借助初中數(shù)學(xué)易錯(cuò)題進(jìn)行“數(shù)學(xué)建?！钡牟呗蕴轿?/h1>
2022-04-29 13:14:46林惜虹
課堂內(nèi)外·初中教研 2022年6期 關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)
林惜虹
摘? 要：數(shù)學(xué)建模會(huì)提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，促進(jìn)獨(dú)立思考，在實(shí)踐中總結(jié)規(guī)律，了解解題的通性通法。解題過程中主動(dòng)建模會(huì)通過做的方式來了解解題思路和計(jì)算方法，在探究中主動(dòng)進(jìn)行邏輯推理和分析判斷，建構(gòu)空間思維，學(xué)會(huì)數(shù)據(jù)處理。易錯(cuò)題是容易出錯(cuò)的試題，通過對(duì)易錯(cuò)題進(jìn)行數(shù)學(xué)建模會(huì)更好地發(fā)現(xiàn)問題，掌握解題技巧。本文主要探究了借助初中數(shù)學(xué)易錯(cuò)題進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，提高解題能力的策略。
關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué);易錯(cuò)題;數(shù)學(xué)建模
數(shù)學(xué)建模的關(guān)鍵是將現(xiàn)實(shí)問題轉(zhuǎn)化成經(jīng)典模型，通過對(duì)數(shù)據(jù)的加工簡(jiǎn)化問題。數(shù)學(xué)中的函數(shù)、方程、統(tǒng)計(jì)概率以及不等式中都有很多知識(shí)，也存在一定的規(guī)律，通過數(shù)學(xué)建模會(huì)提煉出數(shù)學(xué)模型，了解知識(shí)規(guī)律，更快速而準(zhǔn)確地解決問題。在解決數(shù)學(xué)問題過程中要主動(dòng)從易錯(cuò)題中總結(jié)出錯(cuò)的原因和思路，尋找規(guī)律會(huì)強(qiáng)化建模意識(shí)，了解各種數(shù)量關(guān)系，快速解決問題。數(shù)學(xué)建模是一種思維的挑戰(zhàn)，通過建模學(xué)生會(huì)更好地理解題目中的條件，分析隱含信息，深化理解和鞏固知識(shí)，有意識(shí)地避免易錯(cuò)題中的“陷阱”。
一、易錯(cuò)題出錯(cuò)原因建模
（一）概念模糊影響
數(shù)學(xué)概念是進(jìn)行數(shù)學(xué)推理、證明和運(yùn)算的理論基礎(chǔ)，如果能夠清楚地掌握數(shù)學(xué)概念，在解題過程中就會(huì)得心應(yīng)手。但是很多情況下，數(shù)學(xué)概念是解題的根本保證，只有正確地理解了概念才能夠確保正確解題。但是很多情況下，學(xué)生在解題過程中容易出現(xiàn)概念模糊的現(xiàn)象，影響解題。
以下題為例，下列說法中正確的是（? ? ）
A. 0不是有理數(shù)
B. 有理數(shù)不是整數(shù)就是分?jǐn)?shù)
C. 在有理數(shù)中有最小的數(shù)
D. 若-a是有理數(shù)，則-a一定是負(fù)數(shù)
解題過程中，需要清楚地了解有理數(shù)、負(fù)數(shù)以及整數(shù)的概念和分類，因?yàn)樗鼈兯傅臄?shù)的范圍并不是一樣的，最重要的就要看包不包括0。由于概念的模糊和不清楚，這道題很容易會(huì)選擇D，但是重新思考，會(huì)認(rèn)識(shí)到0也是滿足D這個(gè)選項(xiàng)的，所以正確答案應(yīng)該是B。為了避免這樣的錯(cuò)誤，需要主動(dòng)梳理概念，了解每一個(gè)數(shù)學(xué)概念的指代和范圍，建立概念標(biāo)準(zhǔn)，確保非正確答題。
（二）思維定式影響
