陳慶菊

[摘? 要] 為了更好地考查學生的自學能力和綜合知識運用能力，高考數(shù)學題中涌現(xiàn)出了許多立意新穎的創(chuàng)新題. 文章剖析了新定義、新運算等幾類常見的創(chuàng)新題，以期引起師生對創(chuàng)新題的重視，引導學生更好地適應創(chuàng)新題并發(fā)展獨創(chuàng)力，提高學生的核心素養(yǎng).

[關鍵詞] 自學能力;獨創(chuàng)力;核心素養(yǎng)

隨著新課改的深入，高考所考查的內容也有所變化，數(shù)學創(chuàng)新題以其新穎別致、生動靈活等特點獲得了命題者的青睞. 創(chuàng)新題一般立意新穎，具有一定的深度和廣度，更能激發(fā)學生的潛能，更能彰顯學生的綜合能力和數(shù)學素養(yǎng). 然要做好創(chuàng)新題需要學生具有良好的獨立思考習慣和自主分析能力，在面對不同的創(chuàng)新題目時可以選擇行之有效的方法和手段進行問題的分析和提取，并靈活運用所學知識進行合理的探究，從而創(chuàng)造性地解決問題. 為了學生能更好地適應創(chuàng)新題，筆者以幾類常見的創(chuàng)新題為例進行了簡單的剖析，以期引起共鳴.

[?] 定義新概念

所謂“新”是因為其在教材中不曾出現(xiàn)，其背景新穎，構思靈活，同時又蘊含著豐富的信息，可以更好地考查學生的綜合能力和綜合素質. 然而，雖表面上看是從未學過的概念或定義，但仔細閱讀后不難發(fā)現(xiàn)新概念或新定義往往可以轉化為熟悉的數(shù)學模型，結合新概念或新定義加以分析，往往可以輕松地解決問題.

例1 定義“等和數(shù)列”：在數(shù)列{a}中，若a與a的和均為常數(shù)d，那么數(shù)列{a}為等和數(shù)列，常數(shù)d為數(shù)列的公和.

已知{a}為等和數(shù)列，且a=2，公和d為5，則a的值為______，該數(shù)列的前n項和為______.

題目解析：雖然等和數(shù)列是學生從未接觸的概念，然學生有等差數(shù)列的學習經驗，在解題時可以將已有的等差數(shù)列的學習經驗遷移至等和數(shù)列，通過二者相類比而發(fā)現(xiàn)解決方法. 根據已知不難看出，a+a=5，已知a=2，故a=3，以此可知a=3. 當n為奇數(shù)時，a=2，S=;當n為偶數(shù)時，a=3，S=.

題目評注：本題定義了等和數(shù)列這一新概念，學生在求解a及其前n項和時就要充分利用好這一定義. 因為學生有學習等差數(shù)列的基礎，故可以充分利用a+a=d這一個本質特征. 解答此類問題時，學生首先要與已有知識進行類比和遷移，進而發(fā)現(xiàn)新概念的本質特征，然后圍繞關鍵點找到解題的突破口，利用原有認知將其內化，從而順利求解.

[?] 設計新運算

對于新概念或新定義的運用法則和運算方法，學生多因運算新穎而感覺該類題目變化莫測，無從下手，故在解決此類問題時教師要引導學生先進行觀察和分析，然后理解運算法則并挖掘出運算規(guī)律，進而為后期的推理打下堅實的基礎.

例2 設S為一集合（該集合至少含有兩個元素），在S上定義一個二元運算“?”（即對任意的a，b∈S，對于有序元素對（a，b），在S中有唯一確定的元素a*b與之對應）. 若對于a，b∈S，有a?（b?a）=b，則對任意的a，b∈S，下列等式不恒成立的是（? ）

A. （a?b）?a=a

B. [a?（b?a）]?（a?b）=a

C. （b?b）?b=b

D. （a?b）?[b?（a?b）]=b

題目解析：由“a，b∈S，有a?（b?a）=b”可知，變量取任意值恒成立，故解此題可以直接應用賦值法.

①將已知條件中的a換成b，則有b?（b?b）=b，故選項C恒成立;

②將已知條件中的a換成a?b，則有（a?b）?[b?（a?b）]=b，故選項D恒成立;

③將已知條件中的a換成b，b換成a，則有b?（a?b）=a，于是選項D可變成（a?b）?a=b，故選項A不恒成立;

④對于選項B，[a?（b?a）]?（a?b）=b?（a?b）=a，恒成立.

題目評注：例2定義了新的運算法則，若不是新定義的內容，學生根據選項進行運算和推理就可以得到答案;然本題定義了新的運算法則，因此在解題前應先理解運算法則，理解后不難發(fā)現(xiàn)，其類似于抽象函數(shù)問題，故將其轉化為熟悉的數(shù)學模型后，賦值法的應用也就水到渠成了. 在解決新定義的運算法則和運算關系時，學生常感覺到陌生和壓力，因其更加新穎，而學生在日常的學習和訓練中已經習慣了套用，繼而產生了心理障礙，故在教學新概念或新定義時不妨以閱讀方式給出，讓學生自己去領悟新內容，從而培養(yǎng)學生的自學能力.

