本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，時量120分鐘.滿分150分.

第Ⅰ卷

一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）

1.已知z∈C，z+|z-|=2+i，則z等于（）.

A. -34+iB. 34-iC. -34-iD. 34+i

2.設(shè)全集U=R，集合A={x|0<x<2}，B={x|x<1}，則圖1中陰影部分表示的集合為（）.

A. {x|x≥1}B. {x|x≤1}

C. {x|0<x≤1}D. {x|1≤x<2}

3.有下列四個命題：

①x∈R，2x2-3x+4>0;

②x∈{1，-1，0}，2x+1>0;

③x0∈N，使x20≤x0;

④x0∈N*，使x0為29的約數(shù).

其中真命題的個數(shù)為（）.

A. 1B. 2C. 3D. 4

4.已知f（x），g（x）分別是定義在R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且f（x）-g（x）=x3-2x2，則f（2）+g（2）=（）.

A. 16B. -16C. 8D. -8

5.正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在A1D，AC上，且A1E=23A1D，AF=13AC，則EF與C1D1所成角的余弦值為（）.

A. 39B. 66C. 33D. 63

6.現(xiàn)安排甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)參加2022年杭州亞運(yùn)會志愿者服務(wù)活動，有翻譯、導(dǎo)游、禮儀、司機(jī)四項(xiàng)工作可以安排，以下說法正確的是（）.

A.每人都安排一項(xiàng)工作的不同方法數(shù)為54

B.每人都安排一項(xiàng)工作，每項(xiàng)工作至少有一人參加，則不同的方法數(shù)為A45C14

C.如果司機(jī)工作不安排，其余三項(xiàng)工作至少安排一人，則這5名同學(xué)全部被安排的不同方法數(shù)為（C35C12+C25C23）A33

D.每人都安排一項(xiàng)工作，每項(xiàng)工作至少有一人參加，甲、乙不會開車但能從事其他三項(xiàng)工作，丙、丁、戊都能勝任四項(xiàng)工作，則不同安排方案的種數(shù)是C13C24A33+C23A33

7.將函數(shù)f（x）=cosx的圖象先向右平移56π個單位長度，再把所得函數(shù)圖象的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?ω（ω>0）倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)g（x）的圖象，若函數(shù)g（x）在（π2，3π2）上沒有零點(diǎn)，則ω的取值范圍是（）.

A. （0，29]∪[23，89]B. （0，29]

C. （0，29]∪[89，1]D. 0，1

8.如圖3是隋唐天壇，古叫圜丘，它位于唐長安城明德門遺址東約950米，即今西安市雁塔區(qū)陜西師范大學(xué)以南.天壇初建于隋而廢棄于唐末，比北京明清天壇早1000多年，是隋唐王朝近三百年里的皇家祭天之處.某數(shù)學(xué)興趣小組為了測得天壇的直徑，在天壇外圍測得AB=60米，BC=60米，CD=40米，∠ABC=60°，∠BCD=120°，據(jù)此可以估計(jì)天壇的最下面一層的直徑AD大約為（）（結(jié)果精確到1米）.

（參考數(shù)據(jù)：2≈1.414，3≈1.732，5≈2.236，7≈2.646）

A.39米B.43米C.49米D.53米

9.在區(qū)間[0，1]上隨機(jī)取兩個數(shù)x，y，記P為事件“x+y≤23”的概率，則P=（）.

A. 23B. 12C. 49D. 29

10.設(shè)函數(shù)f（x）=lnx+ax2-32x，若x=1是函數(shù)f（x）的極大值點(diǎn)，則函數(shù)f（x）的極小值為（）.

A.ln2-2B.ln2-1C.ln3-2D.ln3-1

11.橢圓x2a2+y2b2=1a>b>0上有一點(diǎn)P，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，橢圓內(nèi)一點(diǎn)Q在線段PF2的延長線上，且QF1⊥QP，sin∠F1PQ=513，則該橢圓離心率的取值范圍是（）.

A. 2626，1B. 15，53

C. 15，22D. 2626，22

12.已知大于1的三個實(shí)數(shù)a，b，c滿足（lga）2-2lgalgb+lgblgc=0，則a，b，c的大小關(guān)系不可能是（）.

A.a=b=cB. a>b>c

C.b>c>aD.b>a>c

第Ⅱ卷（非選擇題，共90分）

二、填空題（本大題共4小題，每小題5分）.

13.若雙曲線的漸近線方程為y=±34x，則雙曲線的離心率為.

