本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分.時量120分鐘，滿分150分.

第Ⅰ卷

一、單選題（本大題共8小題，每小題5分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）

1.設(shè)φ∈R，則“f（x）=cos（x+φ）（x∈R）為偶函數(shù)”是“φ=π”的（）.

A. 充分不必要條件

B. 必要不充分條件C. 充分必要條件

D. 既不充分也不必要條件

2.設(shè)i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)2i1-i在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)位于（）.

A.第一象限B. 第二象限

C.第三象限D(zhuǎn). 第四象限

3.已知|a|=2|b|≠0，且關(guān)于x的方程x2+

|a|x+a·b=0有實(shí)根，則a與b的夾角的取值范圍是（）.

A. 0，π6B. π3，π

C. π3，2π3D. π6，π

4.函數(shù)f（x）=（m2-m-1）xm2+2m-5是冪函數(shù)，對任意的x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，滿足f（x1）-f（x2）x1-x2>0，若a，b∈R，且a+b>0，則f（a）+f（b）的值（）.

A. 恒大于0B. 恒小于0

C. 等于0D. 無法判斷

5.等腰Rt△OAB內(nèi)接于拋物線，其中O為拋物線C：y2=2px（p>0）的頂點(diǎn)，OA⊥OB，△OAB的面積為16，F(xiàn)為C的焦點(diǎn)，M為C上的動點(diǎn)，則|OM||MF|的最大值為（）.

A. 33B. 63C. 233D. 263

6.2cos48°-23sin36°cos36°cos27°-sin27°=（）.

A. 22B. 1C. -1D. -22

7.如圖1，在等邊△ABC中，D，E分別是線段AB，AC上異于端點(diǎn)的動點(diǎn)，且BD=CE，現(xiàn)將△ADE沿直線DE折起，使平面ADE⊥平面BCED，當(dāng)點(diǎn)D從點(diǎn)B滑動到點(diǎn)A的過程中，則下列選項(xiàng)中錯誤的是（）.

A. ∠ADB的大小不會發(fā)生變化

B. 二面角A-BD-C的平面角的大小不會發(fā)生變化

C. BD與平面ABC所成的角變大

D. AB與DE所成的角先變小后變大

8.設(shè)（lnx）2-lnx-2=0的兩根是α，β，則logαβ+logβα=（）.

A. 32B. -32C. 52D. -52

二、多選題（本大題共4小題，每小題5分.在每個小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選出的得5分，部分選出的得2分，有選錯的得0分）

9.已知函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（ω>0，|φ|<π2），其圖象相鄰兩條對稱軸之間的距離為π4，且直線x=-π12是其中一條對稱軸，則下列結(jié)論正確的是（）.

A. 函數(shù)f（x）的最小正周期為π2

B. 函數(shù)f（x）在區(qū)間[-π6，π12]上單調(diào)遞增

C. 點(diǎn)（-5π24，0）是函數(shù)f（x）圖象的一個對稱中心

D. 將函數(shù)f（x）圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的圖象向左平移π6個單位長度，可得到g（x）=sin2x的圖象

10.在發(fā)生公共衛(wèi)生事件期間，有專業(yè)機(jī)構(gòu)認(rèn)為該事件在一段時間內(nèi)沒有發(fā)生大規(guī)模群體感染的標(biāo)志為“連續(xù)10天，每天新增疑似病例不超過7人”.過去10日，甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例數(shù)據(jù)信息如下：

甲地：中位數(shù)為2，極差為5;

乙地：總體平均數(shù)為2，眾數(shù)為2;

丙地：總體平均數(shù)為1，總體方差大于0;

丁地：總體平均數(shù)為2，總體方差為3.

則甲、乙、丙、丁四地中，一定沒有發(fā)生大規(guī)模群體感染的有（）.

A. 甲地B. 乙地C. 丙地D. 丁地

11.我們把離心率為e=5+12的雙曲線x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）稱為黃金雙曲線.如圖2所示，A1，A2是雙曲線的實(shí)軸頂點(diǎn)，B1，B2是虛軸頂點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是焦點(diǎn)，過右焦點(diǎn)F2且垂直于x軸的直線交雙曲線于M，N兩點(diǎn)，則下列命題正確的是（）.

