[摘要] 試卷講評(píng)是重要的糾錯(cuò)與思維提升的機(jī)會(huì)。教師可以通過創(chuàng)設(shè)認(rèn)知沖突，引發(fā)學(xué)生探究的興趣：在“為什么會(huì)錯(cuò)”的沖突中，經(jīng)由自我否定，實(shí)現(xiàn)自主建構(gòu);在“為什么做不下去”的沖突中，借由“相互比較”，實(shí)現(xiàn)解題方法的自我領(lǐng)悟，從而逐步學(xué)會(huì)思考。

[關(guān)鍵詞] 試卷講評(píng);認(rèn)知沖突;學(xué)會(huì)思考

試卷講評(píng)課是一種比較特殊的課型，也是寶貴的糾錯(cuò)與思維提升的機(jī)會(huì)。但在平常的試卷講評(píng)中，我們經(jīng)常發(fā)現(xiàn)教師講解是苦口婆心的，學(xué)生聽講是心不在焉的，講評(píng)效果十分低下。對(duì)于試卷來說應(yīng)如何講評(píng)才能更加有效呢？本文試著闡述一定的理解和做法。

一、試卷講評(píng)：以“評(píng)”促“悟”的好時(shí)機(jī)

其實(shí)，學(xué)生檢測(cè)成績(jī)偏低主要是基于兩個(gè)原因：

（1）出現(xiàn)知識(shí)性錯(cuò)誤;（2）面對(duì)復(fù)雜化的問題情境不能有效地制定出解題方案。在日常學(xué)習(xí)中，學(xué)生往往不太在意這些，但當(dāng)檢測(cè)中出現(xiàn)問題后，他們往往會(huì)產(chǎn)生認(rèn)知沖突：為什么會(huì)這樣？因此試卷講評(píng)就是利用學(xué)生這種原生的認(rèn)知沖突，促進(jìn)學(xué)生經(jīng)由自我領(lǐng)悟，實(shí)現(xiàn)自主建構(gòu)、思維提升的課堂目標(biāo)。

1.對(duì)于知識(shí)性錯(cuò)誤，關(guān)鍵在于引導(dǎo)學(xué)生在“自我否定”中自主建構(gòu)

建構(gòu)主義學(xué)習(xí)觀告訴我們：學(xué)習(xí)不是學(xué)生對(duì)老師知識(shí)的全盤接受，而是以學(xué)生已有知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)的自主建構(gòu)。而“糾錯(cuò)”則是對(duì)認(rèn)知的自我否定，它對(duì)應(yīng)于認(rèn)知過程中的順應(yīng)。糾錯(cuò)的主體是學(xué)生自己，而不是老師。因此，簡(jiǎn)單的外在評(píng)價(jià)或老師對(duì)錯(cuò)因的直接解說都不能替代學(xué)生的內(nèi)在理解，學(xué)生的錯(cuò)誤也不可能單純依靠正面示范和反復(fù)練習(xí)來得到糾正。相反，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)地發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤則可能是明智之舉，這既有利于學(xué)生理解錯(cuò)因，也有利于學(xué)生重建正確解答，從而有效地防止此類錯(cuò)誤的再現(xiàn)。

2.對(duì)于解題策略問題，關(guān)鍵在于引導(dǎo)學(xué)生在相互比較中學(xué)會(huì)思考

不會(huì)思考、分析能力弱，面對(duì)復(fù)雜化的問題情境不能有效地制定出解題方案，這是數(shù)學(xué)檢測(cè)中最為常見的問題。但學(xué)生的數(shù)學(xué)解題分析能力卻不是教師講出來的，而只能是學(xué)生自我發(fā)展出來的：只有通過方法論的重建，才能使方法對(duì)于學(xué)生而言真正成為“可以理解的”“可以學(xué)到手的”和“可以加以推廣應(yīng)用的”。在對(duì)學(xué)生的解題過程進(jìn)行分析之后，我們可以明確感受到：元認(rèn)知水平的高低也是成功的解題者與不成功解題者的一個(gè)重要區(qū)別所在，并且在事實(shí)上構(gòu)成了決定解題活動(dòng)成功與否的一個(gè)重要因素。因此，方法論的重建和元認(rèn)知的滲透是提高學(xué)生解題的有效途徑。

事實(shí)上，試卷講評(píng)課恰好為師生提供了一個(gè)寶貴的時(shí)機(jī)：多種方法的比較，多種問題的比較。在這種相互比較中，在“我為什么做不下去”的認(rèn)知沖突當(dāng)中激發(fā)起學(xué)生積極的心向，使其在對(duì)比中逐步學(xué)會(huì)思考：體驗(yàn)方法的重構(gòu)過程，體驗(yàn)元認(rèn)知自我監(jiān)控過程。

