李杰

摘 要：本文從圓錐曲線中“隱定點(diǎn)”問(wèn)題角度進(jìn)行賞析，以看不見(jiàn)的“思維斷檔”——“隱定點(diǎn)”為例，歸類分析讓學(xué)生重視“隱定點(diǎn)”問(wèn)題，學(xué)會(huì)看見(jiàn)數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)，將難解問(wèn)題變得自然易解，從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力和核心素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：定點(diǎn)問(wèn)題;隱定點(diǎn);最值問(wèn)題

中圖分類號(hào)：G632?? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A?? 文章編號(hào)：1008-0333（2022）10-0033-03

1 利用直接求根解“隱定點(diǎn)”定值問(wèn)題

例1 平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：

x24+y23=1

的左、右頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)分別為點(diǎn)A，B和F，直線l：x=my+t與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M，N，記直線AM，BM，BN的斜率分別為k1，k2，k3.

若k1=3k3，求△FMN的周長(zhǎng).

解析 已知x=my+t，x24+y23=1，消去x，得

（3m2+4）y2+6mty+3t2-12=0.

解得y1=-3mt+23（3m2+4-t2）3m2+4，

y2=-3mt-23（3m2+4-t2）3m2+4.

因?yàn)閗1=3k3，所以y1x1+2=3y2x2-2.

即2my1y2+（3t+6）y2-（t-2）y1=0.

代入化簡(jiǎn)，得

2m·3t2-123m2+4+（3t+6）·-3mt-23（3m2+4-t2）3m2+4-（t-2）·-3mt+23（3m2+4-t2）3m2+4=0.

化簡(jiǎn)，得

-（8t+8）3（3m2+4-t2）=24m（t+1）.

故t+1=0或-3（3m2+4-t2）=3m.

解得t=-1或t=±2（過(guò)頂點(diǎn)，舍）.

故直線l過(guò)橢圓左焦點(diǎn)，△FMN的周長(zhǎng)為4a=8.

在解析幾何中，有些幾何量，如斜率、周長(zhǎng)、面積等基本量和動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)或動(dòng)線中的參變量無(wú)關(guān)，這類問(wèn)題統(tǒng)稱為定值問(wèn)題.本例從k1=3k3入手，看到不可見(jiàn)的直線過(guò)隱定點(diǎn)——左焦點(diǎn)，只有這樣三角形的周長(zhǎng)才能是定值，否則兩個(gè)變量求定值，很難實(shí)現(xiàn).

本例還可以推廣到一般性結(jié)論：

結(jié)論 已知橢圓左、右頂點(diǎn)分別為A，B，直線l：x=my+t與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M，N，直線AM，BM的斜率分別為k1，k2，則k1k2=a-ta+t.

2 利用韋達(dá)定理解“隱定點(diǎn)”最值問(wèn)題

例2 設(shè)雙曲線C：x2a2-y2b2=1（a，b>0）的右頂點(diǎn)為A，虛軸長(zhǎng)為2，兩準(zhǔn)線間的距離為263.

（1）求雙曲線C的方程;

（2）設(shè)動(dòng)直線l與雙曲線C交于P，Q兩點(diǎn)，已知AP⊥AQ，設(shè)點(diǎn)A到動(dòng)直線l的距離為d，求d的最大值.

解析 （1）由虛軸長(zhǎng)為2，知b=22.

由兩準(zhǔn)線間的距離為263，知a2c=63.

所以3a4=2c2=2（a2+b2）=2（a2+12）.

解得a2=1或a2=-13（舍）.

故雙曲線方程為x2-2y2=1.

（2）①若動(dòng)直線l的斜率不存在，則設(shè)l：x=t，代入雙曲線方程可得

P（t，t2-12），

Q（t，-t2-12）.

由AP⊥AQ，可得

（t-1）2-t2-12=0.

解得t=3或t=1（舍）.

此時(shí)點(diǎn)A到l的距離為d=2.

②若動(dòng)直線l的斜率存在，則可設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），直線l：y=kx+t，代入雙曲線方程可得 （1-2k2）x2-4ktx-（2t2+1）=0.

則x1+x2=4kt1-2k2，x1x2=-2t2+11-2k2.

由AP⊥AQ，知（x1-1）（x2-1）+y1y2=0.

由y=kx+t可知

（x1-1）（x2-1）+（kx1+t）（kx2+t）=0.