A. 雙曲線x2-y25+1=1是黃金雙曲線

B. 若b2=ac，則該雙曲線是黃金雙曲線

C. 若∠F1B1A2=90°，則該雙曲線是黃金雙曲線

D. 若∠MON=90°，則該雙曲線是黃金雙曲線

12.在三棱錐A-BCD中，AB=CD=6，AC=BD=5，AD=BC=7，M，N，P，Q分別為棱AB，CD，AD，BC的中點(diǎn)，則（）.

A. 直線MN是線段AB和CD的垂直平分線

B. 四邊形MQNP為正方形

C. 三棱錐A-BCD的體積為295

D. 經(jīng)過三棱錐A-BCD各個頂點(diǎn)的球的表面積為55π

第Ⅱ卷

三、填空題（本題共4小題，每小題5分）

13.直線y=x與曲線y=2lnx+m相切，則m=.

14.已知（1-2x）7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7，則|a1|+|a2|+…+|a7|=.

15.在我國古代數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》中，卷下第二十六題是：今有物，不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問物幾何？滿足題意的答案可以用數(shù)列表示，該數(shù)列的通項(xiàng)公式可以表示為an=.

16.若點(diǎn)A（-1，0），B（1，0），P滿足|PA|·|PB|=54，則點(diǎn)P的軌跡C的方程為（x2+y2）2-2（x2-y2）=，設(shè)M，N是軌跡C與x軸的兩個交點(diǎn)，則△PMN面積的最大值為.

四、解答題（共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）

17.（本小題滿分10分）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知asinA+C2=bsinA.

1求B;

2若△ABC為銳角三角形，且c=1，求△ABC面積的取值范圍.

18.（本小題滿分12分）在①log2an+1=log2an+1，②an+1=an+2n，③a2n+1-an+1an=2a2n（an>0）這三個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面問題中，并作答.

已知{bn-an}為等差數(shù)列，bn的前n項(xiàng)和為Sn，且a1=2，b1=2，b3=14，，是否存在正整數(shù)k，使得Sk>2021？若存在，求k的最小值;若不存在，說明理由.

19.（本小題滿分12分）如圖3，在棱錐P-ABCD中，側(cè)面PDC是邊長為2的正三角形，底面ABCD是菱形，平面PCD⊥平面ABCD，M是PB的中點(diǎn)，且∠BCD=120°.

（1）求證：PA⊥CD;

（2）求直線PD與平面CDM所成角的正弦值.

20.（本小題滿分12分）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）過點(diǎn)（2，1），且離心率為22.

（1）求橢圓C的方程;

（2）是否存在過點(diǎn)P（0，3）的直線l與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，且滿足PB=2PA，若存在，求出直線l的方程;若不存在，請說明理由.

21.（本小題滿分12分）在一個系統(tǒng)中，每一個設(shè)備能正常工作的概率稱為設(shè)備的可靠度，而系統(tǒng)能正常工作的概率稱為系統(tǒng)的可靠度，為了增加系統(tǒng)的可靠度，人們經(jīng)常使用“備用冗余設(shè)備”（即正在使用的設(shè)備出故障時才啟動的設(shè)備）.已知某計算機(jī)網(wǎng)絡(luò)服務(wù)器系統(tǒng)采用的是“一用兩備”（即一臺正常設(shè)備，兩臺備用設(shè)備）的配置，這三臺設(shè)備中，只要有一臺能正常工作，計算機(jī)網(wǎng)絡(luò)就不會斷掉.設(shè)三臺設(shè)備的可靠度均為r（0<r<1），它們之間相互不影響.

（1）要使系統(tǒng)的可靠度不低于0.992，求r的最小值;

（2）當(dāng)r=0.9時，求能正常工作的設(shè)備數(shù)X的分布列;

（3）已知某高科技產(chǎn)業(yè)園當(dāng)前的計算機(jī)網(wǎng)絡(luò)中每臺設(shè)備的可靠度是0.7，根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)可知，計算機(jī)網(wǎng)絡(luò)斷掉可能給該產(chǎn)業(yè)園帶來約50萬的經(jīng)濟(jì)損失.為減少對該產(chǎn)業(yè)園帶來的經(jīng)濟(jì)損失，有以下兩種方案：

方案1：更換部分設(shè)備的硬件，使得每臺設(shè)備的可靠度維持在0.9，更新設(shè)備硬件總費(fèi)用為8萬元;

方案2：對系統(tǒng)的設(shè)備進(jìn)行維護(hù)，使得設(shè)備可靠度維持在0.8，設(shè)備維護(hù)總費(fèi)用為5萬元.