二、創(chuàng)設(shè)沖突：以“評(píng)”促“悟”的好方法

如何利用好學(xué)生原生的認(rèn)知沖突，從而引發(fā)學(xué)生自我領(lǐng)悟呢？事實(shí)上，檢測(cè)中的問題與錯(cuò)誤本身就會(huì)引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，因此試卷講評(píng)的主要任務(wù)是通過學(xué)生自暴矛盾——為什么會(huì)錯(cuò)？為什么做不下去？來營造一種外在的氛圍，引發(fā)學(xué)生認(rèn)知上的不平衡，產(chǎn)生自我否定的積極心向，從而激發(fā)追求正確理解與深入思考的念想。

1.在“為什么會(huì)錯(cuò)”的自我矛盾中，領(lǐng)悟正確的邏輯關(guān)系，建立正確認(rèn)知

糾錯(cuò)是自我否定，而自我否定是以自我反省，特別是內(nèi)在的觀念沖突作為必要前提的。因此，糾錯(cuò)的關(guān)鍵就在于提供適當(dāng)?shù)耐獠凯h(huán)境來激發(fā)學(xué)生的觀念沖突。老師可以在順應(yīng)學(xué)生思路的基礎(chǔ)上使其自然地推演出矛盾，從而營造這種外部環(huán)境引發(fā)學(xué)生形成“為什么會(huì)錯(cuò)”的認(rèn)知沖突。

[案例1]在△ABC中，已知，，求CosC.

[典型錯(cuò)誤描述]

CosC=-Cos（A+B）=SinA·SinB-CosA·CosB=

或.

上述錯(cuò)誤中我們發(fā)現(xiàn)，在△ABC中，SinA>

SinBA>B，由A是銳角可知，B是銳角。錯(cuò)解

中忽略了對(duì)B角的挖掘，從而誤以為有兩解。要讓學(xué)生主動(dòng)認(rèn)識(shí)到這個(gè)解法有錯(cuò)，老師可以動(dòng)員學(xué)生進(jìn)行逆運(yùn)算，即在△ABC中，已知，，

求SinB。事實(shí)上，可算出此時(shí)。

這時(shí)，學(xué)生將會(huì)很著急地去查找原因。

[案例2]已知如下兩個(gè)命題，p：不等式x2-x-12>0

的解集是{x│x>4};q：不等式x2-x-12>0的解集是{x│x<-3}。寫出復(fù)合命題p或q的形式。

[典型錯(cuò)誤描述]p或q：不等式x2-x-12>0的解集是{x│x>4或x<-3}。

對(duì)于這一道題，若讓老師直接向?qū)W生解說此題錯(cuò)誤的原因，顯然不容易說清楚，即使老師認(rèn)為說得明白了，學(xué)生也不一定能深刻理解。怎么辦呢？不妨順應(yīng)學(xué)生的思路，假設(shè)這種寫法是正確的，則p或q為真。這樣，p假q假p或q真，這與真值表有矛盾。這樣，在矛盾的強(qiáng)烈激蕩下，學(xué)生就會(huì)產(chǎn)生糾錯(cuò)的積極心向了。

試卷講評(píng)課中僅僅講出正確的答案，而沒有提供給學(xué)生一個(gè)辨認(rèn)錯(cuò)誤、建構(gòu)正確認(rèn)識(shí)的講評(píng)是無效的。因此，我們要?jiǎng)?chuàng)設(shè)認(rèn)知沖突，讓學(xué)生自主去領(lǐng)悟?yàn)槭裁村e(cuò)，怎樣才正確，在此過程中，不同的思維之間產(chǎn)生了新的碰撞，讓學(xué)生進(jìn)一步理解了本質(zhì)，也領(lǐng)悟出了知識(shí)背后的邏輯關(guān)系。

2.在多種解法的比較中，領(lǐng)悟思維的靈活性，學(xué)會(huì)思考

思維的靈活性就是學(xué)生會(huì)從多個(gè)角度來考察問題，能夠在事物的多元表征中選擇出最優(yōu)化的、最適合于自己的解題方法。因此，對(duì)于試卷中經(jīng)典的一題多解現(xiàn)象，教師要格外重視，要充分發(fā)揮它的作用，因?yàn)樗o學(xué)生提供了相互比較的時(shí)機(jī)，在“我為什么做不下去”的認(rèn)知沖突下，激發(fā)出學(xué)生積極探究的心向。

