摘要：2021年全國(guó)甲卷理科第5題看似普通，細(xì)細(xì)品味后卻發(fā)現(xiàn)內(nèi)含豐富，給人啟迪，簡(jiǎn)約而不簡(jiǎn)單，深刻而不深?yuàn)W的一道試題，它既考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力，又考查了學(xué)生的直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.它既有利于拓展學(xué)生知識(shí)，又有利于培養(yǎng)學(xué)生的解題思維和構(gòu)建解題方法，是一道非常值得探究的題.本文從12個(gè)不同視角對(duì)試題進(jìn)行解答.

關(guān)鍵詞：特值法;排除法;面積法;余弦定理;正弦定理

中圖分類號(hào)：G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1008-0333（2022）13-0026-04

1 試題呈現(xiàn)

題目已知F1，F(xiàn)2是雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，且∠F1PF2=60°，PF1=3PF2，則C的離心率為（）.

A.72B.132C.7D.13

2 試題解答

解析不妨設(shè)C是中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線，如圖1所示.

由PF1-PF2=2a，PF1=3PF2，

得PF1=3a，PF2=a.

視角1特值法（條件附值推結(jié)果）.

令a=1，則PF2=1，PF1=3.圖1

在△F1PF2中，由余弦定理，得

F1F22=PF12+PF22-2PF1·PF2·cos∠F1PF2

=9+1-2×3×1×12=7.

所以F1F2=7.

所以2c=7，即c=72.

所以e=ca=721=72，故選A.

點(diǎn)評(píng)對(duì)部分條件附值，有利于降低試題在運(yùn)算過(guò)程中的難度，提高解題效率.

視角2特值法（結(jié)果附值，驗(yàn)證是否滿足條件）.

若e=72，即ca=72.

不妨設(shè)a=2，c=7，則PF1=6，PF2=2.

在△F1PF2中，由余弦定理，得

F1F22=PF12+PF22-2PF1·PF2·cos∠F1PF2=36+4-2×6×2×12=28.

所以F1F2=27，即c=7，符合假設(shè).故選A.

點(diǎn)評(píng)對(duì)目標(biāo)附值，通過(guò)逆向思維，驗(yàn)證是否滿足條件，排除選項(xiàng)，這是在解答選擇題時(shí)常用的一種方法，它也有利于降低試題在運(yùn)算過(guò)程中的難度，提高解題效率.

視角3排除法（點(diǎn)與圓的位置關(guān)系）.

因?yàn)镺為F1F2的中點(diǎn)，

所以PO=12（PF1+PF2）.

所以PO2=14（PF12+2PF1·PF2+PF22）

=14（9a2+2×3a×a×cos60°+a2）

=13a24.

所以PO=13a2.

因?yàn)椤螰1PF2=60°，

所以點(diǎn)P在以F1F2為直徑的圓的外部.

所以PO>12F1F2.即13a2>c.

所以e=ca<132.

所以排除B，C，D，故選A.

點(diǎn)評(píng)利用點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的性質(zhì)，得出點(diǎn)P在圓外，從而得出PO>12F1F2，進(jìn)而得出離心率的范圍，排除其他選項(xiàng).

視角4排除法（大角對(duì)大邊，大邊對(duì)大角）.

由PF1=3a，PF2=a，F(xiàn)1F2=2c，

得PF2最小.

若F1F2最大，由∠F1PF2=60°，

則△PF1F2的內(nèi)角和小于180°，這與三角形的內(nèi)角和定理矛盾.

故PF1最大，所以∠PF2F1>∠F1PF2=60°.

所以3a>2c.即e=ca<32.

所以排除B，C，D，故選A.

點(diǎn)評(píng)利用大角對(duì)大邊，大邊對(duì)大角，得出a，c的關(guān)系，從而得出離心率的范圍，排除其他選項(xiàng).

視角5面積法（已知三角形兩邊和它們的夾角的面積公式和海倫公式）.

由S△F1PF2=12PF1·PF2·sin∠F1PF2

=（2a+c）（2a-c）（c-a）（c+a），

得334a2=（4a2-c2）（c2-a2）.

化簡(jiǎn)，得c4-5c2a2+2716a4=0.

即e4-5e2+2716=0.

解得e2=74或e2=134.

所以e=72或e=132.

由PF1=3a，PF2=a，F(xiàn)1F2=2c，

得PF2最小.

若F1F2最大，由∠F1PF2=60°，

則△PF1F2的內(nèi)角和小于180°，這與三角形的內(nèi)角和定理矛盾.

故PF1最大，所以∠PF2F1>∠F1PF2=60°.

所以3a>2c.

所以e=ca<32，故選A.

點(diǎn)評(píng)利用等面積法計(jì)算出離心率的值，再利用大角對(duì)大邊，大邊對(duì)大角排除干擾答案.

視角6面積法（雙曲線焦點(diǎn)三角形的面積公式和海倫公式）.

由S△F1PF2=b2tan∠F1PF22

=（2a+c）（2a-c）（c-a）（c+a），

得3b2=（4a2-c2）（c2-a2）.

又a2+b2=c2，解得4b2=3a2.

即b2a2=34.

所以e=1+b2a2=1+34=72.故選A.

點(diǎn)評(píng)利用等面積法計(jì)算出a，b，c的關(guān)系，再配合a2+b2=c2，解出a，b關(guān)系，最后利用離心率公式求解.

視角7面積法（已知三角形兩邊和它們的夾角的面積公式和雙曲線焦點(diǎn)三角形的面積公式）.