請從期望損失最小的角度判斷決策部門該如何決策？

22.（本小題滿分12分）已知函數(shù)f（x）=1ax2+lnx-（2+1a）x，（a≠0）.

（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間;

（2）令F（x）=af（x）-x2，若F（x）<1-2ax在x∈（1，+∞）恒成立，求整數(shù)a的最大值.

（參考數(shù)據(jù)：ln3<43，ln4>54）

參考答案

一、選擇題

1.B2.B3.B4.A5.C6.D7.C

8.D9.AC10.AD11.BCD12.ACD

二、填空題

13.2-2ln214. 218615. 105n-82，n∈N*16.9161516

三、解答題

17.（1）因?yàn)閍sinA+C2=bsinA，即asinπ-B2=acosB2=bsinA.

可得sinAcosB2=sinBsinA=2sinB2cosB2sinA.

因?yàn)閟inA>0，

所以cosB2=2sinB2cosB2.

因?yàn)閏osB2≠0，

所以sinB2=12，解得B=π3.

2若△ABC為銳角三角形，且c=1，

由余弦定理，得b=a2+1-2a·1·cosπ3=a2-a+1.

由△ABC為銳角三角形，可得a2+a2-a+1>1且1+a2-a+1>a2，

解得12<a<2.

所以S△ABC=12ac·sinπ3=34a∈（38，32）.

18.選①：由log2an+1=log2an+1，得

log2an+1-log2an=1.

所以{log2an}是首項(xiàng)為log2a1=1，公差為1的等差數(shù)列.

所以log2an=1+（n-1）×1=n，故an=2n.

又b1=2，b3=14，a1=2，a3=8，

所以b1-a1=0，b3-a3=6.所以等差數(shù)列{bn-an}的公差d=（b3-a3）-（b1-a1）3-1=3.

所以bn-an=b1-a1+（n-1）d=3（n-1）.

所以bn=2n+3（n-1），

Sn=（21+22+23+…+2n）+3（1+2+3+…+n）-3n=2n+1-2+3n2-3n2，

且當(dāng)n為正整數(shù)時Sn單調(diào)遞增.由Sn>2021得n≥10，即存在正整數(shù)k，使得Sk>2021，且k的最小值為10.

選②：由an+1=an+2n，得a2-a1=21，a3-a2=22，a4-a3=23，…，an-an-1=2n-1（n≥2）.

相加得an-a1=21+22+23+…+2n-1=2（1-2n-1）1-2=2n-2.又a1=2，所以an=2n（n≥2）.

顯然a1=2也滿足an=2n（n≥2），故an=2n.

以下解法同選①.

選③：由a2n+1-an+1an=2a2n整理，得

（an+1-2an）（an+1+an）=0.

又an>0，所以an+1=2an，即an+1an=2.

所以an是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，所以an=2n.

以下解法同選①.

19.（1）因底面ABCD是菱形，且∠BCD=120°，

所以∠CDA=60°.

連接AC，所以△CDA為等邊三角形.

取CD的中點(diǎn)O，連接AO，PO，則AO⊥CD，PO⊥CD，又AO∩PO=O，AO，PO平面AOP，

所以CD⊥平面AOP.

又PA平面AOP，所以CD⊥PA.

（2）因?yàn)槠矫鍼CD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD=CD，OP平面PCD，OP⊥CD，

所以O(shè)P⊥平面ABCD.

又OA平面ABCD，所以O(shè)P⊥OA，

又OA⊥CD，PO⊥CD，

所以O(shè)A，OP，CD兩兩垂直.

以O(shè)為原點(diǎn)，OD，OA，OP分別為x，y，z軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，如圖4所示，則

P（0，0，3），D（1，0，0），C（-1，0，0），B（-2，3，0），M（-1，32，32），

圖4

PD=（1，0，-3），CD=（2，0，0），CM=（0，32，32）.

設(shè)n=（x，y，z）為平面CDM的法向量，則

n·CD=0，n·CM=0，即2x=0，32y+32z=0.

令y=1，則z=-1，故n=（0，1，-1）.所以cos<PD，n>=PD·n|PD|·|n|=322=64.

