)信息如下:

        甲地:中位數(shù)為2,極差為5;

        乙地:總體平均數(shù)為2,眾數(shù)為2;

        丙地:總體平均數(shù)為1,總體方差大于0;

        丁地:總體平均數(shù)為2,總體方差為3.

        則甲、乙、丙、丁四地中,一定沒有發(fā)生大規(guī)模群體感染的有().

        A. 甲地B. 乙地C. 丙地D. 丁地

        11.我們把離心率為e=5+12的雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)稱為黃金雙曲線.如圖2所示,A1,A2是雙曲線的實(shí)軸頂點(diǎn),B1,B2是虛軸頂點(diǎn),F(xiàn)1,F(xiàn)2是焦點(diǎn),過右焦點(diǎn)F2且垂直于x軸的直線交雙曲線于M,N兩點(diǎn),則下列命題正確的是().

        A. 雙曲線x2-y25+1=1是黃金雙曲線

        B. 若b2=ac,則該雙曲線是黃金雙曲線

        C. 若∠F1B1A2=90°,則該雙曲線是黃金雙曲線

        D. 若∠MON=90°,則該雙曲線是黃金雙曲線

        12.在三棱錐A-BCD中,AB=CD=6,AC=BD=5,AD=BC=7,M,N,P,Q分別為棱AB,CD,AD,BC的中點(diǎn),則().

        A. 直線MN是線段AB和CD的垂直平分線

        B. 四邊形MQNP為正方形

        C. 三棱錐A-BCD的體積為295

        D. 經(jīng)過三棱錐A-BCD各個(gè)頂點(diǎn)的球的表面積為55π

        第Ⅱ卷

        三、填空題(本題共4小題,每小題5分)

        13.直線y=x與曲線y=2lnx+m相切,則m=.

        14.已知(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7,則|a1|+|a2|+…+|a7|=.

        15.在我國古代數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》中,卷下第二十六題是:今有物,不知其數(shù),三三數(shù)之剩二,五五數(shù)之剩三,七七數(shù)之剩二,問物幾何?滿足題意的答案可以用數(shù)列表示,該數(shù)列的通項(xiàng)公式可以表示為an=.

        16.若點(diǎn)A(-1,0),B(1,0),P滿足|PA|·|PB|=54,則點(diǎn)P的軌跡C的方程為(x2+y2)2-2(x2-y2)=,設(shè)M,N是軌跡C與x軸的兩個(gè)交點(diǎn),則△PMN面積的最大值為.

        四、解答題(共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)

        17.(本小題滿分10分)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知asinA+C2=bsinA.

        1求B;

        2若△ABC為銳角三角形,且c=1,求△ABC面積的取值范圍.

        18.(本小題滿分12分)在①log2an+1=log2an+1,②an+1=an+2n,③a2n+1-an+1an=2a2n(an>0)這三個(gè)條件中任選一個(gè),補(bǔ)充在下面問題中,并作答.

        已知{bn-an}為等差數(shù)列,bn的前n項(xiàng)和為Sn,且a1=2,b1=2,b3=14,,是否存在正整數(shù)k,使得Sk>2021?若存在,求k的最小值;若不存在,說明理由.

        19.(本小題滿分12分)如圖3,在棱錐P-ABCD中,側(cè)面PDC是邊長為2的正三角形,底面ABCD是菱形,平面PCD⊥平面ABCD,M是PB的中點(diǎn),且∠BCD=120°.

        (1)求證:PA⊥CD;

        (2)求直線PD與平面CDM所成角的正弦值.

        20.(本小題滿分12分)已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)過點(diǎn)(2,1),且離心率為22.

        (1)求橢圓C的方程;

        (2)是否存在過點(diǎn)P(0,3)的直線l與橢圓C相交于A,B兩點(diǎn),且滿足PB=2PA,若存在,求出直線l的方程;若不存在,請(qǐng)說明理由.

        21.(本小題滿分12分)在一個(gè)系統(tǒng)中,每一個(gè)設(shè)備能正常工作的概率稱為設(shè)備的可靠度,而系統(tǒng)能正常工作的概率稱為系統(tǒng)的可靠度,為了增加系統(tǒng)的可靠度,人們經(jīng)常使用“備用冗余設(shè)備”(即正在使用的設(shè)備出故障時(shí)才啟動(dòng)的設(shè)備).已知某計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)服務(wù)器系統(tǒng)采用的是“一用兩備”(即一臺(tái)正常設(shè)備,兩臺(tái)備用設(shè)備)的配置,這三臺(tái)設(shè)備中,只要有一臺(tái)能正常工作,計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)就不會(huì)斷掉.設(shè)三臺(tái)設(shè)備的可靠度均為r(0<r<1),它們之間相互不影響.