化簡(jiǎn)，得

（1+k2）x1x2+（kt-1）（x1+x2）+t2+1=0.

將x1+x2=4kt1-2k2，x1x2=-2t2+11-2k2代入，

化簡(jiǎn)，得 （3k+t）（k+t）=0.

若k+t=0，則直線經(jīng)過(guò)右頂點(diǎn)A，舍去;

故3k+t=0.

即直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)M（3，0），則d

（2p+x0，-y0）.

當(dāng)點(diǎn)為M1，2時(shí)，直線AB過(guò)定點(diǎn)（5，-2）.

所以MA·MB=AB·d，

AB=1+m2·16m2+16（2m+5），

d=4m+41+m2，

所以m+1·m2+2m+5=42.

所以（m+1）2[（m+1）2+4]=32.

解得（m+1）2=4或（m+1）2=-8（舍）.

所以m=1或m=-3.

本題是一道探究性問(wèn)題，由解法2看出此題在設(shè)置的過(guò)程中是利用“隱定點(diǎn)”結(jié)論來(lái)倒置探究性問(wèn)題，這個(gè)“隱定點(diǎn)”問(wèn)題難度較大，需要學(xué)生積累大量經(jīng)驗(yàn)，同時(shí)還要有很強(qiáng)的數(shù)字感知能力.

4 利用定義法解“隱定點(diǎn)”定點(diǎn)問(wèn)題

例4 已知橢圓C：x216+y212=1，左頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)是F，點(diǎn)P是橢圓C上的點(diǎn)（異于左右頂點(diǎn)），M為線段PA的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作直線PF的平行線l，延長(zhǎng)PF交橢圓C于點(diǎn)Q，連接AQ交直線l于點(diǎn)B.

（1）求證：直線l過(guò)定點(diǎn);

（2）是否存在定點(diǎn)D1，D2使得BD1+BD2為定值？若存在，求出點(diǎn)D1，D2坐標(biāo);若不存在，說(shuō)明理由.

解析 （1）由題意知：

A（-4，0），F(xiàn)（2，0）.

設(shè)點(diǎn)P（x0，y0），則M（x0-42，y02）.

當(dāng)x0≠2時(shí)，直線l的方程為

y-y02=y0x0-2（x-x0-42）.

即y=y0x0-2（x+1）.

當(dāng)x0=2時(shí)，直線l的方程為x+1=0，直線l過(guò)定點(diǎn)D2（-1，0）.

（2）存在定點(diǎn)D1（-3，0），D2（-1，0）滿足題意.

由（1）得D2B=12FQ.

記橢圓C左焦點(diǎn)是F′（-2，0），

則AF′的中點(diǎn)為D1（-3，0）.

又點(diǎn)B為AQ的中點(diǎn)，得

D1B=12QF′.

所以D1B+D2B=12（F′Q+FQ）=4.

綜上存在定點(diǎn)D1（-3，0），D2（-1，0）滿足題意.

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上，我們不僅要看懂定理的證明，更要努力去思考當(dāng)時(shí)這條定理是怎么被想出來(lái)的，最原始的思路是什么.只有這樣，我們才能面對(duì)像例4這樣問(wèn)題時(shí)從被動(dòng)地接受，變?yōu)橹鲃?dòng)地探索.

新課程數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中將傳統(tǒng)的“雙基”（基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能）發(fā)展為“四基”（基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)），這新增的基本思想和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，就是要引導(dǎo)我們?cè)诮虒W(xué)中關(guān)注那些潛在的、隱性的數(shù)學(xué)素養(yǎng).基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)從本質(zhì)上看是培養(yǎng)學(xué)生的一種數(shù)學(xué)直覺(jué).基本思想中所說(shuō)的抽象、推理和模型都是人的一般思維方式，它們對(duì)于人的影響遠(yuǎn)遠(yuǎn)超越數(shù)學(xué)學(xué)科.從人的長(zhǎng)遠(yuǎn)發(fā)展來(lái)看，這些遠(yuǎn)比知識(shí)和技能本身更重要，意義更深遠(yuǎn).

參考文獻(xiàn)：

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陳德燕.讓數(shù)學(xué)解題的思維過(guò)程更為理性——談數(shù)學(xué)理性思維的培養(yǎng)[J].福建中學(xué)數(shù)學(xué)，2016（10）：24-27.

[2] 錢軍先.例談稚化思維的教學(xué)策略[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2016（Z1）：38-42.

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