思維定式就是采用同樣的方法解決了很多的數(shù)學(xué)某一類型的問題，在面對(duì)類似問題后就會(huì)采用相同的方法和策略。這是一種習(xí)慣性思維，它只關(guān)注了事物的表面特征，忽視了問題的本質(zhì)，容易出現(xiàn)解題錯(cuò)誤。例如在解答等腰三角形的問題時(shí)，如果頂角度數(shù)是50°，那么等腰三角形底角的度數(shù)是多少？解題過程中，根據(jù)三角形內(nèi)角和為180°，很容易計(jì)算出每一個(gè)底角的度數(shù)為65°。類似的題目都應(yīng)該使用（180°-50°）÷2，這是解決這樣問題的常用方法。面對(duì)這樣的問題，如果稍微修改一下題目中的信息：等腰三角形的一個(gè)角為50°，則其他角的度數(shù)為多少？在解決這個(gè)問題時(shí)，會(huì)受到思維定式的影響，采用上述方法，得到65°。但是這是一種考慮不周到的表現(xiàn)，因?yàn)轭}目中說的是等腰三角形的一個(gè)角是50°，并沒有說是底角還是頂角，在解決問題時(shí)就需要進(jìn)行分類討論，會(huì)得到兩個(gè)不同的答案。思維定式影響了解題思考的方向，容易出現(xiàn)錯(cuò)誤，在解題過程中一定要避免這樣的問題。
（三）忽視條件影響
在解題過程中審題不認(rèn)真，會(huì)漏掉題目中的已知信息或條件，導(dǎo)致答題錯(cuò)誤。解題中有些條件是明顯的，但是有些條件是隱含的，很容易被忽視，遺漏隱含條件。這主要是知識(shí)掌握不牢固或者是思考深度不夠造成的，需要在解題過程中進(jìn)一步挖掘信息，進(jìn)行深度思考，從題目中發(fā)現(xiàn)隱含條件，主動(dòng)加工。例如解一元二次方程和二次函數(shù)相關(guān)的題目時(shí)，就包含著二次項(xiàng)系數(shù)不為零的隱含條件，根的判別式需要大于等于零。這是一個(gè)隱含條件，在題目中往往沒有直接表達(dá)，只要是這一類問題，都需要考慮到的一個(gè)根本原則。但是由于對(duì)知識(shí)掌握得不牢固，分析問題不全面，很多時(shí)候會(huì)在解題過程中忽略這個(gè)問題。例如若y=（a+1）x∣a∣+1是關(guān)于x的二次函數(shù)，則a的值是多少？解決這個(gè)問題就需要考慮二次項(xiàng)系數(shù)不為零的隱含條件，不然就會(huì)得到a值為±1，而正確的答案a值為1。很多學(xué)生會(huì)解答錯(cuò)誤，就是因?yàn)闆]有發(fā)現(xiàn)這個(gè)隱含條件，忽視了關(guān)鍵信息。
（四）以偏概全影響
解決數(shù)學(xué)問題時(shí)容易忽視條件，以偏概全，不能把所有的信息和數(shù)據(jù)都解答出來。很多數(shù)學(xué)試題需要全面考慮，關(guān)注已知信息和要點(diǎn)，才能夠順利解決問題。但是由于考慮不全面，很多時(shí)候會(huì)在解出一個(gè)答案后就停止思考，這是一種考慮問題不全面，以偏概全的現(xiàn)象。例如在關(guān)于絕對(duì)值的問題：已知關(guān)于x的方程mx+2=2（m-x）的解滿足∣x-1/2∣-1=0，則m的值是多少？解答問題過程中，很容易在去掉絕對(duì)值時(shí)忽略x-1/2等于-1的情況，從而得到的解為一個(gè)。通過全面考慮問題后，會(huì)解出x的值有兩個(gè)一個(gè)是-1/2，一個(gè)是3/2，進(jìn)而解得的m的值也有兩個(gè)。在解決問題時(shí)，需要全面考慮問題，不能只考慮一種情況，這是有關(guān)絕對(duì)值問題經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)的錯(cuò)誤。了解了這些經(jīng)常出錯(cuò)的地方，在解決問題過程中就會(huì)提高針對(duì)性，有意識(shí)地全面考慮問題，提高解題能力，建立模型意識(shí)。
二、易錯(cuò)題解題策略建模
（一）統(tǒng)計(jì)易錯(cuò)題型，科學(xué)總結(jié)易錯(cuò)點(diǎn)
