福建省福清第一中學(xué) (350300) 林琳琳

福建省福清市教師進(jìn)修學(xué)校 (350300) 林新建

多面體外接球問(wèn)題一直是數(shù)學(xué)高考的熱點(diǎn)，此類(lèi)問(wèn)題由于模型多變，難度較大，要求學(xué)生有較強(qiáng)的直觀感知和空間想象的能力，考生往往難以完美作答.其實(shí)，解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵在于球心位置的確定，考生若能直觀問(wèn)題的本質(zhì)，依據(jù)球心到多面體各個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，以及球心在各個(gè)面上的投影到面上各個(gè)頂點(diǎn)的距離也相等，則不難確定出球心的位置，問(wèn)題也就不難獲得解決.本文給出確定球心位置的四種策略，供借鑒.

1.依循定義，等距定心

依循多面體外接球的定義，循序找出與各頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，該點(diǎn)即為多面體外接球的球心，問(wèn)題隨之獲得解決.

例2 (2017年福建省普通高中畢業(yè)班4月質(zhì)量檢查理數(shù)第10題)空間四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，E,F分別是AB，CD的中點(diǎn)，且EF⊥AB，EF⊥CD.若AB=8，CD=EF=4，則該球的半徑等于( ).

圖1

評(píng)析：依循定義，先找出與部分頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，進(jìn)而判定這是與所有頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，這是“依循定義等距定心”的關(guān)鍵.

2.補(bǔ)全形體，等距定心

將多面體的形體補(bǔ)全，如根據(jù)三條側(cè)棱兩兩垂直，將四面體補(bǔ)成長(zhǎng)方體或正方體；三對(duì)對(duì)棱兩兩相等，將四面體補(bǔ)成長(zhǎng)方體等，則可根據(jù)對(duì)角線(xiàn)交點(diǎn)到各頂點(diǎn)的距離相等確定出球心，進(jìn)而將問(wèn)題輕松予以解決.

圖2

例4 (2019年全國(guó)卷Ⅰ理科第12題)已知三棱錐P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，又E,F分別為PA,AB中點(diǎn)，∠CEF=90°，則球O的體積為( ).

圖3

評(píng)析：依據(jù)多面體的特征，判斷這是哪一個(gè)形體的一部分，進(jìn)而將其補(bǔ)全，這是“補(bǔ)全形體，等距定心”的關(guān)鍵.

3.找出投影，等距定心

根據(jù)球心到面上各個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，可知球心在面上的投影到各個(gè)頂點(diǎn)的距離也相等，球心在過(guò)投影且垂直于平面的直線(xiàn)上，由此可過(guò)投影作對(duì)應(yīng)平面的垂線(xiàn)，垂線(xiàn)的交點(diǎn)即為球心.

例6 (福州市2021年高中畢業(yè)班第一次質(zhì)量檢測(cè)第15題)在三棱錐P-ABC中，側(cè)面PAC與底面ABC垂直，∠BAC=90°，∠PCA=30°，AB=3，PA=2.則三棱錐P-ABC的外接球的表面積為.

評(píng)析：解決此類(lèi)問(wèn)題關(guān)鍵在于兩“心”(外心和球心)的確定，先確定面的外心，再確定球心，這是問(wèn)題得以解決的關(guān)鍵.

4.以算代證，等距定心

當(dāng)尋找或判定球心位置有難度時(shí)，我們可以以算代證，通過(guò)建立坐標(biāo)系賦予頂點(diǎn)和球心坐標(biāo)，進(jìn)而通過(guò)等距得到方程，確定出球心位置.

圖4

評(píng)析：由于建系，我們賦予了點(diǎn)以坐標(biāo)，將幾何推證問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算問(wèn)題，降低了空間想象的難度，使得解題具體形象，易于操作.

數(shù)學(xué)高考命題的原則是：以數(shù)學(xué)內(nèi)容為主線(xiàn)，聚焦學(xué)生對(duì)重要概念,定理,方法,思想的理解和應(yīng)用；注重?cái)?shù)學(xué)本質(zhì),通性通法，淡化解題技巧.故我們?cè)诮忸}過(guò)程中，要引領(lǐng)學(xué)生如何利用數(shù)學(xué)本質(zhì)來(lái)解題，而不是一味講授解決此類(lèi)問(wèn)題應(yīng)具備有什么樣的技巧.只要基于問(wèn)題本質(zhì)，不管模型如何改變，題目如何變化，都會(huì)使學(xué)生從“山重水復(fù)疑無(wú)路”的窘迫中解脫，感受到“柳暗花明又一村”的驚喜.