■福建省龍巖市永定區(qū)實(shí)驗(yàn)小學(xué) 曾秀珍

數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）把空間觀念的培養(yǎng)列為十大核心概念之一，并指出空間觀念主要是指根據(jù)物體特征抽象出幾何圖形，根據(jù)幾何圖形想象出所描述的實(shí)際物體；想象出物體的方位和相互之間的位置關(guān)系；描述圖形的運(yùn)動(dòng)和變化；依據(jù)語(yǔ)言的描述畫出圖形等。小學(xué)生的空間觀念主要表現(xiàn)在對(duì)所學(xué)幾何形體的原型、幾何圖形與它們的名稱、特征之間建立起“刺激——反應(yīng)（聯(lián)想）——抽象”。從心理學(xué)的視角看，空間知覺、空間表象、空間想象和空間能力四者之間是相互聯(lián)系、密不可分的，呈遞進(jìn)式發(fā)展；空間表象是在空間知覺的基礎(chǔ)上建立的，空間想象是空間表象的發(fā)展；空間表象作為一種信息表征，起著承前啟后的作用。小學(xué)階段是空間觀念發(fā)展的重要時(shí)期。怎樣培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的空間觀念，筆者結(jié)合“圖形的旋轉(zhuǎn)”教學(xué)從學(xué)習(xí)進(jìn)階視域下談幾點(diǎn)感受。

一、視覺直觀與思考相結(jié)合，從空間知覺進(jìn)階到空間表象

空間知覺是指關(guān)于物體或圖形的形狀、大小及距離、方位及相互位置關(guān)系的知覺。在大量空間知覺的基礎(chǔ)上，形成的關(guān)于物體或圖形的形狀、大小及相互位置關(guān)系的印象就是空間表象。荷蘭學(xué)者范.希爾夫婦的幾何發(fā)展理論指出，幾何思維水平的發(fā)展是循序漸進(jìn)的，只有掌握了低水平內(nèi)容，才能達(dá)到高一級(jí)水平。觀察和操作是發(fā)展空間觀念的重要途徑，培養(yǎng)小學(xué)生觀察能力和空間觀念是同步進(jìn)行的。因此，在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中要加強(qiáng)學(xué)生視覺直觀，引導(dǎo)學(xué)生從觀察入手，通過(guò)視覺感官逐步建立表象概念，引導(dǎo)學(xué)生在比較中辨析圖形的異同；在運(yùn)動(dòng)變化中觀察圖形，在各種情境中識(shí)別圖形的特征、位置、變化和互相關(guān)系等。如，“旋轉(zhuǎn)”隸屬于“圖形的運(yùn)動(dòng)”，縱觀人教版的教材，有關(guān)“圖形的旋轉(zhuǎn)”的知識(shí)，在義務(wù)教育階段分三個(gè)學(xué)段來(lái)學(xué)習(xí)，在第一學(xué)段編排《圖形的運(yùn)動(dòng)（一）》，通過(guò)實(shí)例讓學(xué)生初步感知圖形的旋轉(zhuǎn)，在初步感受生活中的旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象時(shí)，教材提供許多生活中的旋轉(zhuǎn)教材，而這些素材都是生活中旋轉(zhuǎn)一周的旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象。第二學(xué)段五年級(jí)下冊(cè)第五單元進(jìn)一步探索圖形旋轉(zhuǎn)的特征和性質(zhì)，當(dāng)學(xué)生再次學(xué)習(xí)“圖形的旋轉(zhuǎn)”時(shí)，對(duì)學(xué)生進(jìn)行課前測(cè)試，發(fā)現(xiàn)許多學(xué)生因?yàn)槭芮懊鎸W(xué)習(xí)因素的干擾，大都認(rèn)為只有旋轉(zhuǎn)一周的現(xiàn)象才是旋轉(zhuǎn)，而人教版五年級(jí)下冊(cè)的教材提供的旋轉(zhuǎn)素材大多是旋轉(zhuǎn)90度的現(xiàn)象。根據(jù)學(xué)生的年齡特征，第三學(xué)段學(xué)生的思維能力逐漸從直觀、形象思維向抽象思維過(guò)渡，但還是以直觀形象思維為主，為了讓學(xué)生正確地建立旋轉(zhuǎn)的概念，課堂上除提供鐘面、自行車，還特意設(shè)計(jì)鐘擺、道閘這些生活中常見的旋轉(zhuǎn)學(xué)習(xí)素材。這兩種物體的旋轉(zhuǎn)方向是變化的，旋轉(zhuǎn)角度都沒(méi)有達(dá)到360度，學(xué)生在此類豐富的學(xué)習(xí)素材中通過(guò)回憶、觀察、判斷等思維活動(dòng)，在對(duì)比中初步認(rèn)識(shí)到旋轉(zhuǎn)方向、旋轉(zhuǎn)角度都可以任意設(shè)定，拓展了學(xué)生對(duì)旋轉(zhuǎn)的認(rèn)知。學(xué)生通過(guò)觀察、對(duì)比、辨析，對(duì)接收到的外部刺激進(jìn)行逐步內(nèi)化抽象，為形成概念的表象和空間表象奠定基礎(chǔ)，實(shí)現(xiàn)從空間知覺到空間表象的完美進(jìn)階。