所以直線PD與平面CDM所成角的正弦值為64.

20.1由已知點(diǎn)代入橢圓方程得2a2+1b2=1.

由e=22得ca=22，可轉(zhuǎn)化為a2=2b2.

由以上兩式解得a2=4，b2=2.

所以橢圓C的方程為x24+y22=1.

2存在這樣的直線.

設(shè)所求直線與橢圓相交兩點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），

當(dāng)l的斜率不存在時，顯然不滿足PB=2PA，所以設(shè)所求直線方程l：y=kx+3，代入橢圓方程得

（1+2k2）x2+12kx+14=0.

則x1+x2=-12k1+2k2，①

x1x2=141+2k2.②

△=（12k）2-4×14×（1+2k2）>0，

即k2>74.

由已知條件PB=2PA，

可得x2=2x1. ③

綜合上述①②③解得k2=72>74，符合題意.

所以所求直線方程為y=±142x+3.

21.（1）要使系統(tǒng)的可靠度不低于0.992，則P（X≥1）=1-P（X<1）=1-P（X=0）=1-（1-r）3≥0.992，解得r≥0.8，故r的最小值為0.8.

（2）設(shè)X為能正常工作的設(shè)備數(shù)，由題意可知，X～B（3，r）.

P（X=0）=C03×0.90×（1-0.9）3=0.001，

P（X=1）=C13×0.91×（1-0.9）2=0.027，

P（X=2）=C23×0.92×（1-0.9）1=0.243，

P（X=3）=C33×0.93×（1-0.9）0=0.729，

所以X的分布列為

X0123

P0.0010.0270.2430.729

（3）設(shè)方案1，方案2的總損失分別為X1，X2.

采用方案1，更換部分設(shè)備的硬件， 使得設(shè)備可靠度達(dá)到0.9，由（2） 可知計算機(jī)網(wǎng)絡(luò)斷掉的概率為0.001，不斷掉的概率為0.999，因此E（X1） =80000+0.001×500000=80500（元）.

采用方案2， 對系統(tǒng)的設(shè)備進(jìn)行維護(hù)， 使得設(shè)備可靠度達(dá)到0.8，由（1） 可知計算機(jī)網(wǎng)絡(luò)斷掉的概率為0.008，因此E（X2）=50000+0.008×500000=54000（元）.

因此， 從期望損失最小的角度， 決策部門應(yīng)選擇方案2.

22.1函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），且

f ′（x）=2ax+1x-（2+1a）=2x2-（2a+1）x+aax=（x-a）（2x-1）ax，

①當(dāng)a≤0時，由f ′（x）>0，

得0<x<12，由f ′（x）<0，解得x>12，因此當(dāng)a≤0時，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，12），單調(diào)減區(qū)間為（12，+∞）.

②當(dāng)0<a<12時，令f ′（x）>0，解得0<x<a或x>12，可知f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，a）和（12，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（a，12）.

③當(dāng)a=12時，f ′（x）≥0恒成立，此時f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，+∞），無單調(diào)遞減區(qū)間.

④當(dāng)a>12時，令f ′（x）>0，解得0<x<12或x>a，此時f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，12）和（a，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（12，a）.

（2）F（x）=af（x）-x2=alnx-（2a+1）x，則F（x）<1-2ax在x∈（1，+∞）恒成立等價于a<x+1lnx（x>1）恒成立.

令h（x）=x+1lnx（x>1），

則h′（x）=lnx-1x-1（lnx）2.

令t（x）=lnx-1x-1（x>1），可知t（x）在（1，+∞）單調(diào)遞增，且t（3）<0，t（4）>0，

所以x0∈（3，4），使得t（x0）=lnx0-1x0-1=0.

從而h（x）在（1，x0）單調(diào)遞減，在[x0，+∞）單調(diào)遞增.

所以h（x）min=h（x0）=x0+1lnx0=x0+11x0+1=x0∈（3，4）.

因?yàn)閍<x+1lnx（x>1）恒成立，

所以a<h（x）min=x0.

故整數(shù)a的最大值為3.

[責(zé)任編輯：李璟]

收稿日期：2022-02-05

作者簡介：李昌成（1977-），男，四川省資陽人，本科，中學(xué)正高級教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.[FQ）]