陸娟

[摘? 要] 提升高中學(xué)生的問(wèn)題分析能力和數(shù)學(xué)應(yīng)用能力是高中數(shù)學(xué)課肩負(fù)的一項(xiàng)重要使命. 為了更好地完成這個(gè)使命，需要廣大教師付出更多的精力和智慧. 文章以高中數(shù)學(xué)應(yīng)用題為例，通過(guò)化歸轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、數(shù)學(xué)建模等形式將生活中的問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題，進(jìn)而在轉(zhuǎn)化過(guò)程中促進(jìn)學(xué)生提升邏輯分析能力和數(shù)學(xué)知識(shí)運(yùn)用能力.

[關(guān)鍵詞] 分析能力;應(yīng)用能力;轉(zhuǎn)化

數(shù)學(xué)應(yīng)用題往往與生活緊密相連，更能彰顯數(shù)學(xué)“學(xué)以致用”的真正價(jià)值，另外，其與其他題型相比，往往篇幅較長(zhǎng)，更能考查學(xué)生的閱讀能力和建模能力，故在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)引起師生足夠的重視. 為了提升學(xué)生解決應(yīng)用題的能力，在教學(xué)中應(yīng)重視培養(yǎng)學(xué)生良好的閱讀習(xí)慣和分析能力，只有會(huì)閱讀懂分析，才能通過(guò)科學(xué)的建模使題目更加簡(jiǎn)單化、直觀化和熟悉化，這對(duì)學(xué)生綜合素質(zhì)的提升帶來(lái)了新的挑戰(zhàn).

在素質(zhì)教育的影響下，學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力有所提升，然長(zhǎng)期受功利教育的影響，學(xué)生的大多時(shí)間不是上課就是刷題，生活經(jīng)驗(yàn)較少，對(duì)于生活中的數(shù)學(xué)往往關(guān)注較少. 因此在教學(xué)中，教師要多選取與學(xué)生緊密相連的問(wèn)題進(jìn)行滲透，讓學(xué)生在解題的同時(shí)領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的真正價(jià)值，從而實(shí)現(xiàn)“以用促學(xué)”的目的. 基于此，為了讓學(xué)生在面對(duì)不同的生活問(wèn)題時(shí)可高效地應(yīng)用不同的解決策略，筆者結(jié)合教學(xué)實(shí)踐，談?wù)剮c(diǎn)關(guān)于應(yīng)用題的解答策略，供參考.

[?] 化歸轉(zhuǎn)化

數(shù)學(xué)應(yīng)用題較其他題型的文字信息較多，然學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)時(shí)習(xí)慣于對(duì)數(shù)學(xué)符號(hào)、數(shù)學(xué)公式等簡(jiǎn)單明了的數(shù)學(xué)語(yǔ)言的解讀，面對(duì)較多文字信息的干擾容易產(chǎn)生畏難情緒. 為此，在解決文字較多的數(shù)學(xué)應(yīng)用題時(shí)，教師要引導(dǎo)學(xué)生找到問(wèn)題的中心思想（關(guān)鍵詞），從而進(jìn)行化歸轉(zhuǎn)化，逐層突破.

案例1 某公司因經(jīng)濟(jì)效益下滑，為節(jié)省開支欲實(shí)施裁員. 若該公司共有2a名職工（140<2a<420），每人每年為公司創(chuàng)造的平均效益為b萬(wàn)元. 實(shí)施裁員后，每裁1人，則每名留崗職工將為公司每年多創(chuàng)造0.01b萬(wàn)元的效益，然實(shí)施裁員每年公司需支付給每名離崗職工0.4b萬(wàn)元的補(bǔ)貼. 若保證留崗職工不少于總?cè)藬?shù)的前提下，你認(rèn)為該如何設(shè)定裁員人數(shù)才能保障公司實(shí)現(xiàn)利益的最大化？

題目解析：從已知中可以發(fā)現(xiàn)，本題中有a，b兩個(gè)變量，將a，b從復(fù)雜的文字中提取出來(lái)并將其與已知建立聯(lián)系是解決本題的關(guān)鍵. 本題不妨設(shè)裁員x人，每年會(huì)獲得y萬(wàn)元的經(jīng)濟(jì)利益，則有y=（2a-x）（b+0.01bx）-0.4bx. 由此，將關(guān)鍵信息提取后，原問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為了學(xué)生熟悉的二次函數(shù)問(wèn)題，解題思路更加清晰，問(wèn)題更加熟悉、簡(jiǎn)單.