由S△F1PF2=12PF1·PF2·sin∠F1PF2

=b2tan∠F1PF22，

得12×3a×a×sin60°=b2tan30°.

解得b2a2=34.

所以e=1+b2a2=1+34=72.

故選A.

點(diǎn)評(píng)利用等面積法計(jì)算出a，b的關(guān)系，然后利用離心率公式求解.

視角8面積法（雙曲線焦點(diǎn)三角形的面積公式和雙曲線的焦半徑公式）.

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x0，y0），

則S△F1PF2=cy0=b2tan∠F1PF22.

得y0=3b2c.

由雙曲線的右焦半徑公式，得

PF2=ex0-a.

得x0=2a2c.

又因?yàn)閤20a2-y20b2=1，

所以4a2c2-3b2c2=1.

則4a2-3b2=c2.

又c2=a2+b2，解得b2a2=34.

所以e=1+b2a2=1+34=72.

故選A.

點(diǎn)評(píng)利用等面積法計(jì)算出點(diǎn)P的縱坐標(biāo)，利用焦半徑公式計(jì)算出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，然后將其代入雙曲線的方程中，解出a，b，c的關(guān)系，再配合a2+b2=c2，解出a，b關(guān)系，最后利用離心率公式求解.

視角9余弦定理.

在△F1PF2中，由余弦定理，得

F1F22=PF12+PF22-2PF1·PF2·cos∠F1PF2.

則4c2=9a2+a2-2×3a×a×12.

所以c2a2=74.

所以e=ca=72，故選A.

點(diǎn)評(píng)直接利用余弦定理解出a，c的關(guān)系，再后利用離心率公式求解.

視角10正弦定理.

因?yàn)镻F1=3PF2，由正弦定理，得

sin∠PF2F1=3sin∠PF1F2.

又因?yàn)椤螰1PF2=60°，

所以∠PF2F1+∠PF1F2=120°.

所以3sin∠PF1F2=sin（120°-∠PF1F2）

=sin120°·cos∠PF1F2-cos120°·sin∠PF1F2

所以5sin∠PF1F2=3cos∠PF1F2.

又因?yàn)閟in2∠PF1F2+cos2∠PF1F2=1，

所以sin∠PF1F2=2114.

在ΔF1PF2中，由正弦定理，得

F1F2sin∠F2PF1=PF2sin∠PF1F2.

則2csin60°=a2114，得e=ca=72.故選A.

點(diǎn)評(píng)多次利用正弦定理解出a，c的關(guān)系，再利用離心率公式求解.

視角11正弦定理→雙曲線的離心率公式.

因?yàn)镻F1=3PF2，由正弦定理，得

sin∠PF2F1=3sin∠PF1F2.

又因?yàn)椤螰1PF2=60°，

所以∠PF2F1+∠PF1F2=120°.

所以3sin∠PF1F2=sin（120°-∠PF1F2）.

所以3sin∠PF1F2

=sin120°·cos∠PF1F2-cos120°·sin∠PF1F2.

所以5sin∠PF1F2=3cos∠PF1F2.

又因?yàn)閟in2∠PF1F2+cos2∠PF1F2=1，

所以sin∠PF1F2=2114.

所以sin∠PF2F1=3sin∠PF1F2=32114.

由雙曲線的離心率公式

e=sin∠F2PF1sin∠PF2F1-sin∠PF1F2，

得e=sin60°32114-2114=72.故選A.

點(diǎn)評(píng)利用正弦定理解出三角形的三個(gè)內(nèi)角的正弦值，再利用離心率公式求解.

視角12正弦定理→雙曲線的焦半徑公式.

因?yàn)镻F1=3PF2，由正弦定理，得

sin∠PF2F1=3sin∠PF1F2.

又因?yàn)椤螰1PF2=60°，

所以∠PF2F1+∠PF1F2=120°.

所以3sin∠PF1F2=sin（120°-∠PF1F2）.

所以3sin∠PF1F2=sin120°·cos∠PF1F2-cos120°·sin∠PF1F2.

所以5sin∠PF1F2=3cos∠PF1F2.

又因?yàn)閟in2∠PF1F2+cos2∠PF1F2=1，

所以sin∠PF1F2=2114，cos∠PF1F2=5714.

設(shè)直線PF2的傾斜角為θ，

則cosθ=cos（∠PF1F2+60°）

=cos∠PF1F2·cos60°-sin∠PF1F2·sin60°

=5714×12-2114×32

=714.

由雙曲線的焦半徑公式

PF2=b2a-c·cosθ，

得a=b2a-714c.

即b2=a2-714ac.

又a2+b2=c2，

則

c2+714ac-2a2=0.

即e2+714e-2=0.

解得e=72，或e=-477（舍去）.

故選A.

點(diǎn)評(píng)利用正弦定理解出焦半徑所在直線的傾斜角的余弦值，代入焦半徑公式中得出a，b，c的關(guān)系，再配合a2+b2=c2，解出離心率.

不管解答哪一類試題都要掌握其實(shí)質(zhì)，掌握其規(guī)律，規(guī)范其步驟，探究其變式.久而久之，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力、數(shù)學(xué)解題能力、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)等定會(huì)有大幅度的提升.

參考文獻(xiàn)：

[1] 吳家華.2021年高考數(shù)學(xué)全國(guó)（甲卷）理科第5題的推廣與引申[J].數(shù)理化學(xué)習(xí)，2021（08）：7-10.

[責(zé)任編輯：李璟]

收稿日期：2022-02-05

作者簡(jiǎn)介：李勇（1976.9-），男，貴州省石阡人，本科，中學(xué)高級(jí)教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.[FQ）]