14.已知向量a=（-1，2），b=（m，1），若向量a+b與a垂直，則m=.

15.鳳山媽祖不僅是美麗汕尾的景點(diǎn)之一，更是漁民航海的方向標(biāo).一艘漁船向正北方向航行，在A處看到媽祖在北偏東30°方向.繼續(xù)航行了30海里到達(dá)B處，看到媽祖在北偏東75°方向.問B處與媽祖的距離是海里.

16.在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，棱BB1，B1C1的中點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，點(diǎn)P在平面BCC1B1內(nèi)，作PQ⊥平面ACD1，垂足為點(diǎn)Q.當(dāng)點(diǎn)P在△EFB1內(nèi)（包含邊界）運(yùn)動時，點(diǎn)Q的軌跡所組成的圖形的面積等于.

三、解答題（解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）

17.（本小題滿分12分）為研究家庭收入和食品支出的關(guān)系，隨機(jī)抽取了10個家庭的樣本，得到數(shù)據(jù)見下表所示.10個家庭的月收入額與食品支出額數(shù)據(jù)（單位：百元）

家庭12345678910收入x20303340151326383543支出y7981154810

910

（1）恩格爾系數(shù)是食品支出總額占個人消費(fèi)支出總額的比重.一個家庭或個人收入越少，用于購買生存性的食物的支出在家庭或個人收入中所占的比重就越大.對一個國家而言，一個國家越窮，每個國民的平均支出中用來購買食物的費(fèi)用所占比例就越大.恩格爾系數(shù)達(dá)59%以上為貧困，50～59%為溫飽，40～50%為小康，30～40%為富裕，低于30%為最富裕.根據(jù)上述樣本數(shù)據(jù)，請估計(jì)這個國家達(dá)到最富裕（恩格爾系數(shù)<30%）的家庭比例;

（2）建立y（支出）關(guān)于x（收入）的回歸方程（系數(shù)精確到0.01，并解釋b^及a^現(xiàn)實(shí)生活意義.

參考數(shù)據(jù)：∑10i=1xi=293，∑10i=1yi=81，∑10i=1x2i=9577，

∑10i=1y2i=701，∑10i=1xiyi=2574.參考公式：回歸方程y^=b^x+a^中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為b^=∑ni=1（xi-x-）（yi-y-）∑ni=1（xi-x-）2，a^=y--b^x-.

18.（本小題滿分12分）在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面A1B1C1，AC⊥AB，AC=AB=4，AA1=6，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為CA1與AB的中點(diǎn).

（1）證明：EF∥平面BCC1B1;

（2）求B1F與平面AEF所成角的正弦值.

19.（本小題滿分12分）已知正項(xiàng)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a1=1，S2n=a2n+1-λSn+1，其中λ為常數(shù).

（1）證明：Sn+1=2Sn+λ;

（2）是否存在實(shí)數(shù)使得數(shù)列an為等比數(shù)列？若存在，求出λ的值;若不存在，請說明理由.

20.（本小題滿分12分）已知拋物線C：y2=2px（p>0），Q為C上一點(diǎn)且縱坐標(biāo)為4，QP⊥y軸于點(diǎn)P，且|QP|=12|QF|，其中點(diǎn)F為拋物線的焦點(diǎn).

（1）求拋物線C的方程;

（2）已知點(diǎn)M（12，-2），A，B是拋物線C上不同的兩點(diǎn)，且滿足kAM+kBM=-85，證明直線AB恒過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo).

21.（本小題滿分12分）已知函數(shù)f（x）=ex-

ln（x+t）+t.

（1）若x=0是f（x）的極值點(diǎn)，且f（x）-k≥0在定義域內(nèi)恒成立，求k的取值范圍;

（2）當(dāng)t≤2時，證明：f（x）>t.

請考生在第22，23題中任選一題做答，如果多做，則按所做的第一題記分，做答時請寫清題號.

22.（本小題滿分10分）已知平面直角坐標(biāo)系中，曲線C：x2+y2-6x-8y=0，直線l1：x-3y=0，直線l2：3x-y=0，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立坐標(biāo)系.

（1）寫出曲線C的參數(shù)方程以及直線l1，l2的極坐標(biāo)方程;

（2）若直線l1與曲線C分別交于O，A兩點(diǎn)，直線l2與曲線C分別交于O，B兩點(diǎn)，求△AOB的

面積.