對(duì)于試卷中經(jīng)典的一題多解現(xiàn)象，教師在組織講評(píng)時(shí)，一方面要讓學(xué)生在理解別人的解法后，深刻去理解某一知識(shí)的多元表征，實(shí)現(xiàn)多元表征之間的相互轉(zhuǎn)換;同時(shí)更要通過學(xué)生相互交流、討論，實(shí)現(xiàn)思維的充分交互，使得學(xué)生可以在賞析別人智慧的同時(shí)學(xué)會(huì)思考。

[案例3]如圖所示，已知圓C：（x-3）2+（y-4）2，直線l1：y=k（x-1），若l1與圓相交于P，Q兩點(diǎn)，線段PQ中點(diǎn)為M，A（1，0），l1與l2：x+2y+2=0的交點(diǎn)為N，問AM·AN是否為定值，若是求出定值，如不是，請(qǐng)說明理由。

[案例描述]在學(xué)生的解法中主要是兩種，一種是直接計(jì)算AM·AN=f（k），最后消去k，AM·AN就是常數(shù)，另一種是將AM·AN=-AM·AN，簡(jiǎn)化了計(jì)算。大部分學(xué)生選擇了第一種解法，但是做到了一半就放棄了，還有部分學(xué)生雖然堅(jiān)持到了最后，但結(jié)果錯(cuò)了。當(dāng)然，本題還有一種幾何方法，即利用三角形相似來解題，沒有學(xué)生想到。

[案例分析]本題的已知條件敘述方式比較隱晦：A，M，N三個(gè)點(diǎn)分別從三個(gè)角度描述，掩蓋了三點(diǎn)共線的信息，直線AC與l2垂直也需要學(xué)生主動(dòng)發(fā)現(xiàn)，才可能辨識(shí)出相似三角形。這種敘述方式將大部分學(xué)生的思維限制在方法一的框架內(nèi)難以變通。但也有少數(shù)學(xué)生為了減少現(xiàn)實(shí)的運(yùn)算量，選擇跳出細(xì)節(jié)站在整體的高度思考問題，這樣可能就會(huì)產(chǎn)生好的思路。講評(píng)的關(guān)鍵是讓學(xué)生在欣賞別人的解法基礎(chǔ)上，理解別人是怎樣想的、為什么這樣想，并且體會(huì)到同一個(gè)量可以有不同的表達(dá)方式，不同的表達(dá)帶來不同的解題路徑、不同的計(jì)算長度，從而逐步建立多元表征的意識(shí)。

為了充分發(fā)揮這道題的價(jià)值，我們可以分為三個(gè)階段來組織講評(píng)：（1）逐步引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)三種不同的算法;（2）組織討論——三種解法的比較;（3）組織討論——如何學(xué)會(huì)思考，特別是在條件較多、計(jì)算量明顯很大的情況下，如何靈活處理？

在解法比較環(huán)節(jié)，學(xué)生基本形成了共識(shí)：第一種解法順藤摸瓜，比較自然，符合大部分人的思維狀態(tài)，在緊張狀態(tài)下想一步算一步，一步一個(gè)腳印，扎扎實(shí)實(shí)地算，這種堅(jiān)持算下去的態(tài)度很實(shí)在;第二種解法將距離表達(dá)為數(shù)量積，結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單了，便于化簡(jiǎn)，但是難以發(fā)現(xiàn)三點(diǎn)共線現(xiàn)象;第三種解法最簡(jiǎn)單，但是對(duì)解題者的要求更高：不僅要發(fā)現(xiàn)三點(diǎn)共線，直線AC與l2垂直，還要求解題者能夠整體地思考問題，在圖形的整體結(jié)構(gòu)下展開類比聯(lián)想。

在討論“如何學(xué)會(huì)思考”環(huán)節(jié)，學(xué)生基本形成了共識(shí)：（1）要有強(qiáng)烈的分析意識(shí)與化簡(jiǎn)意識(shí)：想找一種簡(jiǎn)便方法是出發(fā)點(diǎn)，因此要觀察元素關(guān)系，這是破題的關(guān)鍵;（2）看出來才是王道：不僅僅要多觀察幾何元素之間的關(guān)系，還要多觀察式子結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)，以及元素之間的關(guān)系，這樣才有機(jī)會(huì)找到簡(jiǎn)便方法;（3）學(xué)會(huì)自我監(jiān)控：解題過程中如果一時(shí)看不出來，還可以重新觀察，尋找已有經(jīng)驗(yàn)，而不是盲目下手。