在探究數(shù)學(xué)問題時(shí)，積極總結(jié)容易出錯(cuò)的易錯(cuò)題會(huì)使思路變得更加清晰，使探索的知識(shí)點(diǎn)更加明確，了解出錯(cuò)的原因和方向，以便在解題過程中主動(dòng)地調(diào)整，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，總結(jié)方法，降低出錯(cuò)率。在解題過程中，面對(duì)數(shù)與式的問題要注意有理數(shù)、無理數(shù)以及實(shí)數(shù)的概念，思考相反數(shù)、倒數(shù)、絕對(duì)值的概念。要明確分式值為零時(shí)學(xué)生容易忽略分母不能為零，分清平方根、算術(shù)平方根、立方根的區(qū)別。在函數(shù)問題中需要注意各個(gè)待定系數(shù)表示的意義，利用圖象求不等式的解集和方程組的解，利用圖像性質(zhì)確定增減性以及函數(shù)圖象的分類和求解方法。
在數(shù)學(xué)解題過程中要通過總結(jié)歸納的方式主動(dòng)建構(gòu)解題框架和數(shù)學(xué)模型，了解這一類試題的解題方法和技巧，心中搭建出解題模型，面對(duì)問題時(shí)快速解答。
例如試題：對(duì)于一次函數(shù)y=x+2，下列說法不正確的是（? ? ）
A. 圖像經(jīng)過點(diǎn)（1，3）
B. 圖像與x軸交予點(diǎn)（-2，0）
C. 圖像不經(jīng)過第四象限
D. 當(dāng)x>2時(shí)，y<2
在對(duì)問題的分析中，需要考慮到本題考查的一次函數(shù)的圖像以及一次函數(shù)的性質(zhì)，在探究過程中需要通過逐條分析的方式來思考表達(dá)的是否正確。在平時(shí)的建模過程中要對(duì)基礎(chǔ)概念和基本定理有清楚認(rèn)識(shí)，了解這些基礎(chǔ)性知識(shí)，并靈活掌握概念和定理的適用條件，以便在解題過程中準(zhǔn)確應(yīng)用，發(fā)現(xiàn)隱含信息。
（二）分類討論方法，降低解題錯(cuò)誤率
分類討論是解決數(shù)學(xué)問題的一種行之有效的方法，因?yàn)閿?shù)學(xué)知識(shí)具有很強(qiáng)的嚴(yán)密性和邏輯性，需要學(xué)生通過謹(jǐn)慎推理的方式來討論，要做到具體問題具體分析。通過全面地討論問題，學(xué)生會(huì)在探究中更好地看到知識(shí)要點(diǎn)和難點(diǎn)，把握解題的關(guān)鍵點(diǎn)。例如有關(guān)二次函數(shù)的綜合問題：在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)O（0，0），A（5，0），B（4，4）：
（1）求過O、B、A三點(diǎn)的拋物線的解析式
（2）在第一象限的拋物線上存在點(diǎn)M，使以O(shè)、A、B、M為頂點(diǎn)的四邊形面積最大，求點(diǎn)M的坐標(biāo)。
通過分析會(huì)認(rèn)識(shí)到在解決第一問時(shí)根據(jù)拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)已知，因此拋物線的解析式可以設(shè)成交點(diǎn)式，然后把B的坐標(biāo)帶入，就可以接觸拋物線的解析式。在解決第二問時(shí)，需要采用分類討論的方式來解答，因?yàn)橐設(shè)、A、B、M為頂點(diǎn)的四邊形中，△OAB的面積固定，因此只要另外一個(gè)三角形面積最大，則思辨性的面積也就最大。在解題過程中需要求出另一個(gè)最大三角形面積的表達(dá)式，并且利用二次函數(shù)的性質(zhì)確定最值。在分類討論時(shí)需要關(guān)注0（三）轉(zhuǎn)化歸思想，形成建模突破點(diǎn)
在建模過程中，要主動(dòng)地分析和總結(jié)不同的試題類型和試題考查要點(diǎn)，很多試題在解題過程中都滲透著數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法，需要通過不斷總結(jié)的方式建立思維模式，掌握解題方法。在轉(zhuǎn)化過程中需要借助已知的、熟悉的知識(shí)來解決未知的、陌生的知識(shí)，并且把抽象的知識(shí)向著具體、直觀的方向轉(zhuǎn)化，把復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問題，實(shí)現(xiàn)用簡(jiǎn)單易懂的方式來快速解決問題，建立解題模型和基本思路。