23.（本小題滿分10分）已知函數(shù)fx=x-1a+x+a，a>0.

（1）若a=2，求不等式fx≤3的解集;

（2）若關(guān)于x的不等式fx>4恒成立，求a的取值范圍.

參考答案

一、選擇題

1.D2.D3.C4.B5.C6.D7.A

8.D9.D10.A11.D12.D

二、填空題

13.54或53

14.715.15216.312

三、解答題

17.（1）由題意可知，

10個家庭的恩格爾系數(shù)見下表所示：

家庭 1 2 3 4 5 6

7 8 9 10 恩格爾系數(shù)/%35 3024.24 27.5 33.33 30.77 30.77 26.32 25.71 23.26

所以這個國家達(dá)到最富裕的家庭有5個，估計(jì)這個國家達(dá)到最富裕的家庭比例為510=12.

（2）x-=∑10i=1xi10=29310=29.3，y-=∑10i=1yi10=8110=8.1，

所以b^=∑10i=1（xi-x-）（yi-y-）∑10i=1（xi-x-）2=∑10i=1xiyi-∑10i=1xiy--∑10i=1yix-+10x-y-∑10i=1x2i-2x-∑10i=1xi+10x-2=2574-293×8.1-81×29.3+10×29.3×8.19577-2×29.3×293+10×29.32≈0.20.

a^=y--b^x-=8.1-0.20×29.3=2.24，所以y關(guān)于x的回歸方程為y^=0.20x+2.24.b^的現(xiàn)實(shí)意義為收入每增加1百元，估計(jì)支出增加的值;

a^的現(xiàn)實(shí)意義為用于購買生存性的食物的最少支出.

18.如圖4，連接AC1，BC1.

因?yàn)槿庵鵄BC-A1B1C1為直三棱柱，所以E為AC1的中點(diǎn).

又因?yàn)镕為AB的中點(diǎn)，所以EF∥BC1.

又EF平面BCC1B1，BC1平面BCC1B1，

所以EF∥平面BCC1B1.

2以點(diǎn)A1為原點(diǎn)建立如圖3所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)1-xyz.

則A（0，0，6），B1（0，4，0），E（2，0，3），F(xiàn)（0，2，6）.

所以B1F=（0，-2，6），AE=（2，0，-3），AF=（0，2，0）.

設(shè)平面AEF的法向量為n=（x，y，z），則n·AE=2x-3z=0，

n·AF=2y=0.

令x=3，得n=（3，0，2）.

記B1F與平面AEF所成角為θ，則

sinθ=|cos<B1F·n>|=|B1F·n

|B1F|·|n|=313065.

19.1因?yàn)閍n+1=Sn+1-Sn，S2n=a2n+1-λSn+1，

所以S2n=（Sn+1-Sn）2-λSn+1.

所以Sn+1（Sn+1-2Sn-λ）=0.

因?yàn)閍n>0，所以Sn+1>0.

所以Sn+1-2Sn-λ=0.

所以Sn+1=2Sn+λ.

2因?yàn)镾n+1=2Sn+λ，Sn=2Sn-1+λ（n≥2），

相減，得an+1=2an（n≥2）.

所以{an}從第二項(xiàng)起成等比數(shù)列.

因?yàn)镾2=2S1+λ，即a2+a1=2a1+λ.

所以a2=1+λ>0，得λ>-1.

所以an=1，n=1，（λ+1）2n-2，n≥2.

若使an是等比數(shù)列，

則a1a3=a22，即2（λ+1）=（λ+1）2.

解得λ=1，經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意.

故存在λ=1，使得數(shù)列an為等比數(shù)列.

20.1設(shè)點(diǎn)Q（x0，4），由拋物線的定義可得|QF|=x0+p2.又QP⊥y軸于點(diǎn)P，且|QP|=

12|QF|，所以|QF|=2x0，即x0+p2=2x0，所以x0=p2.

又點(diǎn)Q（x0，4）在拋物線上，所以42=p2，p>0，解得p=4，所以拋物線的方程為y2=8x.

2由1可知，M（12，-2）在拋物線上，設(shè)直線AB的方程為x=my+n，點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），由x=my+n，y2=8x，得y2-8my-8n=0.

故y1+y2=8m，y1y2=-8n.

所以kAM+kBM=y1+2x1-12+y2+2x2-12

=y1+2y218-12+y2+2y228-12

=8y1-2+8y2-2

=8（y1+y2）-32y1y2-2（y1+y2）+4

=64m-32-8n-16m+4=-85.

