本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，時量120分鐘.滿分150分.

第Ⅰ卷

一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）

1.已知集合M={x|-3<x≤5}，N={x|x<-5或x>4}，則M∪N=（）.

A.{x|x<-5或x>-3}

B. {x|-5<x<4}

C. {x|-3<x<4}

D. {x|x<-3或x>5}

2.已知a=（3，-1），b=（-1，2），c=2a+b，則c=（ ）.

A.（6，-2）B.5，0

C. （-5，0）D. 0，5

3.（1+i）3（1-i）2=（）.

A.1+iB.1-iC. -1+iD. -1-i

4.我國數(shù)學(xué)家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果，哥德巴赫猜想的內(nèi)容是：每個大于2的偶數(shù)都可以表示為兩個素數(shù)的和，例如：10=5+5=3+7（其中3+7與7+3算同一種方法），在大于4且不超過16的偶數(shù)中，隨機選取兩個不同的偶數(shù)，則兩個偶數(shù)都可以有兩種方法表示為兩個素數(shù)的和的概率為（）.

A.45B.35C. 12D. 15

5.一個總體中有600個個體，隨機編號為001，002，…，600，利用系統(tǒng)抽樣方法抽取容量為24的一個樣本，總體分組后在第一組隨機抽得的編號為006，則在編號為051～125之間抽得的編號為（）.

A.056，080，104B.054，078，102

C. 054，079，104D. 056，081，106

6.我國古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“遠望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有燈（）.

A.1盞B.3盞C. 5盞D. 9盞

7.已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A>0，ω>0，|φ|<π2）的圖象（部分）如圖1所示，則fx的解析式是（ ）.

圖1

A.fx=2sinx+π6x∈R

B.fx=2sin2x+π6x∈R

C. fx=2sinx+π3x∈R

D. fx=2sin2x+π3x∈R

8.毛澤東在《七律二首·送瘟神》中有句詩為“坐地日行八萬里，巡天遙看一千河.”前半句的意思是：人坐在地面上不動，由于地球的自轉(zhuǎn)，每晝夜會隨著地面經(jīng)過八萬里路程.詩中所提到的八萬里，指的是人坐在赤道附近所得到的數(shù)據(jù).設(shè)某地所在緯度為北緯θ（0°<θ<90°）（即地球球心O和該地的連線與赤道平面所成的角為θ，且sinθ=74.若將地球近似看作球體，則某人在該地每晝夜隨著地球自轉(zhuǎn)而經(jīng)過的路程約為（）.

A.6萬里B.27萬里C. 26萬里D. 7萬里

9.已知點P，Q分別為圓x2+（y-3）2=1和橢圓y225+x216=1上的點，則P，Q兩點間的最大距離是（）.

A.6B.7C. 8D. 9

10.函數(shù)f（x）=1x，x≥1，-x2+2，x<1的最大值為（）.

A.1B.2C. 12D. 13

11.圖2網(wǎng)格紙中小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為（）.

圖2

A.7π+8+42B.7π+4+42

C. 5π+8+42D. 5π+4+42

12.已知函數(shù)f（x）=（12）x-14，x<1，log2（x+3），x≥1，g（x）=ax2+2x+a-1.若對任意的x1∈R，總存在實數(shù)x2∈[0，+∞），使得f（x1）=g（x2）成立，則實數(shù)a的取值范圍為（）.

A.[0，54]B.[0，54）

C. （-∞，54）D. [54，+∞）

第Ⅱ卷（非選擇題，共90分）

二、填空題（本大題共4小題，每小題5分）

13.等比數(shù)列an中，4a1，2a2，a3成等差數(shù)列，若a1=1，則公比q=.

14.函數(shù)y=a27x3+1的圖象與直線y=x相切，則a=.

15.已知實數(shù)x，y滿足約束條件x-1≥0，x-y+1≥0，3x-y-3≤0，則z=2x+y的最大值為.

16.如圖3，雙曲線的中心在坐標(biāo)原點，焦點在x軸上，A1，A2為雙曲線的頂點，B1，B2為雙曲線虛軸的端點，F(xiàn)2為雙曲線的右焦點，延長B1A2與F2B2交于點P，若∠B1PB2為銳角，則該雙曲線的離心率的取值范圍是.

圖3

三、解答題（解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）

17.（本小題滿分12分）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足ab+ba=sin2CsinAsinB-1.

（1）求角C.

（2）若BC=4，△ABC的中線CD=2，求△ABC的面積.

18.（本小題滿分12分）如圖4，在三棱柱ABC-A1B1C1中，O為AB的中點，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°.

圖4

（1）證明：AB⊥平面A1OC;

（2）若AB=CB=2，OA1⊥OC，求三棱錐A1-ABC的體積.