在具體的解題過程中要善于發(fā)現(xiàn)各個(gè)數(shù)據(jù)和條件之間的關(guān)系，尋找可以相關(guān)轉(zhuǎn)化的條件和數(shù)量，在轉(zhuǎn)化過程中解決實(shí)際問題。
例如圖1，Rt△ABC中，∠C=90°，以斜邊AB為邊向外作正方形ABDE，且正方形對(duì)角線交予點(diǎn)O，連接OC，已知AC=5，OC=6 ，則另一直角邊BC的長(zhǎng)為多少？在對(duì)已知條件的分析和探究中會(huì)看到本題的利用到正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定性質(zhì)以及等腰直角三角形。在解題過程中需要運(yùn)用轉(zhuǎn)化及等量代換的思想，根據(jù)題目中的已知條件作相應(yīng)的輔助線。
在解決問題過程中，可以過O作OF垂直于BC，通過做輔助線會(huì)建立各種數(shù)量關(guān)系，方便尋找有效的解題思路。再過A作AM垂直于OF，兩條輔助線會(huì)把隱含的數(shù)據(jù)和信息聯(lián)系起來，使解題思路更加清晰。
通過題目中的已知四邊形ABDE為正方形，可以得到關(guān)鍵數(shù)據(jù)OA=OB，∠AOB為直角。同時(shí)題目中給出的已知條件AM垂直于MO，得到△AOM為直角三角形，可以進(jìn)一步得出兩個(gè)銳角互余，通過等量轉(zhuǎn)化和替代可以得到同角的余角相等，在轉(zhuǎn)化中會(huì)明確各種數(shù)量關(guān)系，找到對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)，快速進(jìn)行替代，明確具體的數(shù)值，提高解題效率。
（四）利用數(shù)形結(jié)合，提高知識(shí)形象性
在數(shù)學(xué)建模過程中，數(shù)形結(jié)合的解題模型是最為直觀形象的。它把抽象的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為具體的圖形，給人一種直觀的印象。很多代數(shù)問題和三角問題都需要借助圖形的幫助來快速解決，它會(huì)將思維立體化，形象化，借助結(jié)合特征去解決代數(shù)問題。
例如圖2，已知拋物線l1：y=x2-6x+5與x軸分別交予A、B兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為M。將拋物線l1沿x軸反折后再向左平移得到拋物線l2，若拋物線l2過點(diǎn)B，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為G，頂點(diǎn)為N，則四邊形AMCN的面積為多少？分析中會(huì)看到本題考查的是二次函數(shù)綜合體，需要用到軸對(duì)稱性質(zhì)。在解題過程中根據(jù)拋物線l1的解析式可以求出AB的長(zhǎng)，根據(jù)對(duì)稱性可以得到BC=AB，利用拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，可以計(jì)算三角形面積進(jìn)而求出四邊形面積。
在具體的解題過程中需要用到數(shù)形結(jié)合會(huì)更好地理解各種數(shù)量關(guān)系，并且了解函數(shù)圖象交點(diǎn)的求法，達(dá)到事半功倍的效果。
三、結(jié)語
總之，建立數(shù)學(xué)模型，會(huì)更好地理解題目中的已知信息，把握各種數(shù)量關(guān)系，了解解決問題的方法，掌握一般規(guī)律。當(dāng)建立了數(shù)學(xué)模型，就會(huì)有效地避免解題過程中容易出現(xiàn)的錯(cuò)誤，朝著正確的方向思考，探究正確的解題策略，快速準(zhǔn)確地解決問題，實(shí)現(xiàn)對(duì)問題的快速解答，提高數(shù)學(xué)解題能力。
參考文獻(xiàn)：
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[2]史東山. 初中數(shù)學(xué)“錯(cuò)題集”的整理和應(yīng)用探討[J]. 新課程，2020（21）：130.