二、動(dòng)作直觀與想象相結(jié)合，從空間表象進(jìn)階到空間想象

心理學(xué)認(rèn)為想象是為人對(duì)頭腦中已有表象進(jìn)行改造的過(guò)程，而空間想象是以現(xiàn)實(shí)世界為背景,對(duì)頭腦中已有的幾何表象進(jìn)行加工、改造的過(guò)程。在小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，空間表象是空間觀念最主要的表征形態(tài)，表現(xiàn)在學(xué)生從不同角度觀察物體的想象力，來(lái)源于對(duì)現(xiàn)實(shí)原型的豐富感知和對(duì)活動(dòng)的深刻體驗(yàn)?？臻g想象不僅是實(shí)物形狀與幾何圖形的轉(zhuǎn)換，還是幾何體與展開圖、三視圖之間的轉(zhuǎn)換。在小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，動(dòng)手操作和想象相結(jié)合是從空間表象進(jìn)階到空間想象的有力支撐。動(dòng)手探究是培養(yǎng)學(xué)生空間想象力的一個(gè)行之有效的教學(xué)策略，特別是到了高年級(jí)，探究性學(xué)習(xí)活動(dòng)更能使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)煥發(fā)活力，教師要精心創(chuàng)設(shè)情境，引發(fā)學(xué)生認(rèn)知沖突，激發(fā)學(xué)生探究欲望，再適時(shí)給學(xué)生提供探究材料，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察、實(shí)驗(yàn)、討論等活動(dòng)中進(jìn)行發(fā)現(xiàn)、檢驗(yàn)和證明。

（一）動(dòng)手操作中豐富空間表象

皮亞杰曾說(shuō)，空間觀念的形成不像拍照，要想建立空間觀念，必須動(dòng)手做的過(guò)程。心理研究證明，視覺、觸覺、聽覺等多種感官共同參與幾何材料的操作，有利于空間觀念的建立和鞏固。學(xué)生對(duì)旋轉(zhuǎn)的認(rèn)識(shí)，并不是從概念中獲得的，而是對(duì)相關(guān)具體情境的感悟、在動(dòng)手實(shí)踐與操作的體驗(yàn)中獲得的。因此，在教學(xué)中，教師要?jiǎng)?chuàng)設(shè)有價(jià)值的情境活動(dòng)和操作活動(dòng)，鼓勵(lì)學(xué)生觀察操作、分析、表達(dá),使學(xué)生在動(dòng)作直觀中獲得豐富的感性認(rèn)識(shí),并為學(xué)生留下充分想象的時(shí)間和空間，引導(dǎo)學(xué)生在觀察實(shí)物進(jìn)行想象，在動(dòng)手操作進(jìn)行想象，通過(guò)直觀圖進(jìn)行想象，根據(jù)語(yǔ)言描述進(jìn)行想象。

