上海師范大學(xué)附屬外國(guó)語(yǔ)中學(xué) (201615) 程莉芳 董海濤

解析幾何是溝通代數(shù)與幾何的重要載體，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合意識(shí)的重要素材.圓錐曲線(xiàn)性質(zhì)與結(jié)論眾多，題型靈活多變，且題目計(jì)算繁瑣，因此在求解有關(guān)圓錐曲線(xiàn)問(wèn)題時(shí)，筆者認(rèn)為必須重視圓錐曲線(xiàn)的定義在解題中的應(yīng)用.本文精選幾例，以期引起大家對(duì)圓錐曲線(xiàn)數(shù)學(xué)定義教學(xué)的重視.

一、借助圓錐曲線(xiàn)的定義判斷動(dòng)點(diǎn)軌跡的形狀

例1 已知復(fù)數(shù)z1=x+2+yi,z2=x-2+yi(x,y∈R)，且|z1|+|z2|=6，則動(dòng)點(diǎn)P(x,y)的軌跡為.

二、聯(lián)想圓錐曲線(xiàn)的定義探求動(dòng)點(diǎn)軌跡的方程

圖1

評(píng)注：當(dāng)題目中涉及到動(dòng)點(diǎn)、定點(diǎn)(特別是關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)定點(diǎn))時(shí)，首先聯(lián)想圓錐曲線(xiàn)的定義，然后結(jié)合題目中動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足的具體條件進(jìn)行相應(yīng)的轉(zhuǎn)化，尋找動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)的距離和(差)的關(guān)系，最后將等量關(guān)系解析化，得出距離和(差)的關(guān)系式，軌跡形狀就清楚了.

變式已知△ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)分別為A(-5,0)、B(5,0)，△ABC的內(nèi)心在直線(xiàn)x=3上移動(dòng)，求第三個(gè)頂點(diǎn)C的軌跡方程.

圖2

三、利用圓錐曲線(xiàn)的定義轉(zhuǎn)化求最值

例3 在拋物線(xiàn)y2=4x上找一點(diǎn)M，使點(diǎn)M到點(diǎn)F(1,0)和點(diǎn)A(3,2)兩點(diǎn)的距離之和最小，并求這個(gè)最小值.

解析：如圖3，不難發(fā)現(xiàn)定點(diǎn)F(1,0)為拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，可利用拋物線(xiàn)的定義，轉(zhuǎn)化為點(diǎn)M到準(zhǔn)線(xiàn)和點(diǎn)A(3,2)的距離之和最小，因?yàn)槿c(diǎn)共線(xiàn)時(shí)距離之和最小，問(wèn)題即轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)A(3,2)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離.可得dmin=|AA′|=4.

圖3

例4 定長(zhǎng)為4的線(xiàn)段AB的端點(diǎn)A,B在拋物線(xiàn)x2=y上移動(dòng)，求線(xiàn)段AB的中點(diǎn)C到x軸距離的最小值.

圖4

在平面幾何中我們知道，平面中到兩個(gè)定點(diǎn)A,B距離之和最小的點(diǎn)應(yīng)在線(xiàn)段AB上，而到兩個(gè)定點(diǎn)A,B距離之差最大、最小的點(diǎn)應(yīng)在線(xiàn)段AB的延長(zhǎng)線(xiàn)(或AB的反向延長(zhǎng)線(xiàn)上).若要在圓錐曲線(xiàn)上求一個(gè)點(diǎn)，使其到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和(差)有最值，但線(xiàn)段與圓錐曲線(xiàn)卻沒(méi)有交點(diǎn)時(shí)，如何利用圓錐曲線(xiàn)的定義進(jìn)行巧妙的轉(zhuǎn)化呢？

圖5

評(píng)注：以上幾例有關(guān)距離的最值問(wèn)題是圓錐曲線(xiàn)中的典型問(wèn)題，求解這類(lèi)題目時(shí)，應(yīng)根據(jù)圓錐曲線(xiàn)定義的幾何特征，首先作出符合題目要求的圖形，結(jié)合平面幾何相關(guān)知識(shí)，借助圓錐曲線(xiàn)的定義，尋找動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足的等量關(guān)系式，最后將等量關(guān)系式解析化.一般的，只要?jiǎng)狱c(diǎn)與其中一個(gè)焦點(diǎn)有關(guān)聯(lián)，則應(yīng)優(yōu)先考慮圓錐曲線(xiàn)的定義.

四、借助定義確定切點(diǎn)位置

圖6

解：由橢圓定義易得C△MF1F2=2a+2c,而ME=MG,F2G=F2F，F(xiàn)1E=F1F，所以F1M+ME+F1F2+F2F=2a+2c，即F1E+F1F=2(a+c)，所以F1F=a+c，即點(diǎn)F與點(diǎn)A重合.所以，圓O在x軸上的切點(diǎn)為點(diǎn)A.

圖7

總之，圓錐曲線(xiàn)的定義是分析、研究、解決圓錐曲線(xiàn)問(wèn)題的重要依據(jù)與手段，是圓錐曲線(xiàn)幾何性質(zhì)、定理的“起源”.正確對(duì)待定義、認(rèn)真學(xué)好定義、恰當(dāng)合理的運(yùn)用定義，不但能夠提高學(xué)生的解題能力，更有助于培養(yǎng)學(xué)生形成良好的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣和數(shù)學(xué)素養(yǎng)，進(jìn)而可以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神.