[3]林漢. 初中數(shù)學(xué)課堂融入數(shù)學(xué)建模方法的探究——以人教版“二元一次方程組”的教學(xué)為例[J]. 數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2020（29）：74-75.
[4]陸微微. 初中數(shù)學(xué)典型易錯(cuò)題的分析與思考[J]. 現(xiàn)代中學(xué)生（初中版），2021（10）：47-48.
（責(zé)任編輯：胡甜甜）
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關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué);易錯(cuò)題;數(shù)學(xué)建模
數(shù)學(xué)建模的關(guān)鍵是將現(xiàn)實(shí)問題轉(zhuǎn)化成經(jīng)典模型，通過對(duì)數(shù)據(jù)的加工簡(jiǎn)化問題。數(shù)學(xué)中的函數(shù)、方程、統(tǒng)計(jì)概率以及不等式中都有很多知識(shí)，也存在一定的規(guī)律，通過數(shù)學(xué)建模會(huì)提煉出數(shù)學(xué)模型，了解知識(shí)規(guī)律，更快速而準(zhǔn)確地解決問題。在解決數(shù)學(xué)問題過程中要主動(dòng)從易錯(cuò)題中總結(jié)出錯(cuò)的原因和思路，尋找規(guī)律會(huì)強(qiáng)化建模意識(shí)，了解各種數(shù)量關(guān)系，快速解決問題。數(shù)學(xué)建模是一種思維的挑戰(zhàn)，通過建模學(xué)生會(huì)更好地理解題目中的條件，分析隱含信息，深化理解和鞏固知識(shí)，有意識(shí)地避免易錯(cuò)題中的“陷阱”。
一、易錯(cuò)題出錯(cuò)原因建模
（一）概念模糊影響
數(shù)學(xué)概念是進(jìn)行數(shù)學(xué)推理、證明和運(yùn)算的理論基礎(chǔ)，如果能夠清楚地掌握數(shù)學(xué)概念，在解題過程中就會(huì)得心應(yīng)手。但是很多情況下，數(shù)學(xué)概念是解題的根本保證，只有正確地理解了概念才能夠確保正確解題。但是很多情況下，學(xué)生在解題過程中容易出現(xiàn)概念模糊的現(xiàn)象，影響解題。
以下題為例，下列說法中正確的是（? ? ）
A. 0不是有理數(shù)
B. 有理數(shù)不是整數(shù)就是分?jǐn)?shù)
C. 在有理數(shù)中有最小的數(shù)
D. 若-a是有理數(shù)，則-a一定是負(fù)數(shù)
解題過程中，需要清楚地了解有理數(shù)、負(fù)數(shù)以及整數(shù)的概念和分類，因?yàn)樗鼈兯傅臄?shù)的范圍并不是一樣的，最重要的就要看包不包括0。由于概念的模糊和不清楚，這道題很容易會(huì)選擇D，但是重新思考，會(huì)認(rèn)識(shí)到0也是滿足D這個(gè)選項(xiàng)的，所以正確答案應(yīng)該是B。為了避免這樣的錯(cuò)誤，需要主動(dòng)梳理概念，了解每一個(gè)數(shù)學(xué)概念的指代和范圍，建立概念標(biāo)準(zhǔn)，確保非正確答題。
（二）思維定式影響
思維定式就是采用同樣的方法解決了很多的數(shù)學(xué)某一類型的問題，在面對(duì)類似問題后就會(huì)采用相同的方法和策略。這是一種習(xí)慣性思維，它只關(guān)注了事物的表面特征，忽視了問題的本質(zhì)，容易出現(xiàn)解題錯(cuò)誤。例如在解答等腰三角形的問題時(shí)，如果頂角度數(shù)是50°，那么等腰三角形底角的度數(shù)是多少？解題過程中，根據(jù)三角形內(nèi)角和為180°，很容易計(jì)算出每一個(gè)底角的度數(shù)為65°。類似的題目都應(yīng)該使用（180°-50°）÷2，這是解決這樣問題的常用方法。面對(duì)這樣的問題，如果稍微修改一下題目中的信息：等腰三角形的一個(gè)角為50°，則其他角的度數(shù)為多少？在解決這個(gè)問題時(shí)，會(huì)受到思維定式的影響，采用上述方法，得到65°。但是這是一種考慮不周到的表現(xiàn)，因?yàn)轭}目中說的是等腰三角形的一個(gè)角是50°，并沒有說是底角還是頂角，在解決問題時(shí)就需要進(jìn)行分類討論，會(huì)得到兩個(gè)不同的答案。思維定式影響了解題思考的方向，容易出現(xiàn)錯(cuò)誤，在解題過程中一定要避免這樣的問題。