19.（本小題滿分12分）十九大提出：堅決打贏脫貧攻堅戰(zhàn)，做到精準(zhǔn)扶貧，某省某科研機構(gòu)幫助某貧困縣的農(nóng)村村民真正脫貧，堅持扶貧同扶智相結(jié)合，積極引導(dǎo)該縣農(nóng)民種植一種名貴中藥材，從而大大提升了該村村民的經(jīng)濟收入.2019年年底，該機構(gòu)從該縣種植了這種名貴藥材的農(nóng)戶中隨機抽取了n戶，統(tǒng)計了他們2019年因種植中藥材所獲純利潤（單位：萬元）的情況（假定農(nóng)戶因種植中藥材這一項一年最多增加11萬元），并分成以下幾組：1，3，3，5，5，7，7，9，9，11，統(tǒng)計結(jié)果見下表所示，已知樣本中數(shù)據(jù)落在9，11這一組的頻率為0.1.

純利潤1，33，55，77，99，11頻數(shù)2030a4020

（1）求n和表中a的值;

（2）試估計該貧困縣農(nóng)戶因種植中藥材所獲純利潤的平均值和中位數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點值為代表）.

20.（本小題滿分12分）已知F（1，0），直線l：x=-1，P為平面上的動點，過點P作l的垂線，垂足為點Q，且QP·QF=FP·FQ.

（1）求動點P的軌跡C的方程.

（2）設(shè)動直線y=kx+m與曲線C相切于點M，且與直線x=-1相交于點N，試問：在x軸上是否存在一個定點E，使得以MN為直徑的圓恒過此定點？若存在，求出定點E的坐標(biāo);若不存在，請說明理由.

21.（本小題滿分12分）已知函數(shù)f（x）=xsinx+cosx-1，g（x）=14x2-f（x）.

（1）求f（x）在區(qū)間（0，2π）上的極值點;

（2）證明：g（x）恰有3個零點.

請考生在第22，23題中任選一題做答，如果多做，則按所做的第一題記分，做答時請寫清題號.

22.（本小題滿分10分）在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為x=2+2cosθ，y=2sinθ，若曲線C2與曲線C1關(guān)于直線y=x對稱.

（1）求曲線C2的直角坐標(biāo)方程;

（2）在以O(shè)為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，射線θ=π3與C1的異于極點的交點為A，與C2的異于極點的交點為B，求|AB|.

23.（本小題滿分10分）已知函數(shù)f（x）=-x2+ax+4，g（x）=|x+1|+|x-1|.

（1）當(dāng)a=1時，求不等式f（x）≥g（x）的解集;

（2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[-1，1]，求a的取值范圍.

參考答案

一、選擇題

1.A2.B3.D4.D5.D6.B7.C8.A9.D10.B11.C12.A

二、填空題

13.214.415.716.（1，1+52）

三、解答題

17.（1）由正弦定理及已知條件，得ab+ba=c2ab-1.兩邊同乘ab，得a2+b2-c2=-ab.

由余弦定理，得cosC=a2+b2-c22ab=-12.

因為0<C<π，所以C=2π3.

（2）方法1設(shè)AC=x，AD=BD=y，

由余弦定理，得cos∠ACB=x2+16-4y28x=-12.

即x2+16-4y2=-4x.①

根據(jù)余弦定理，得

cos∠ADC=y2+4-x24y，

cos∠BDC=y2+4-164y.

因為∠ADC與∠BDC互補，

所以cos∠ADC+cos∠BDC=0.即2y2-x2-8=0.②

聯(lián)立①②，解得x=4，y=23，

所以S△ABC=12·AC·BC·sin∠ACB=12×4×4×sin2π3

=43.

方法2延長CD至點E，使DC=DE，連接AE，BE，則所得四邊形ACBE是平行四邊形.

所以∠CBE=π3.

又因為CE=2CD=4，BC=4，

所以BE=4，AC=4.

所以S△ABC=12·AC·BC·sin∠ACB=12×4×4×sin2π3=43.

18.（1）因為CA=CB，O為AB中點，所以O(shè)C⊥AB.

因為AB=AA1，∠BAA1=60°，

所以△AA1B為等邊三角形，即OA1⊥AB.

又OC∩OA1=O，OC，OA1平面A1OC，

所以AB⊥平面A1OC.

（2）因為AB=CB=2，

所以△ABC為邊長是2的等邊三角形，

則S△ABC=12×2×3=3.

因為OA1⊥AB，OA1⊥OC，AB∩OC=O，AB，OC平面ABC，所以O(shè)A1⊥平面ABC.

即OA1是三棱錐A1-ABC的高.

又OA1=3，

所以三棱錐A1-ABC的體積V=13×3×3=1.

19.（1）由題意知n=200.1=200，所以a=200-20-30-40-20=90.

（2）計算可得樣本中的數(shù)據(jù)落在每個區(qū)間的頻率分別為0.1，0.15，0.45，0.2，0.1，所以農(nóng)戶種植中藥材所獲純利潤的平均值為2×0.1+4×0.15+6×0.45+8×0.2+10×0.1=6.1（萬元）.

因為前2組的頻率為0.25<0.5，前3組的頻率為0.7>0.5，所以樣本的中位數(shù)在第三組，設(shè)樣本的中位數(shù)為x（萬元），

所以0.25+x-52×0.45=0.5，

所以x=559（萬元）.