學(xué)生在第一學(xué)段對(duì)旋轉(zhuǎn)有了初步認(rèn)識(shí)，第二學(xué)段的將繼續(xù)認(rèn)識(shí)旋轉(zhuǎn)的特征，明確旋轉(zhuǎn)的本質(zhì)，并能在操作中對(duì)旋轉(zhuǎn)有進(jìn)階認(rèn)識(shí)。從人教版有關(guān)“圖形的旋轉(zhuǎn)”的知識(shí)編排看，五年級(jí)進(jìn)一步探索圖形旋轉(zhuǎn)這一內(nèi)容起著承上啟下的重要作用，既要關(guān)注新舊知識(shí)的聯(lián)結(jié)點(diǎn)，用原有知識(shí)推動(dòng)新知識(shí)的學(xué)習(xí)，又要為第三學(xué)段的學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。因此，五年級(jí)學(xué)習(xí)“圖形的旋轉(zhuǎn)”的重點(diǎn)是通過(guò)多種活動(dòng)理解旋轉(zhuǎn)的含感悟旋轉(zhuǎn)的特征和性質(zhì)。結(jié)合進(jìn)階學(xué)習(xí)理論，在教學(xué)時(shí)不僅要關(guān)注感知層面的設(shè)計(jì)，更要注重操作層面的逐層遞進(jìn)設(shè)計(jì)。

課始利用思維導(dǎo)圖回顧平移、軸對(duì)稱的基本特征后，教師設(shè)計(jì)問(wèn)題串，進(jìn)行追問(wèn)：生活中有哪些旋轉(zhuǎn)的現(xiàn)象？旋轉(zhuǎn)和平移、軸對(duì)稱圖形的運(yùn)動(dòng)有聯(lián)系嗎？

在探索圖形線段的旋轉(zhuǎn)的特征時(shí)，教師設(shè)計(jì)以下兩個(gè)活動(dòng)：

活動(dòng)1：用語(yǔ)言辨析描述車桿的運(yùn)動(dòng)，讓學(xué)生明白旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)不一定要一圈又一圈地繞，只要是繞著一個(gè)點(diǎn)朝著某個(gè)方向轉(zhuǎn)動(dòng)一定角度，這樣的運(yùn)動(dòng)都是旋轉(zhuǎn)。學(xué)生用語(yǔ)言描述的過(guò)程，理解概念的本質(zhì)屬性。

活動(dòng)2：思考線段旋轉(zhuǎn)的因素。

教師：要想開啟智慧之門，必須畫出線段0A旋轉(zhuǎn)90度后的位置，想想看，線段0A旋轉(zhuǎn)90度后的位置在哪里？你能畫出線段0A旋轉(zhuǎn)90度后的位置嗎？

學(xué)生動(dòng)手操作后同桌交流，再全班交流各種不同的旋轉(zhuǎn)方法。教師引導(dǎo)學(xué)生質(zhì)疑：都是旋轉(zhuǎn)90度，為什么有多種情況？這幾種情況到底哪種才能打開智慧之門？要補(bǔ)充什么信息？學(xué)生：只有旋轉(zhuǎn)的角度還不夠，需要補(bǔ)充中心點(diǎn)和方向。教師：（課件演示：線段OA繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度）現(xiàn)在補(bǔ)完整信息了，你能想象它是怎樣旋轉(zhuǎn)的嗎？為什么？