（三）忽視條件影響
在解題過程中審題不認(rèn)真，會(huì)漏掉題目中的已知信息或條件，導(dǎo)致答題錯(cuò)誤。解題中有些條件是明顯的，但是有些條件是隱含的，很容易被忽視，遺漏隱含條件。這主要是知識(shí)掌握不牢固或者是思考深度不夠造成的，需要在解題過程中進(jìn)一步挖掘信息，進(jìn)行深度思考，從題目中發(fā)現(xiàn)隱含條件，主動(dòng)加工。例如解一元二次方程和二次函數(shù)相關(guān)的題目時(shí)，就包含著二次項(xiàng)系數(shù)不為零的隱含條件，根的判別式需要大于等于零。這是一個(gè)隱含條件，在題目中往往沒有直接表達(dá)，只要是這一類問題，都需要考慮到的一個(gè)根本原則。但是由于對(duì)知識(shí)掌握得不牢固，分析問題不全面，很多時(shí)候會(huì)在解題過程中忽略這個(gè)問題。例如若y=（a+1）x∣a∣+1是關(guān)于x的二次函數(shù)，則a的值是多少？解決這個(gè)問題就需要考慮二次項(xiàng)系數(shù)不為零的隱含條件，不然就會(huì)得到a值為±1，而正確的答案a值為1。很多學(xué)生會(huì)解答錯(cuò)誤，就是因?yàn)闆]有發(fā)現(xiàn)這個(gè)隱含條件，忽視了關(guān)鍵信息。
（四）以偏概全影響
解決數(shù)學(xué)問題時(shí)容易忽視條件，以偏概全，不能把所有的信息和數(shù)據(jù)都解答出來。很多數(shù)學(xué)試題需要全面考慮，關(guān)注已知信息和要點(diǎn)，才能夠順利解決問題。但是由于考慮不全面，很多時(shí)候會(huì)在解出一個(gè)答案后就停止思考，這是一種考慮問題不全面，以偏概全的現(xiàn)象。例如在關(guān)于絕對(duì)值的問題：已知關(guān)于x的方程mx+2=2（m-x）的解滿足∣x-1/2∣-1=0，則m的值是多少？解答問題過程中，很容易在去掉絕對(duì)值時(shí)忽略x-1/2等于-1的情況，從而得到的解為一個(gè)。通過全面考慮問題后，會(huì)解出x的值有兩個(gè)一個(gè)是-1/2，一個(gè)是3/2，進(jìn)而解得的m的值也有兩個(gè)。在解決問題時(shí)，需要全面考慮問題，不能只考慮一種情況，這是有關(guān)絕對(duì)值問題經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)的錯(cuò)誤。了解了這些經(jīng)常出錯(cuò)的地方，在解決問題過程中就會(huì)提高針對(duì)性，有意識(shí)地全面考慮問題，提高解題能力，建立模型意識(shí)。
二、易錯(cuò)題解題策略建模
（一）統(tǒng)計(jì)易錯(cuò)題型，科學(xué)總結(jié)易錯(cuò)點(diǎn)
在探究數(shù)學(xué)問題時(shí)，積極總結(jié)容易出錯(cuò)的易錯(cuò)題會(huì)使思路變得更加清晰，使探索的知識(shí)點(diǎn)更加明確，了解出錯(cuò)的原因和方向，以便在解題過程中主動(dòng)地調(diào)整，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，總結(jié)方法，降低出錯(cuò)率。在解題過程中，面對(duì)數(shù)與式的問題要注意有理數(shù)、無理數(shù)以及實(shí)數(shù)的概念，思考相反數(shù)、倒數(shù)、絕對(duì)值的概念。要明確分式值為零時(shí)學(xué)生容易忽略分母不能為零，分清平方根、算術(shù)平方根、立方根的區(qū)別。在函數(shù)問題中需要注意各個(gè)待定系數(shù)表示的意義，利用圖象求不等式的解集和方程組的解，利用圖像性質(zhì)確定增減性以及函數(shù)圖象的分類和求解方法。