本題是一個(gè)典型的數(shù)學(xué)應(yīng)用問(wèn)題，與生活息息相關(guān)，容易激發(fā)學(xué)生探究的熱情. 在解決問(wèn)題時(shí)通過(guò)抓取關(guān)鍵詞將較復(fù)雜的邏輯關(guān)系用已知量和未知量表示出來(lái)，通過(guò)化歸轉(zhuǎn)化使問(wèn)題更加清晰和簡(jiǎn)單. 同時(shí)，解決此類問(wèn)題時(shí)學(xué)生習(xí)慣于應(yīng)用函數(shù)、方程或不等式，顯然本題應(yīng)用函數(shù)較其他兩種方法有著明顯的優(yōu)勢(shì)，因?yàn)楹瘮?shù)圖像可以給學(xué)生提供更加直觀的信息. 另外，值得注意的是，學(xué)生在提取關(guān)鍵詞時(shí)應(yīng)找好變量，利用好已知條件，圍繞關(guān)鍵詞進(jìn)行建構(gòu)，可有效地提高問(wèn)題轉(zhuǎn)化效率和解題效率.

[?] 數(shù)形結(jié)合

數(shù)形結(jié)合在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中有著較廣泛的應(yīng)用，如求物體體積時(shí)常與立體幾何知識(shí)相結(jié)合，解決增長(zhǎng)率問(wèn)題時(shí)常與等差數(shù)列或等比數(shù)列相結(jié)合，求最值問(wèn)題時(shí)常與不等式、函數(shù)等相關(guān)知識(shí)相結(jié)合，涉及路程計(jì)算時(shí)常與方程相結(jié)合，等等. 這樣在解決復(fù)雜、陌生的生活問(wèn)題時(shí)，與熟悉的數(shù)學(xué)符合、數(shù)學(xué)圖形相結(jié)合，往往會(huì)獲得意外的驚喜.

案例2 某城區(qū)監(jiān)測(cè)中心設(shè)置了A，B，C三個(gè)監(jiān)測(cè)點(diǎn)來(lái)監(jiān)測(cè)城市噪音（A監(jiān)測(cè)點(diǎn)在正西，B監(jiān)測(cè)點(diǎn)在正東，C監(jiān)測(cè)點(diǎn)在正北），為做到及時(shí)追蹤及時(shí)監(jiān)管，三個(gè)監(jiān)測(cè)點(diǎn)將定時(shí)發(fā)送數(shù)據(jù)到監(jiān)測(cè)中心. 某天上午10時(shí)左右三個(gè)監(jiān)測(cè)點(diǎn)都監(jiān)測(cè)到了汽車?guó)Q笛聲，C站檢測(cè)員和A站監(jiān)測(cè)員同時(shí)聽到了汽車?guó)Q笛聲，而B站監(jiān)測(cè)員延遲3 s后聽到了該鳴笛聲. 若已知A，B，C三個(gè)監(jiān)測(cè)點(diǎn)與監(jiān)測(cè)中心的距離均為1524米，聲音在空氣中的傳播速度為320 m/s，你能根據(jù)監(jiān)測(cè)的數(shù)據(jù)判斷出鳴笛聲的具體地理位置嗎？

題目分析：本題文字內(nèi)容較多，若直接求解不僅抽象而且較復(fù)雜，故需要進(jìn)行轉(zhuǎn)化. 由已知分析可以將其轉(zhuǎn)化為雙曲線，故假設(shè)監(jiān)測(cè)中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O，則A，B，C三個(gè)監(jiān)測(cè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（-1524，0），B（1524，0），C（0，1524）. 令鳴笛聲發(fā)出的位置的坐標(biāo)為K（x，y）. 因?yàn)锳，C兩個(gè)監(jiān)測(cè)點(diǎn)同時(shí)監(jiān)測(cè)到了鳴笛聲，所以KA=KC，所以K在AC的垂直平分線KO上，KO的方程為y=-x. 又B監(jiān)測(cè)點(diǎn)在3秒后聽到了鳴笛聲，故KB-KA=960. 將復(fù)雜的文字內(nèi)容轉(zhuǎn)化為了雙曲線后，已知條件變得一目了然，解決問(wèn)題自然就水到渠成了.

[?] 數(shù)學(xué)建模

解答應(yīng)用題時(shí)往往需要通過(guò)閱讀文本信息將實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行提煉，進(jìn)而抽象為具體的數(shù)學(xué)問(wèn)題，通過(guò)對(duì)文本信息的再加工、再抽象建立起數(shù)學(xué)模型. 在此過(guò)程中，要善于抓住問(wèn)題的核心和本質(zhì)，進(jìn)而將看得到、摸得著的生活問(wèn)題轉(zhuǎn)化為抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)，以此提升解決實(shí)際問(wèn)題的能力. 數(shù)學(xué)建模在生活中有著廣泛的應(yīng)用，而應(yīng)用題又與生活緊密聯(lián)系，因此在解決應(yīng)用題時(shí)應(yīng)用數(shù)學(xué)建模往往會(huì)獲得柳暗花明的效果.

