天水師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 (741001) 唐保祥

1 問題提出

函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的核心和靈魂,是必修課程的五個(gè)主題之一(預(yù)備知識(shí)、函數(shù)、幾何與代數(shù)、概率與統(tǒng)計(jì)、數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)與數(shù)學(xué)探究) ,是貫穿高中數(shù)學(xué)課程的四條主線之一(函數(shù)、代數(shù)幾何、概率與統(tǒng)計(jì)、數(shù)學(xué)建模活動(dòng)與數(shù)學(xué)探究)[1].在2019年人教A版普通高中數(shù)學(xué)教材中,函數(shù)安排必修第一冊(cè)中集中學(xué)習(xí),在之后的各冊(cè)教材中,涉及函數(shù)問題多數(shù)是連續(xù)函數(shù)的應(yīng)用.函數(shù)有連續(xù)變量函數(shù)與離散變量函數(shù)(定義域是有限集或可列集合的函數(shù)稱為離散變量函數(shù),以下簡稱離散函數(shù))之分.離散函數(shù),在2019年人教A版高中數(shù)學(xué)課本選擇性必修第二冊(cè)概率與統(tǒng)計(jì)、選擇性必修第三冊(cè)數(shù)列中學(xué)習(xí).離散函數(shù)與排列組合內(nèi)容有密切的關(guān)系[2-7].中學(xué)數(shù)學(xué)對(duì)離散函數(shù)作一些深入探究,不僅會(huì)促使學(xué)生深化函數(shù)概念的理解,而且還能引導(dǎo)和啟發(fā)學(xué)生從不同角度、不同層次對(duì)函數(shù)概念進(jìn)行深入探究,能夠挖掘鞏固教材各章節(jié)知識(shí)點(diǎn)之間的內(nèi)在聯(lián)系,發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力,使學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)得到提升.

鑒于上述原因,本文通過數(shù)例,探究離散函數(shù)與排列組合內(nèi)容之間的關(guān)聯(lián),以期有拋磚引玉之效.

2 問題呈現(xiàn)

例1 已知數(shù)集A={a1,a2,…,am},B={b1,b2,…,bn},求數(shù)集A到數(shù)集B的所有不同函數(shù)的個(gè)數(shù).

解：對(duì)任意一個(gè)函數(shù)f:A→B,?ai∈A,f(ai)∈B,i=1,2,…,m,每個(gè)f(ai)在數(shù)集B中選擇象的方法都有n(i=1,2,…,m)種,因?yàn)椴煌南髮?duì)應(yīng)不同的函數(shù),所以數(shù)集A到數(shù)集B的不同函數(shù)共有nm個(gè).

例2 已知數(shù)集N={1,2,…,n},如果函數(shù)f:N→N滿足?i,j∈N,當(dāng)i≤j時(shí),f(i)≤f(j),本文稱該函數(shù)f是離散單調(diào)遞增函數(shù);如果函數(shù)f滿足?i,j∈N,當(dāng)i≤j時(shí),f(i)≥f(j),則本文稱該函數(shù)f是離散單調(diào)遞減增函數(shù);如果存在i∈N,f(i)=i,則本文稱離散函數(shù)f是含有不動(dòng)點(diǎn)的離散函數(shù),并稱i是離散函數(shù)f的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn).

(1)求N到N的所有不同的離散單調(diào)遞增函數(shù)的個(gè)數(shù);

(2)求N到N的所有不同的離散單遞減函數(shù)的個(gè)數(shù);

(3)求N到N的所有不同的既非離散單調(diào)遞增又非離散單調(diào)遞減函數(shù)的個(gè)數(shù);

(4)求N到N的所有不同的恰好含有i個(gè)不動(dòng)點(diǎn)的離散函數(shù)的個(gè)數(shù);

(5)求N到N的至少含有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)的離散函數(shù)的個(gè)數(shù).