在數(shù)學(xué)解題過程中要通過總結(jié)歸納的方式主動(dòng)建構(gòu)解題框架和數(shù)學(xué)模型，了解這一類試題的解題方法和技巧，心中搭建出解題模型，面對(duì)問題時(shí)快速解答。
例如試題：對(duì)于一次函數(shù)y=x+2，下列說法不正確的是（? ? ）
A. 圖像經(jīng)過點(diǎn)（1，3）
B. 圖像與x軸交予點(diǎn)（-2，0）
C. 圖像不經(jīng)過第四象限
D. 當(dāng)x>2時(shí)，y<2
在對(duì)問題的分析中，需要考慮到本題考查的一次函數(shù)的圖像以及一次函數(shù)的性質(zhì)，在探究過程中需要通過逐條分析的方式來思考表達(dá)的是否正確。在平時(shí)的建模過程中要對(duì)基礎(chǔ)概念和基本定理有清楚認(rèn)識(shí)，了解這些基礎(chǔ)性知識(shí)，并靈活掌握概念和定理的適用條件，以便在解題過程中準(zhǔn)確應(yīng)用，發(fā)現(xiàn)隱含信息。
（二）分類討論方法，降低解題錯(cuò)誤率
分類討論是解決數(shù)學(xué)問題的一種行之有效的方法，因?yàn)閿?shù)學(xué)知識(shí)具有很強(qiáng)的嚴(yán)密性和邏輯性，需要學(xué)生通過謹(jǐn)慎推理的方式來討論，要做到具體問題具體分析。通過全面地討論問題，學(xué)生會(huì)在探究中更好地看到知識(shí)要點(diǎn)和難點(diǎn)，把握解題的關(guān)鍵點(diǎn)。例如有關(guān)二次函數(shù)的綜合問題：在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)O（0，0），A（5，0），B（4，4）：
（1）求過O、B、A三點(diǎn)的拋物線的解析式
（2）在第一象限的拋物線上存在點(diǎn)M，使以O(shè)、A、B、M為頂點(diǎn)的四邊形面積最大，求點(diǎn)M的坐標(biāo)。
通過分析會(huì)認(rèn)識(shí)到在解決第一問時(shí)根據(jù)拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)已知，因此拋物線的解析式可以設(shè)成交點(diǎn)式，然后把B的坐標(biāo)帶入，就可以接觸拋物線的解析式。在解決第二問時(shí)，需要采用分類討論的方式來解答，因?yàn)橐設(shè)、A、B、M為頂點(diǎn)的四邊形中，△OAB的面積固定，因此只要另外一個(gè)三角形面積最大，則思辨性的面積也就最大。在解題過程中需要求出另一個(gè)最大三角形面積的表達(dá)式，并且利用二次函數(shù)的性質(zhì)確定最值。在分類討論時(shí)需要關(guān)注0 （三）轉(zhuǎn)化歸思想，形成建模突破點(diǎn) 在建模過程中，要主動(dòng)地分析和總結(jié)不同的試題類型和試題考查要點(diǎn)，很多試題在解題過程中都滲透著數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法，需要通過不斷總結(jié)的方式建立思維模式，掌握解題方法。在轉(zhuǎn)化過程中需要借助已知的、熟悉的知識(shí)來解決未知的、陌生的知識(shí)，并且把抽象的知識(shí)向著具體、直觀的方向轉(zhuǎn)化，把復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問題，實(shí)現(xiàn)用簡(jiǎn)單易懂的方式來快速解決問題，建立解題模型和基本思路。 在具體的解題過程中要善于發(fā)現(xiàn)各個(gè)數(shù)據(jù)和條件之間的關(guān)系，尋找可以相關(guān)轉(zhuǎn)化的條件和數(shù)量，在轉(zhuǎn)化過程中解決實(shí)際問題。 例如圖1，Rt△ABC中，∠C=90°，以斜邊AB為邊向外作正方形ABDE，且正方形對(duì)角線交予點(diǎn)O，連接OC，已知AC=5，OC=6 ，則另一直角邊BC的長(zhǎng)為多少？在對(duì)已知條件的分析和探究中會(huì)看到本題的利用到正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定性質(zhì)以及等腰直角三角形。