解得n=3m-2，所以直線AB的方程為x+2=m（y+3），恒過定點(diǎn)（-2，-3）.

21.（1）因?yàn)閒（x）=ex-ln（x+t）+t，所以f ′x=ex-1x+t.

因?yàn)閤=0是f（x）的極值點(diǎn)，

所以f ′0=e0-1t=1-1t=0，解得t=1，經(jīng)檢驗(yàn)t=1符合題意，此時函數(shù)f（x）=ex-ln（x+1）+1，其定義域?yàn)椋?1，+∞）.因?yàn)閒 ′（x）=ex-1x+1=ex（x+1）-1x+1，

設(shè)g（x）=ex（x+1）-1，則

g′（x）=ex（x+1）+ex>0，

所以g（x）在（-1，+∞）上單調(diào)遞增.

又因?yàn)間（0）=0，所以當(dāng)x>0時，g（x）>0.即f ′（x）>0.

當(dāng)-1<x<0時，g（x）<0，f ′（x）<0，所以f（x）在（-1，0）上單調(diào)遞減.在（0，+∞）單調(diào)遞增.

因此f（x）的最小值為f（0）=2.

因?yàn)閒（x）-k≥0在定義域內(nèi)恒成立，

所以k≤fxmin=2，即k≤2.

2要證f（x）=ex-ln（x+t）+t>t，即證ex-ln>（x+t）>0.

設(shè)F（x）=ex-ln（x+t），即證F（x）>0.當(dāng)t≤2，x∈（-t，+∞）時，

ln（x+t）≤ln（x+2），

故只需證明當(dāng)t=2時，F(xiàn)（x）>0.當(dāng)t=2時，函數(shù)F′（x）=ex-1x+2在（-2，+∞）上

單調(diào)遞增，且F′（-1）<0，F(xiàn)′（0）>0.

故F′（x）=0在（-2，+∞）上有唯一實(shí)數(shù)根x0，且x0∈（-1，0）.當(dāng)x∈（-2，x0）時，F(xiàn)′（x）<0，F(xiàn)（x）單調(diào)遞減，

當(dāng)∈（x0，+∞）時，F(xiàn)′（x）>0，F(xiàn)（x）單調(diào)遞增，

從而當(dāng)x=x0時，F(xiàn)（x）取得最小值.

由F′（x0）=0，得ex0=1x0+2，lnx0+2=-x0.

故F（x）≥F（x0）=1x0+2+x0=（x0+1）2x0+2>0.

綜上，當(dāng)t≤2時，F(xiàn)（x）>0，即f（x）>t.

22.1依題意，曲線C：（x-3）2+（y-4）2=25.

所以曲線C的參數(shù)方程是x=3+5cosαy=4+5sinα（α為參數(shù)）.

因?yàn)橹本€l1：x-3y=0，直線l2：3x-y=0，

所以l1，l2的極坐標(biāo)方程為l1：θ=π6（ρ∈R），l2：θ=π3（ρ∈R）.

（2）因?yàn)榍€C的極坐標(biāo)方程為ρ=6cosθ+8sinθ，把θ=π6代入

得ρ1=4+33.

所以A（4+33，π6）.

把θ=π3代入，得ρ2=3+43.所以B（3+43，π3）.

所以S△AOB=12ρ1ρ2sin∠AOB=12（4+33）（3+43）sin（π3-π6）=12+2534.

23.（1）a=2時，不等式為|x-12|+|x+2|≤3，

當(dāng)x≤-2時，不等式化為-x+12-x-2≤3，解得x≥-94，此時-94≤x≤-2.

當(dāng)-2<x<12時，不等式化為52≤3恒成立，此時-2<x<12.

當(dāng)x≥12時，不等式化為x-12+x+2≤3，解得x≤34，此時12≤x≤34.

綜上，不等式的解集為[-94，34].

（2）因?yàn)閒（x）=|x-1a|+|x+a|≥|（x+a）-（x-1a）|=|a+1a|，

f（x）>4fxmin>4，

所以|a+1a|>4.

又因?yàn)閍>0，所以a+1a>4.解得0<a<2-3或a>2+3.即a的取值范圍是

（0，2-3）∪（2，+3，+∞）.

[責(zé)任編輯：李璟]

收稿日期：2022-02-05

作者簡介：李昌成（1977-），男，四川省資陽人，本科，中學(xué)正高級教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.[FQ）]