案例3 上午9：00，有12名旅客要趕往距賓館40 km的火車站乘火車，火車發(fā)車時(shí)間為12：15（火車發(fā)車前15分鐘將停止檢票），若步行的速度為4 km/h，顯然僅靠步行很難到達(dá)火車站. 現(xiàn)賓館提供了一輛5座小汽車，若汽車的速度為60 km/h，問(wèn)：12名旅客是否可以按時(shí)趕上火車呢？

題目解析：該題目看似簡(jiǎn)單，卻蘊(yùn)含著復(fù)雜的信息，因?yàn)轭}目并未明確12名旅客如何搭乘汽車，因此在解決此應(yīng)用題時(shí)需要通過(guò)假設(shè)來(lái)建立數(shù)學(xué)模型.

方案1：僅以汽車接送. 因?yàn)橛?2名旅客，所以汽車需要跑3趟，由已知可以分析出汽車總共需要行駛200 km，則所需時(shí)間為200÷60=>3，因此該方案顯然無(wú)法按時(shí)趕上火車.

方案2：步行+汽車.

第一趟：設(shè)汽車往返的時(shí)間為x h，則4x+60x=40×2，解得x=1.25（h）;

第二趟：設(shè)汽車往返的時(shí)間為y h，由于8名旅客步行了1.25 h，旅客的步行速度為4 km/h，此時(shí)8名旅客步行了5 km，所以4y+60y=35×2，解得y=≈1.09（h）.

第三趟：此時(shí)4名旅客又走了1.09 h，故距離火車站35-×4≈30.63（km），汽車行駛的時(shí)間為30.63÷60≈0.51（h）.

綜合而言，總共花費(fèi)的時(shí)間大約為1.25+1.09+0.51=2.85（h）.

雖然方案2可以讓12名旅客按時(shí)趕上火車，但是時(shí)間較緊，在實(shí)際生活中往往可能會(huì)出現(xiàn)一些意外狀況，如遇上紅綠燈、堵車、上下汽車等都需要時(shí)間，因此需要嘗試更快的方案. 從方案2可以看出，第一趟和第二趟到達(dá)火車站的旅客有較長(zhǎng)的時(shí)間是在等待的，若可以讓3批旅客同時(shí)到達(dá)火車站顯然可以節(jié)省較多的時(shí)間. 因限于篇幅，在此不進(jìn)行細(xì)致的分析，筆者在設(shè)計(jì)方案3時(shí)引導(dǎo)學(xué)生采用數(shù)形結(jié)合，先將具體步驟圖形化，再將圖形代數(shù)化，采用列方程組的方式進(jìn)行求解，最快可以在2.53 h后到達(dá)火車站.

可見，通過(guò)數(shù)學(xué)建模，分情況進(jìn)行假設(shè)可以為問(wèn)題的解決帶來(lái)多種可能和便利. 那么，為了保障數(shù)學(xué)建模的順利實(shí)施，筆者認(rèn)為還應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：第一，會(huì)梳理. 雖然高中數(shù)學(xué)章節(jié)有著明顯的劃分，然其并非毫無(wú)聯(lián)系，數(shù)學(xué)各知識(shí)點(diǎn)之間往往存著千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系. 因此，教學(xué)時(shí)應(yīng)放眼于整體和全局，將知識(shí)點(diǎn)有效進(jìn)行串聯(lián)，樹立宏觀意識(shí). 第二，會(huì)閱讀. 在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)有些學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)較好，然在解決應(yīng)用題時(shí)常常感覺(jué)吃力，出現(xiàn)此現(xiàn)象的原因主要是學(xué)生不會(huì)閱讀. 面對(duì)較多文字信息的干擾，若閱讀能力差，學(xué)生缺乏抽象概況能力，難以看清文字所要表達(dá)的數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)思想，故在數(shù)學(xué)建模時(shí)常常碰壁. 第三，會(huì)創(chuàng)新. 因思維方式不同，學(xué)生掌握知識(shí)的水平不同，其數(shù)學(xué)建模能力也不同，因此教學(xué)中，在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力時(shí)應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生多角度觀察、多方位思考，通過(guò)細(xì)心引導(dǎo)使學(xué)生從簡(jiǎn)單模仿到大膽嘗試再到創(chuàng)新，逐步提高建模的準(zhǔn)確性和高效性，進(jìn)而提升解題能力.

總之，在數(shù)學(xué)教學(xué)中提升學(xué)生的應(yīng)試能力固然重要，然若不能聯(lián)系生活實(shí)際，不能讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)的真正價(jià)值，學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)時(shí)往往會(huì)出現(xiàn)厭倦心理和消極情緒，這顯然不利于學(xué)生學(xué)習(xí)能力的提升. 因此教學(xué)中要利用好應(yīng)用題，讓學(xué)生在解題中充分感受“學(xué)以致用”的樂(lè)趣，從而激發(fā)學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，提升學(xué)習(xí)興趣.