在解題過程中需要運(yùn)用轉(zhuǎn)化及等量代換的思想，根據(jù)題目中的已知條件作相應(yīng)的輔助線。 在解決問題過程中，可以過O作OF垂直于BC，通過做輔助線會(huì)建立各種數(shù)量關(guān)系，方便尋找有效的解題思路。再過A作AM垂直于OF，兩條輔助線會(huì)把隱含的數(shù)據(jù)和信息聯(lián)系起來，使解題思路更加清晰。 通過題目中的已知四邊形ABDE為正方形，可以得到關(guān)鍵數(shù)據(jù)OA=OB，∠AOB為直角。同時(shí)題目中給出的已知條件AM垂直于MO，得到△AOM為直角三角形，可以進(jìn)一步得出兩個(gè)銳角互余，通過等量轉(zhuǎn)化和替代可以得到同角的余角相等，在轉(zhuǎn)化中會(huì)明確各種數(shù)量關(guān)系，找到對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)，快速進(jìn)行替代，明確具體的數(shù)值，提高解題效率。 （四）利用數(shù)形結(jié)合，提高知識(shí)形象性 在數(shù)學(xué)建模過程中，數(shù)形結(jié)合的解題模型是最為直觀形象的。它把抽象的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為具體的圖形，給人一種直觀的印象。很多代數(shù)問題和三角問題都需要借助圖形的幫助來快速解決，它會(huì)將思維立體化，形象化，借助結(jié)合特征去解決代數(shù)問題。 例如圖2，已知拋物線l1：y=x2-6x+5與x軸分別交予A、B兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為M。將拋物線l1沿x軸反折后再向左平移得到拋物線l2，若拋物線l2過點(diǎn)B，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為G，頂點(diǎn)為N，則四邊形AMCN的面積為多少？分析中會(huì)看到本題考查的是二次函數(shù)綜合體，需要用到軸對(duì)稱性質(zhì)。在解題過程中根據(jù)拋物線l1的解析式可以求出AB的長(zhǎng)，根據(jù)對(duì)稱性可以得到BC=AB，利用拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，可以計(jì)算三角形面積進(jìn)而求出四邊形面積。 在具體的解題過程中需要用到數(shù)形結(jié)合會(huì)更好地理解各種數(shù)量關(guān)系，并且了解函數(shù)圖象交點(diǎn)的求法，達(dá)到事半功倍的效果。 三、結(jié)語 總之，建立數(shù)學(xué)模型，會(huì)更好地理解題目中的已知信息，把握各種數(shù)量關(guān)系，了解解決問題的方法，掌握一般規(guī)律。當(dāng)建立了數(shù)學(xué)模型，就會(huì)有效地避免解題過程中容易出現(xiàn)的錯(cuò)誤，朝著正確的方向思考，探究正確的解題策略，快速準(zhǔn)確地解決問題，實(shí)現(xiàn)對(duì)問題的快速解答，提高數(shù)學(xué)解題能力。 參考文獻(xiàn)： [1]宋紅霞. 錯(cuò)題資源在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的有效應(yīng)用[J]. 新課程，2020（45）：123. [2]史東山. 初中數(shù)學(xué)“錯(cuò)題集”的整理和應(yīng)用探討[J]. 新課程，2020（21）：130. [3]林漢. 初中數(shù)學(xué)課堂融入數(shù)學(xué)建模方法的探究——以人教版“二元一次方程組”的教學(xué)為例[J]. 數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2020（29）：74-75. [4]陸微微. 初中數(shù)學(xué)典型易錯(cuò)題的分析與思考[J]. 現(xiàn)代中學(xué)生（初中版），2021（10）：47-48. （責(zé)任編輯：胡甜甜）
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