        (1)要使系統(tǒng)的可靠度不低于0.992,求r的最小值;

        (2)當(dāng)r=0.9時(shí),求能正常工作的設(shè)備數(shù)X的分布列;

        (3)已知某高科技產(chǎn)業(yè)園當(dāng)前的計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)中每臺(tái)設(shè)備的可靠度是0.7,根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)可知,計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)斷掉可能給該產(chǎn)業(yè)園帶來約50萬的經(jīng)濟(jì)損失.為減少對(duì)該產(chǎn)業(yè)園帶來的經(jīng)濟(jì)損失,有以下兩種方案:

        方案1:更換部分設(shè)備的硬件,使得每臺(tái)設(shè)備的可靠度維持在0.9,更新設(shè)備硬件總費(fèi)用為8萬元;

        方案2:對(duì)系統(tǒng)的設(shè)備進(jìn)行維護(hù),使得設(shè)備可靠度維持在0.8,設(shè)備維護(hù)總費(fèi)用為5萬元.

        請(qǐng)從期望損失最小的角度判斷決策部門該如何決策?

        22.(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)=1ax2+lnx-(2+1a)x,(a≠0).

        (1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;

        (2)令F(x)=af(x)-x2,若F(x)<1-2ax在x∈(1,+∞)恒成立,求整數(shù)a的最大值.

        (參考數(shù)據(jù):ln3<43,ln4>54)

        參考答案

        一、選擇題

        1.B2.B3.B4.A5.C6.D7.C

        8.D9.AC10.AD11.BCD12.ACD

        二、填空題

        13.2-2ln214. 218615. 105n-82,n∈N*16.9161516

        三、解答題

        17.(1)因?yàn)閍sinA+C2=bsinA,即asinπ-B2=acosB2=bsinA.

        可得sinAcosB2=sinBsinA=2sinB2cosB2sinA.

        因?yàn)閟inA>0,

        所以cosB2=2sinB2cosB2.

        因?yàn)閏osB2≠0,

        所以sinB2=12,解得B=π3.

        2若△ABC為銳角三角形,且c=1,

        由余弦定理,得b=a2+1-2a·1·cosπ3=a2-a+1.

        由△ABC為銳角三角形,可得a2+a2-a+1>1且1+a2-a+1>a2,

        解得12<a<2.

        所以S△ABC=12ac·sinπ3=34a∈(38,32).

        18.選①:由log2an+1=log2an+1,得

        log2an+1-log2an=1.

        所以{log2an}是首項(xiàng)為log2a1=1,公差為1的等差數(shù)列.

        所以log2an=1+(n-1)×1=n,故an=2n.

        又b1=2,b3=14,a1=2,a3=8,

        所以b1-a1=0,b3-a3=6.所以等差數(shù)列{bn-an}的公差d=(b3-a3)-(b1-a1)3-1=3.

        所以bn-an=b1-a1+(n-1)d=3(n-1).

        所以bn=2n+3(n-1),

        Sn=(21+22+23+…+2n)+3(1+2+3+…+n)-3n=2n+1-2+3n2-3n2,

        且當(dāng)n為正整數(shù)時(shí)Sn單調(diào)遞增.由Sn>2021得n≥10,即存在正整數(shù)k,使得Sk>2021,且k的最小值為10.

        選②:由an+1=an+2n,得a2-a1=21,a3-a2=22,a4-a3=23,…,an-an-1=2n-1(n≥2).

        相加得an-a1=21+22+23+…+2n-1=2(1-2n-1)1-2=2n-2.又a1=2,所以an=2n(n≥2).

        顯然a1=2也滿足an=2n(n≥2),故an=2n.

        以下解法同選①.

        選③:由a2n+1-an+1an=2a2n整理,得

        (an+1-2an)(an+1+an)=0.

        又an>0,所以an+1=2an,即an+1an=2.

        所以an是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列,所以an=2n.

        以下解法同選①.

        19.(1)因底面ABCD是菱形,且∠BCD=120°,

        所以∠CDA=60°.

        連接AC,所以△CDA為等邊三角形.

        取CD的中點(diǎn)O,連接AO,PO,則AO⊥CD,PO⊥CD,又AO∩PO=O,AO,PO平面AOP,

        所以CD⊥平面AOP.

        又PA平面AOP,所以CD⊥PA.

        (2)因?yàn)槠矫鍼CD⊥平面ABCD,平面PCD∩平面ABCD=CD,OP平面PCD,OP⊥CD,

        所以O(shè)P⊥平面ABCD.

        又OA平面ABCD,所以O(shè)P⊥OA,

        又OA⊥CD,PO⊥CD,

        所以O(shè)A,OP,CD兩兩垂直.

        以O(shè)為原點(diǎn),OD,OA,OP分別為x,y,z軸正方向,建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz,如圖4所示,則

        P(0,0,3),D(1,0,0),C(-1,0,0),B(-2,3,0),M(-1,32,32),

        圖4

        PD=(1,0,-3),CD=(2,0,0),CM=(0,32,32).