在這種講評(píng)中，教師沒有滿足于啟發(fā)學(xué)生僅僅是想出這些方法;而是將重點(diǎn)放在了讓學(xué)生在充分理解別人的做法后，去思考別人是怎樣想的，為什么這樣想，怎樣才能這樣想，從而獲得思維上的啟示：感受到化簡(jiǎn)意識(shí)、觀察意識(shí)、自我監(jiān)控意識(shí)的必要性;領(lǐng)悟了數(shù)形結(jié)合、觀察、嘗試、自我監(jiān)控等解題活動(dòng)的意義。

3.在多種問題的比較中，領(lǐng)悟事物的本質(zhì)，學(xué)會(huì)思考

在試卷中有些題目具有特定的背景和明顯的規(guī)律性，因此，教師可以將其變更條件加以推廣，使得學(xué)生在不斷地探究中理解題目背后的知識(shí)背景，在多種問題的比較中，領(lǐng)略其中的思維規(guī)律，從而洞察一系列問題的背后本質(zhì)，做到綱舉目張，舉一反三。

[案例4]已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為A、

B，S點(diǎn)是橢圓C上位于x軸上方的動(dòng)點(diǎn)，直線AS，BS

與直線分別交于M，N兩點(diǎn)。判斷以線段MN為直

徑的圓是否經(jīng)過x軸上的定點(diǎn)？

[案例描述]絕大部分學(xué)生沒有計(jì)算下去，半途而廢，還有一部分學(xué)生沒有明確的思路。

[案例分析]顯然，本題的背景指向圓錐曲線的另

一種幾何本質(zhì)，即是一個(gè)定值，其他的

定值現(xiàn)象都源于此。

為了讓學(xué)生更加深入地理解問題，在引導(dǎo)學(xué)生分析完試題后，教師將問題進(jìn)行推廣，設(shè)計(jì)了一組變式題。

初步探究1：MS與NS的斜率之積是否為定值？點(diǎn)M，N的縱坐標(biāo)之積是否為定值？

深入探究2：試求MN的最小值為多少？

拓展探究3：設(shè)直線l⊥x軸，且與橢圓交于P1，P2兩點(diǎn)，橢圓的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，AP1，BP2相交于點(diǎn)P，試判斷|PF1|-|PF2|是否為定值？

在這一組變式題的探究過程中，學(xué)生將體驗(yàn)如何用函數(shù)觀點(diǎn)去求解定值問題，學(xué)會(huì)如何依據(jù)條件選擇算法，掌握兩種基本的處理點(diǎn)坐標(biāo)的方法，同時(shí)也體驗(yàn)到數(shù)形結(jié)合思想的重要性，領(lǐng)悟到探求事物規(guī)律背后的艱辛努力和理性精神。

總之，學(xué)生在檢測(cè)中對(duì)每一道題都是認(rèn)真思考的，因此每一個(gè)問題的解答不論對(duì)錯(cuò)，作為教師都要善待它，認(rèn)識(shí)到它的意義與價(jià)值。錯(cuò)的，應(yīng)當(dāng)分析它為什么錯(cuò)，直接原因是什么？教師要思考如何創(chuàng)設(shè)認(rèn)知沖突，讓學(xué)生建立起正確的概念。對(duì)于沒有做出來的也要分析原因：是沒有算對(duì)，還是意志力缺失，還是知識(shí)的表征不對(duì)？教師要在講評(píng)課中通過方法的對(duì)比與擇優(yōu)引發(fā)學(xué)生的思考，從而逐步讓他們學(xué)會(huì)在不同表征中轉(zhuǎn)換，學(xué)會(huì)選擇適合自己的方法，從而逐步學(xué)會(huì)思考。當(dāng)試題具有很好的背景，教師可以變更條件引導(dǎo)學(xué)生去探究，這樣既拓寬了知識(shí)面，又在探究過程中洞察了問題的本質(zhì)，體會(huì)了思想方法。

正是基于以上想法，教師要把學(xué)生的思維作品——試卷展示出來，以他們的思維過程為教學(xué)的素材，實(shí)現(xiàn)在思考中學(xué)會(huì)思考，在評(píng)價(jià)與欣賞中體驗(yàn)數(shù)學(xué)思維。正因如此，試卷講評(píng)重在評(píng)中悟。

[本文系江蘇省南京市教學(xué)研究室2019年度課題“認(rèn)知學(xué)徒制教學(xué)：指向高中數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的實(shí)踐研究”（項(xiàng)目編號(hào)：2019NJJK——L11）階段性研究成果]

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