所以該貧困縣農(nóng)戶因種植中藥材所獲純利潤的平均數(shù)為6.1萬元，中位數(shù)為559萬元.

20.（1）設(shè)點P（x，y），則Q（-1，y）.由QP·QF=FP·FQ，

得（x+1，0）·（2，-y）=（x-1，y）·（-2，y）.化簡得動點P的軌跡C的方程為y2=4x.

（2）由y=kx+m，y2=4x，得k2x2+（2km-4）x+m2=0.

由Δ=0，得km=1.

從而有M（m2，2m），N（-1，-1m+m）.

假設(shè)存在點E（x0，0）滿足ME⊥NE，則

（x0-m2）（x0+1）+（-2m）（1m-m）=0.

即（1-x0）m2+x20+x0-2=0.①

當(dāng)x0=1時，①式恒成立.

所以存在一個定點E（1，0），使得以MN為直徑的圓恒過此定點.

21.（1）f ′（x）=xcosx（x∈（0，2π）），

令f ′（x）=0，得x=π2或x=3π2.

當(dāng)x∈（0，π2）時，f ′（x）>0，f（x）單調(diào)遞增;

當(dāng)x∈（π2，3π2）時，f ′（x）<0，f（x）單調(diào)遞減：

當(dāng)x∈（3π2，2π）時，f ′（x）>0，f（x）單調(diào)遞增.

故x=π2是f（x）的極大值點，x=3π2是f（x）的極小值點.

綜上所述，f（x）在區(qū)間（0，2π）上的極大值點為x=π2，極小值點為x=3π2.

（2）由題意，得g（x）=14x2-f（x）=14x2+1-xsinx-cosx（x∈R）.

因為g（0）=0，所以x=0是g（x）的一個零點.

因為g（-x）=（-x）24+1-（-x）sin（-x）-cos（-x）

=14x2+1-xsinx-cosx=g（x），且定義域關(guān)于原點對稱，所以g（x）為偶函數(shù).

即要確定g（x）在R上的零點個數(shù)，只需確定x>0時，g（x）的零點個數(shù)即可.當(dāng)x>0時，g′（x）=12x-xcosx=12x（1-2cosx）.

令g′（x）=0，即cosx=12，解得x=π3+2kπ或x=5π3+2kπ（k∈N）.

當(dāng)x∈（0，π3）時，g′（x）<0，g（x）單調(diào)遞減，

又g（0）=0，所以g（π3）<0.

當(dāng)x∈（π3，53π）時，g′（x）>0，g（x）單調(diào)遞增，且g（53π）=2536π2+536π+12>0.

所以g（x）在區(qū)間（0，53π）內(nèi)有唯一零點.

當(dāng)x≥53π時，由于sinx≤1，cosx≤1，

因為g（x）=14x2+1-xsinx-cosx

≥14x2+1-x-1=14x2-x=t（x），

又因為t（x）開口方向向上，對稱軸為x=2，

所以t（x）在區(qū)間[53π+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，即t（x）≥t（53π）>0.

所以g（x）>0恒成立，故g（x）在區(qū)間[53π，+∞）內(nèi)無零點.

所以g（x）在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)有一個零點，

由于g（x）是偶函數(shù)，

所以g（x）在區(qū)間（-∞，0）內(nèi)有一個零點，而g（0）=0.

綜上，g（x）有且僅有三個零點.

22.1設(shè)P（x，y），則由條件知M（y，x）.由于點M在C1上，所以y=2+2cosθx=2sinθ（θ為參數(shù)）化成直角坐標(biāo)方程為x2+（y-2）2=4.

（2）曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρ=4cosθ，曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ=4sinθ.

射線θ=π3與C1的交點A的極徑為

ρ1=4cosπ3，

射線θ=π3與C2的交點B的極徑為

ρ2=4sinπ3.

所以|AB|=|ρ2-ρ1|=23-2.

23.（1）當(dāng)a=1時，f（x）=-x2+x+4，

g（x）=|x+1|+|x-1|=2x，x>1，2，-1≤x≤1-2x，x<-1.，

當(dāng)x>1時，令-x2+x+4≥2x，解得1<x≤17-12.則f（x）≥g（x）的解集為（1，17-12].

當(dāng)-1≤x≤1時，令-x2+x+4≥2，解得-1≤x≤1，則f（x）≥g（x）的解集為[-1，1].

當(dāng)x<-1時，令-x2+x+4≥-2x，此時無解，則f（x）≥g（x）的解集為.

綜上所述，f（x）≥g（x）的解集為[-1，17-12].（2）依題意-x2+ax+4≥2在[-1，1]恒成立.

即x2-ax-2≤0在[-1，1]上恒成立.

則只需12-a·1-2≤0，（-1）2-a（-1）-2≤0.解得-1≤a≤1，故a的取值范圍是[-1，1].

[責(zé)任編輯：李璟]

收稿日期：2022-02-05

作者簡介：李昌成（1977-），男，四川省資陽人，本科，中學(xué)正高級教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.[FQ）]