        設(shè)n=(x,y,z)為平面CDM的法向量,則

        n·CD=0,n·CM=0,即2x=0,32y+32z=0.

        令y=1,則z=-1,故n=(0,1,-1).所以cos<PD,n>=PD·n|PD|·|n|=322=64.

        所以直線PD與平面CDM所成角的正弦值為64.

        20.1由已知點(diǎn)代入橢圓方程得2a2+1b2=1.

        由e=22得ca=22,可轉(zhuǎn)化為a2=2b2.

        由以上兩式解得a2=4,b2=2.

        所以橢圓C的方程為x24+y22=1.

        2存在這樣的直線.

        設(shè)所求直線與橢圓相交兩點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),

        當(dāng)l的斜率不存在時(shí),顯然不滿足PB=2PA,所以設(shè)所求直線方程l:y=kx+3,代入橢圓方程得

        (1+2k2)x2+12kx+14=0.

        則x1+x2=-12k1+2k2,①

        x1x2=141+2k2.②

        △=(12k)2-4×14×(1+2k2)>0,

        即k2>74.

        由已知條件PB=2PA,

        可得x2=2x1. ③

        綜合上述①②③解得k2=72>74,符合題意.

        所以所求直線方程為y=±142x+3.

        21.(1)要使系統(tǒng)的可靠度不低于0.992,則P(X≥1)=1-P(X<1)=1-P(X=0)=1-(1-r)3≥0.992,解得r≥0.8,故r的最小值為0.8.

        (2)設(shè)X為能正常工作的設(shè)備數(shù),由題意可知,X~B(3,r).

        P(X=0)=C03×0.90×(1-0.9)3=0.001,

        P(X=1)=C13×0.91×(1-0.9)2=0.027,

        P(X=2)=C23×0.92×(1-0.9)1=0.243,

        P(X=3)=C33×0.93×(1-0.9)0=0.729,

        所以X的分布列為

        X0123

        P0.0010.0270.2430.729

        (3)設(shè)方案1,方案2的總損失分別為X1,X2.

        采用方案1,更換部分設(shè)備的硬件, 使得設(shè)備可靠度達(dá)到0.9,由(2) 可知計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)斷掉的概率為0.001,不斷掉的概率為0.999,因此E(X1) =80000+0.001×500000=80500(元).

        采用方案2, 對(duì)系統(tǒng)的設(shè)備進(jìn)行維護(hù), 使得設(shè)備可靠度達(dá)到0.8,由(1) 可知計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)斷掉的概率為0.008,因此E(X2)=50000+0.008×500000=54000(元).

        因此, 從期望損失最小的角度, 決策部門應(yīng)選擇方案2.

        22.1函數(shù)f(x)的定義域?yàn)椋?,+∞),且

        f ′(x)=2ax+1x-(2+1a)=2x2-(2a+1)x+aax=(x-a)(2x-1)ax,

        ①當(dāng)a≤0時(shí),由f ′(x)>0,

        得0<x<12,由f ′(x)<0,解得x>12,因此當(dāng)a≤0時(shí),f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0,12),單調(diào)減區(qū)間為(12,+∞).

        ②當(dāng)0<a<12時(shí),令f ′(x)>0,解得0<x<a或x>12,可知f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0,a)和(12,+∞),單調(diào)減區(qū)間為(a,12).

        ③當(dāng)a=12時(shí),f ′(x)≥0恒成立,此時(shí)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0,+∞),無單調(diào)遞減區(qū)間.

        ④當(dāng)a>12時(shí),令f ′(x)>0,解得0<x<12或x>a,此時(shí)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,12)和(a,+∞),單調(diào)減區(qū)間為(12,a).

        (2)F(x)=af(x)-x2=alnx-(2a+1)x,則F(x)<1-2ax在x∈(1,+∞)恒成立等價(jià)于a<x+1lnx(x>1)恒成立.

        令h(x)=x+1lnx(x>1),

        則h′(x)=lnx-1x-1(lnx)2.

        令t(x)=lnx-1x-1(x>1),可知t(x)在(1,+∞)單調(diào)遞增,且t(3)<0,t(4)>0,

        所以x0∈(3,4),使得t(x0)=lnx0-1x0-1=0.

        從而h(x)在(1,x0)單調(diào)遞減,在[x0,+∞)單調(diào)遞增.

        所以h(x)min=h(x0)=x0+1lnx0=x0+11x0+1=x0∈(3,4).

        因?yàn)閍<x+1lnx(x>1)恒成立,

        所以a<h(x)min=x0.

        故整數(shù)a的最大值為3.

        [責(zé)任編輯:李璟]

        收稿日期:2022-02-05

        作者簡介:李昌成(1977-),男,四川省資陽人,本科,中學(xué)正高級(jí)教師,從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.[FQ)]

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