學(xué)生在認(rèn)真觀察、積極思考、大膽猜測(cè)、激烈討論、動(dòng)手操作驗(yàn)證中，把想象與操作驗(yàn)證相結(jié)合。學(xué)生先把圖形的旋轉(zhuǎn)過(guò)程用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述，初步體會(huì)旋轉(zhuǎn)的基本要素；教師再引導(dǎo)學(xué)生利用多種感官協(xié)同操作，通過(guò)想象、反思將操作活動(dòng)慢慢地內(nèi)化為心理操作，只有給足旋轉(zhuǎn)的三要素，才能確定旋轉(zhuǎn)的位置，從而明白旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的概念本質(zhì)。教師通過(guò)創(chuàng)設(shè)問(wèn)題串引導(dǎo)學(xué)生觀察、思考、猜測(cè)、想象、操作和驗(yàn)證，把動(dòng)作直觀和想象相結(jié)合，逐漸挖掘出概念的本質(zhì)、屬性，讓概念在頭腦中逐步完善，實(shí)現(xiàn)從空間表象到空間想象的進(jìn)階。

（二）運(yùn)動(dòng)變換中發(fā)展空間想象

圖形的平移、旋轉(zhuǎn)、對(duì)稱現(xiàn)象是圖形變換的基本形式。圖形的變換是研究幾何問(wèn)題的有效工具，它將運(yùn)動(dòng)觀點(diǎn)引入幾何教學(xué)中，使靜止的圖形動(dòng)起來(lái)，有助于學(xué)生用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，從運(yùn)動(dòng)變化的角度認(rèn)識(shí)事物，了解圖形之間的聯(lián)系，從而發(fā)展學(xué)生的空間觀念和幾何直觀，同時(shí)有利于學(xué)生對(duì)圖形美的感受和欣賞。數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）中關(guān)于“圖形的旋轉(zhuǎn)”，第一學(xué)段要求結(jié)合實(shí)例，感知旋轉(zhuǎn)，第二學(xué)段指出通過(guò)觀察、操作等，在方格紙上認(rèn)識(shí)圖形的旋轉(zhuǎn)，會(huì)在方格紙上將簡(jiǎn)單圖形旋轉(zhuǎn)90°，能夠從旋轉(zhuǎn)的角度欣賞生活中的圖案，并運(yùn)用它們?cè)诜礁窦埳显O(shè)計(jì)簡(jiǎn)單的圖案。兩個(gè)學(xué)段的目標(biāo)呈螺旋上升的遞進(jìn)。因此，在教學(xué)中，教師要選取生活中的典型例子，讓學(xué)生在運(yùn)動(dòng)變換中感知旋轉(zhuǎn)。如二年級(jí)學(xué)習(xí)“圖形的運(yùn)動(dòng)（一）”時(shí)，教師可以先讓學(xué)生觀察生活中平移和旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象，幫助學(xué)生積累這方面的經(jīng)驗(yàn)。通過(guò)觀察初步理解平移與旋轉(zhuǎn)的特點(diǎn)后，運(yùn)用感知的經(jīng)驗(yàn)，判斷日常生活中物體運(yùn)動(dòng)的平移和旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象，說(shuō)一說(shuō)生活中平移與旋轉(zhuǎn)的具體實(shí)例，感受平移與旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象的普遍性。在學(xué)生初步感受到什么是“旋轉(zhuǎn)”和“平移”后，請(qǐng)學(xué)生閉睛靜靜地想一想什么是平移、什么是旋轉(zhuǎn)，讓學(xué)生站起身來(lái)用肢體動(dòng)作表示平移與旋轉(zhuǎn)的動(dòng)作。在活動(dòng)中學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)平移與旋轉(zhuǎn)的特點(diǎn)。讓學(xué)生靜靜地想一想，把“空白”留給學(xué)生，讓其對(duì)概念進(jìn)行重新詮釋和再次解讀，對(duì)學(xué)生沉淀知識(shí)和發(fā)展空間想象力起著至關(guān)重要的作用。有了“空白”，不同的學(xué)生會(huì)用不同的生活經(jīng)驗(yàn)、不同的思維方式進(jìn)行想象，學(xué)生的個(gè)性體驗(yàn)有了呈現(xiàn)、發(fā)展的舞臺(tái)，各種情感體驗(yàn)在一起碰撞、交流，容易激發(fā)學(xué)生的空間想象和創(chuàng)造性思維。