[?] 創(chuàng)設新探索

探索性問題因其具有一定的開放性，更能考查學生思維的廣闊性，然在長期應試教育影響下，師生過于追求解題效率，對探索性題目的關注度較低，使得學生在面對有不確定因素的開放性問題時常出現(xiàn)畏難情緒. 基于此，教學中教師應多引導學生進行自主探究和小組探究，引導其大膽猜想和假設，通過類比、拓展等思維活動提升學生的數(shù)學應用能力.

例3 已知兩相交平面α，β與兩直線l，l，在α內的射影為s，s，在β內的射影為t，t. s，s與t，t滿足什么條件時可以確保l，l為異面直線.

題目解析：本題看似較難，然若學生熟知兩直線的三種位置關系并擁有良好的作圖能力，則此題并不難求解. 作圖后容易得到使l，l為異面直線的條件為：s∥s，且t與t相交;或t∥t，且s與s相交.

題目評注：此題為探索性問題，其主要考查學生的觀察能力和分析概括能力，將已知與結論相結合，從整體觀察，將本題轉化為熟悉的平面問題，進而總結出條件. 探索性問題的結論大多不是唯一的，因此教學中應鼓勵學生多角度進行思考，應用好已知和結論，盡量多地找到滿足結論的條件，這樣不僅可以深入理解本題，而且可以培養(yǎng)思維的多樣性和廣闊性.

[?] 引導新類比

類比是探索問題、解決問題的重要手段之一，通過類比發(fā)現(xiàn)問題之間的區(qū)別與聯(lián)系，進而經過猜想、推理、驗證提出并解決新問題，其有利于學生自學能力和創(chuàng)新能力的提升.

例4 已知數(shù)列{a}是公差為d（d≠0）的等差數(shù)列，S是{a}的前n項和. 若S-S，S-S，S-S也是等差數(shù)列，且其公差為100d. 與上述等差數(shù)列相類比，若數(shù)列是等比為q（q≠1）的等比數(shù)列，T是的前n項積，則T，T，T，T可以得出什么樣的結論？

題目解析：與等差數(shù)列相類比不難知道，，是公比為q100的等比數(shù)列.

題目評析：本題乍看是新定義的題目，即定義S-S，S-S，S-S為等差數(shù)列，然細細品味卻不難發(fā)現(xiàn)，其為基本運算的描述，故求解并不難. 在解決此題時充分應用了類比，如“等差”與“等比”相類比，“和”與“積”相類比，展現(xiàn)的是學生良好的分析并解決問題的能力.

[?] 跨學科融合

隨著時代的進步，教育走向了多元化、開放化的道路，對人才的考核也從單一的應試型轉化為應用型和創(chuàng)新型，為了更好地實現(xiàn)學科融合，發(fā)揮各學科優(yōu)勢，在教學中要注意學科之間的相互滲透，進而實現(xiàn)優(yōu)勢互補，提升學生的綜合素質.

例5 已知從橢圓的焦點F發(fā)出的光線，遇橢圓發(fā)生反射，反射后經過焦點F. 現(xiàn)有一個橢圓形的桌球臺，點A，B為橢圓的焦點，橢圓的長軸長為2a，焦距為2c，放在點A的小球從點A出發(fā)，那么小球第一次回到點A時，小球所走的路程為（? ）（此題不需要考慮小球的半徑）

A. 4a B. 2（a-c）

C. 2（a+c） D. 均有可能

題目解析：本題在求解時不難發(fā)現(xiàn)，因題目未制定小球的具體運行軌跡，因此解題時需要進行分類討論.

①放在點A的小球從點A出發(fā)，沿直線運動，當碰到橢圓的左頂點后返回A，則其所走的路程為2（a-c），故選項B正確.

②放在點A的小球從點A出發(fā)，沿直線運動，當碰到橢圓的右頂點后返回A，則其所走的路程為2（a+c），故選項C正確.

③放在點A的小球從點A出發(fā)，沿直線運動，其并未經過橢圓的左右頂點，碰到橢圓壁后反彈經過橢圓的右焦點B，由焦點B再回到焦點A，則其所走的路程為4a，故選項A正確.

綜上可知，本題的答案為選項D.

題目評注：根據學生的反饋來看，大部分學生因受已知的干擾選擇了選項A. 本題是一個跨學科的創(chuàng)新題，其與物理的反射相結合，物理中的反射既是解題的已知，也是解題的干擾. 本題的順利求解需要學生仔細審題，不僅要找到學科之間的融合點，而且要靈活應用已有經驗對指代不明的問題進行分類討論，進而成功解決問題. 數(shù)學常與物理、化學、地理等學科內容相融合，要解決好此類問題學生應多關注生活，多角度進行思考，從已知中抽象出數(shù)學模型，用數(shù)學思維思考問題，用數(shù)學知識解決問題. 雖然各學科在教法和學法上有著明顯的不同，但學科之間互相交叉、相互融合不僅可以開闊學生的視野，也可以更好地提高學生的核心素養(yǎng).

總之，創(chuàng)新題雖靈活多變，但其與已有經驗和已有知識是緊密相連的，只要認真思考、仔細觀察、找準方向，定能有所突破.