解：(1)通過具體實(shí)例,探究單調(diào)函數(shù)數(shù)目的規(guī)律.由例1可知,當(dāng)N={1,2,3}時(shí),N到N的所有不同的函數(shù)共有33=27個(gè).27個(gè)不同函數(shù)如表1所示:

表1

根據(jù)題目中離散單調(diào)遞增函數(shù)的定義,由表1看出,函數(shù)f:{1,2,3}→{1,2,3}中共有10個(gè)離散單調(diào)遞增函數(shù),它們分別是f1,f2,f3,f5,f6,f9,f14,f15,f18,f27.離散函數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)(i,fk(i))(i=1,2,3)是橫縱坐標(biāo)都是1至3的整數(shù),本文稱之為格點(diǎn).在坐標(biāo)平面,把離散函數(shù)對(duì)應(yīng)的格點(diǎn)與點(diǎn)(1,1)、(4,3)用水平或豎直的線段連接起來,畫出f1,f2,f3,f5,f6,f9,f14,f15,f18,f27的圖象如圖1所示:

圖1

由圖1可知,每一個(gè)離散單調(diào)遞增函數(shù)對(duì)應(yīng)著沿小正方形的邊,由點(diǎn)(1,1)到點(diǎn)(4,3)一條“最短路徑”;反過來,每一條沿小正方形的邊由點(diǎn)(1,1)到點(diǎn)(4,3)“最短路徑”對(duì)應(yīng)著一個(gè)離散單調(diào)增函數(shù)f:{1,2,3}→{1,2,3}.

(2)由表1看出,離散函數(shù)f:{1,2,3}→{1,2,3}中共有10個(gè)離散單調(diào)遞減函數(shù),它們分別是f1,f10,f13,f14,f19,f22,f23,f25,f26,f27.在坐標(biāo)平面,把離散函數(shù)對(duì)應(yīng)的格點(diǎn)與點(diǎn)(0,3)、(3,1)用水平或豎直的線段連接起來,畫出f1,f10,f13,f14,f19,f22,f23,f25,f26,f27的圖象如圖2所示:

圖2

由圖2可知,每一個(gè)離散單調(diào)遞減函數(shù)f:{1,2,3}→{1,2,3}對(duì)應(yīng)著沿小正方形的邊,由點(diǎn)(0,3)到點(diǎn)(3,1)一條“最短路徑”;反過來,每一條沿小正方形的邊由點(diǎn)(0,3)到點(diǎn)(3,1)“最短路徑”對(duì)應(yīng)著一個(gè)離散單調(diào)遞減函數(shù)f:{1,2,3}→{1,2,3}.

(3)當(dāng)N={1,2,…,n}時(shí),既是離散單調(diào)增的函數(shù)又是離散單調(diào)遞減的函數(shù)有n個(gè),它們是fj(i)=i,i=1,2,…,n;j=1,2,…,n.

所以N到N的既非離散單調(diào)增又非離散單調(diào)遞減函數(shù)的數(shù)目為

(5)設(shè)f是N到N的任意一個(gè)不含不動(dòng)點(diǎn)的離散函數(shù),則?i∈N,f(i)≠i,所以f(i)只能取{1,2,…,i-1,i+1,…,n}中任意一個(gè)值,i=1,2,…,n.所以N到N的不含不動(dòng)點(diǎn)的離散函數(shù)共有(n-1)n個(gè).于是,N到N的至少含有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)的離散函數(shù)的個(gè)數(shù)為nn-(n-1)n.

例3 已知數(shù)集A={a1,a2,…,am},B={b1,b2,…,bn},若m≤n,求滿足條件?ai,aj∈A,當(dāng)ai≠aj時(shí),f(ai)≠f(aj)的所有不同函數(shù)f:A→B的個(gè)數(shù).

例4 已知A={1,2},B={0,3,4},給出數(shù)集A到數(shù)集B的值域中恰有兩個(gè)元素的所有函數(shù)f:A→B.

解：集合B={0,3,4}的兩個(gè)元素的子集有三個(gè),它們分別是:B1={0,3},B2={0,4},B3={3,4}.所以值域中恰有兩個(gè)元素的函數(shù)f:A→B1有2個(gè)、函數(shù)f:A→B2有2個(gè)、函數(shù)f:A→B3有2個(gè).所以值域中恰有兩個(gè)元素的所有函數(shù)f:A→B共有6個(gè),這6個(gè)不同函數(shù)如表2所示:

表2

例5 已知A={1,2,3,4},B={0,1,2},函數(shù)f:A→B,滿足f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=4,求滿足條件的函數(shù)共有多少個(gè)？

表3