三、動(dòng)態(tài)想象與推理相結(jié)合，從空間想象進(jìn)階到空間能力

空間能力是以空間形式為主要對(duì)象，以空間知覺、空間表象和空間想象為主要心理活動(dòng)，在頭腦中進(jìn)行幾何抽象、分析與綜合、判斷與推理的思維能力。空間能力主要是特定領(lǐng)域內(nèi)的思維能力，它是“圖形與幾何”領(lǐng)域的核心，除了包括對(duì)信息進(jìn)行加工的空間思維，還包含解決信息輸出的空間問(wèn)題。在“圖形與幾何”的教學(xué)中，應(yīng)重視從學(xué)生的實(shí)際出發(fā)，創(chuàng)設(shè)能承轉(zhuǎn)知識(shí)的問(wèn)題情境，使學(xué)生在經(jīng)歷觀察、操作、想象、推理等學(xué)習(xí)活動(dòng)，在“動(dòng)態(tài)想象”中發(fā)展空間能力。如教學(xué)二年級(jí)下冊(cè)《圖形的旋轉(zhuǎn)》，教師可以選擇孩子喜歡和常見的卡通圖、風(fēng)車、抽屜等素材，通過(guò)列舉生活中的例子，引導(dǎo)學(xué)生分析比較、動(dòng)手操作、想象驗(yàn)證等，對(duì)圖形的旋轉(zhuǎn)進(jìn)行生動(dòng)而豐富的數(shù)學(xué)挖掘。為了進(jìn)一步提高學(xué)生對(duì)平移和旋轉(zhuǎn)概念的理解，在教學(xué)中還可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行“動(dòng)態(tài)想象”，采用讓學(xué)生先猜想，再交流，最后進(jìn)行操作，將“觀察”與“思考”相結(jié)合，提高學(xué)生空間想象力進(jìn)階到空間能力的水平，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展。

教師可以拿出一支削過(guò)的鉛筆問(wèn)學(xué)生：“閉眼想一想，旋轉(zhuǎn)這支鉛筆有幾種可能？”

教師給學(xué)生足夠的思考時(shí)間和空間，引導(dǎo)學(xué)生閉眼進(jìn)行“動(dòng)態(tài)想象”，這種想象不僅包含著圖形的變化，更加蘊(yùn)涵著一種數(shù)學(xué)思考。然后在“動(dòng)態(tài)想象”的基礎(chǔ)上再引導(dǎo)學(xué)生與同桌合作做不同的旋轉(zhuǎn)活動(dòng)，通過(guò)動(dòng)手操作將想象活動(dòng)進(jìn)行內(nèi)化，再讓學(xué)生把剛才操作時(shí)的發(fā)現(xiàn)畫在紙上，得到多種旋轉(zhuǎn)的方法：

通過(guò)動(dòng)態(tài)想象、動(dòng)手操作、畫圖內(nèi)化實(shí)現(xiàn)思維的創(chuàng)新，發(fā)展學(xué)生的空間能力。由于學(xué)生的旋轉(zhuǎn)只停留在垂直面上的旋轉(zhuǎn)，這時(shí)教師再追問(wèn)，適時(shí)引導(dǎo)：“老師也畫了一種旋轉(zhuǎn)活動(dòng)，猜猜會(huì)是怎么樣的？”通過(guò)把鉛筆在垂直面上的旋轉(zhuǎn)拓寬到水平面上的旋轉(zhuǎn)，為“動(dòng)態(tài)想象”創(chuàng)造了更大的空間和載體，再引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)再次思考、想象、操作、交流，在“動(dòng)態(tài)想象”中學(xué)會(huì)從不同的角度思考問(wèn)題，從而真正發(fā)展學(xué)生的空間能力。

又如，五年級(jí)教學(xué)《圖形的旋轉(zhuǎn)》時(shí)，在第一階段學(xué)習(xí)線段的旋轉(zhuǎn)，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)線段旋轉(zhuǎn)可以借助軸對(duì)稱和平移的方法找相對(duì)應(yīng)的點(diǎn)進(jìn)行旋轉(zhuǎn)。學(xué)生在第二階段學(xué)習(xí)三角形的旋轉(zhuǎn)時(shí)想象到可以找相對(duì)應(yīng)的點(diǎn)進(jìn)行旋轉(zhuǎn)。設(shè)置一系列問(wèn)題，觀察旋轉(zhuǎn)后的圖形，什么變了，什么沒(méi)變，你能借助前面學(xué)習(xí)的平移進(jìn)行思考等串引領(lǐng)學(xué)生展開想象的翅膀，實(shí)現(xiàn)同領(lǐng)域知識(shí)的鏈接。教師問(wèn)：“為什么圖形的旋轉(zhuǎn)可以與軸對(duì)稱、平移通用？”讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)原來(lái)圖形的運(yùn)動(dòng)之間都是有聯(lián)系的，畫圖形的運(yùn)動(dòng)方法是通用的，都是找相對(duì)應(yīng)的點(diǎn)或邊。最后再追問(wèn)“繼續(xù)像剛才那樣，每次繞著O點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度，會(huì)形成什么圖形？”通過(guò)找到知識(shí)的前因后果，以結(jié)構(gòu)化的思想引領(lǐng)學(xué)生的學(xué)習(xí)逐步深入，達(dá)到思維“線”上的串通，實(shí)現(xiàn)學(xué)習(xí)進(jìn)階。

空間觀念作為創(chuàng)新精神所需要的基本要素，在認(rèn)識(shí)圖形的教學(xué)過(guò)程，教師可以借助變換，動(dòng)態(tài)直觀地刻畫圖形的特征，如通過(guò)平移、旋轉(zhuǎn)、對(duì)稱的變換，清晰直觀地呈現(xiàn)各種平面圖形和立體圖形所隱含的特征。在平面圖形和立體圖形的面積與體積公式的推導(dǎo)過(guò)程中，也應(yīng)注重從運(yùn)動(dòng)的角度理解、測(cè)量，如在三角形、平行四邊形、梯形、圓形的面積公式推導(dǎo)過(guò)程中，采用剪拼、割補(bǔ)多種策略推導(dǎo)，這實(shí)質(zhì)也是圖形的變換。在教學(xué)過(guò)程中，教師還可借助多媒體教學(xué)手段將靜態(tài)物體動(dòng)態(tài)化，實(shí)現(xiàn)靜態(tài)物體的動(dòng)態(tài)化，幫助學(xué)生建立空間觀念，培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀。

綜上所述，小學(xué)階段是人一生中空間觀念發(fā)展的重要時(shí)期。教師要研讀教材，把握學(xué)習(xí)重點(diǎn)；讀懂學(xué)生，了解學(xué)習(xí)起點(diǎn)；讀懂學(xué)習(xí)，設(shè)計(jì)學(xué)習(xí)任務(wù)，為學(xué)生提供學(xué)習(xí)的腳手架，引導(dǎo)學(xué)生在觀察中加強(qiáng)實(shí)物與圖形的轉(zhuǎn)換，豐富空間知覺，引領(lǐng)學(xué)生在比較中辨析，逐步向空間表象的進(jìn)階；在動(dòng)手操作中與運(yùn)動(dòng)變換中進(jìn)行想象，豐富學(xué)生的空間表象，實(shí)現(xiàn)從空間表象到空間想象的進(jìn)階；還要把動(dòng)態(tài)想象與推理相結(jié)合，在經(jīng)歷觀察、操作、想象、推理等學(xué)習(xí)活動(dòng)中進(jìn)行“動(dòng)態(tài)想象”，發(fā)展學(xué)生的空間觀念。