高亞健

[摘? 要] 數(shù)學(xué)課堂教學(xué)是“教”與“學(xué)”雙邊活動(dòng)，在實(shí)施以“動(dòng)手實(shí)踐”為主導(dǎo)的課堂教學(xué)中，教師可以通過(guò)精選操作內(nèi)容與方法，把握操作時(shí)機(jī)，組織學(xué)生開(kāi)展有序的操作實(shí)踐活動(dòng)，以建立出一種切實(shí)有效的教與學(xué)的模式，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升. 文章從動(dòng)手實(shí)踐活動(dòng)的視角，結(jié)合“特殊三角形”的復(fù)習(xí)課，談?wù)勅绾翁嵘骄炕顒?dòng)的設(shè)計(jì)內(nèi)涵，引發(fā)學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐、體驗(yàn)過(guò)程、生長(zhǎng)能力.

[關(guān)鍵詞] 動(dòng)手實(shí)踐;特殊三角形;分類討論

提出問(wèn)題

優(yōu)化教學(xué)方法，開(kāi)放學(xué)生的創(chuàng)造潛能，將動(dòng)手實(shí)踐活動(dòng)融入數(shù)學(xué)課堂是提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的有效途徑. 一般情況下，教師習(xí)慣利用“練習(xí)+講解”來(lái)勾畫復(fù)習(xí)課，這樣的方法呆板無(wú)趣，學(xué)生很難提起學(xué)習(xí)的興趣. 在實(shí)施以“動(dòng)手實(shí)踐”為主導(dǎo)的課堂教學(xué)中，教師可以通過(guò)精選操作內(nèi)容與方法，把握操作時(shí)機(jī)，組織學(xué)生開(kāi)展有序的操作實(shí)踐活動(dòng)，以建立起一種切實(shí)有效的教與學(xué)的模式，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升. 下面，筆者以“特殊三角形”的復(fù)習(xí)課為例，談?wù)勅绾翁嵘骄炕顒?dòng)的設(shè)計(jì)內(nèi)涵，引發(fā)學(xué)生在數(shù)學(xué)活動(dòng)中動(dòng)手實(shí)踐、體驗(yàn)過(guò)程、生長(zhǎng)能力.

課堂實(shí)錄

1. 適切導(dǎo)入，引出課題

師：本節(jié)課我們主要來(lái)回味特殊三角形，那么你知道哪些特殊三角形呢？

生1：等腰三角形、等邊三角形、直角三角形.

生2：等腰直角三角形.

師：你們羅列出的這四種特殊三角形，它們的特殊體現(xiàn)在哪里呢？

生3：等腰三角形的兩條腰相等，兩個(gè)底角也相等;等邊三角形的三條邊都相等;直角三角形有一個(gè)角是直角.

生4：等腰直角三角形有一個(gè)直角，且兩直角邊相等，兩個(gè)底角是45°.

師：很好，根據(jù)剛才的總結(jié)，這些特殊三角形都是用什么來(lái)刻畫的呢？

生5：邊與角.

師：非常好，那這節(jié)課就讓我們從邊與角這兩個(gè)角度和特殊三角形再來(lái)一次親密接觸吧！

設(shè)計(jì)意圖 “溫故而知新”，在開(kāi)課之始，教師引領(lǐng)學(xué)生通過(guò)對(duì)舊知的回顧進(jìn)行了一次良好的過(guò)渡，自然而然地引出了課題. 本節(jié)課中，教師通過(guò)羅列特殊三角形，給學(xué)生的思維提供了一個(gè)緩沖的空間，用以激起學(xué)生進(jìn)一步探究的欲望. 這樣看似普通的“溫故而知新”的導(dǎo)入，為之后的探索指明了正確的方向.

2. 動(dòng)手實(shí)踐，獲得體驗(yàn)

探究活動(dòng)1：填一填.

（1）已知等腰三角形ABC的其中一內(nèi)角是40°，則另外兩個(gè)內(nèi)角的度數(shù)分別是____和____. （師生共同探究，發(fā)現(xiàn)等腰三角形ABC的內(nèi)角分為頂角和底角，進(jìn)而得出兩種結(jié)果：70°和70°，40°和100°）

（2）已知等腰三角形ABC的兩條邊的長(zhǎng)度分別是4和5，則其周長(zhǎng)為_(kāi)____. （師生又一次共同探究，根據(jù)等腰三角形ABC的邊可分為腰與底邊，進(jìn)而得出兩種結(jié)果：13或14）

（3）已知Rt△ABC的兩條邊的長(zhǎng)度分別是4和5，則其周長(zhǎng)為_(kāi)___. （師生再次共同探究，根據(jù)Rt△ABC的邊可分為直角邊與斜邊，進(jìn)而得出兩種結(jié)果：12或9+）

（4）根據(jù)以上各題，你有何體會(huì)或感悟？（通過(guò)歸納、總結(jié)和反思，學(xué)生領(lǐng)悟到在探求特殊三角形邊或角時(shí)需要充分運(yùn)用好分類討論思想）

探究活動(dòng)2：證一證.

如圖1所示，已知△ABC中，AB=BC=4，AD為邊BC的中線，AD=2，那么△ABC是什么三角形？并證明. （學(xué)生讀題）

生6：△ABC是等邊三角形. 證明如下：因?yàn)锳B=BC=4，AD為邊BC的中線，所以BD=BC=2. 在△ABD中，因?yàn)锳B2=16，AD2+BD2=（2）2+22=16，所以AB2=AD2+BD2，所以△ABD為直角三角形，所以∠ADB=∠ADC=90°. 在△ADB與△ADC中，因?yàn)椤螦DB=∠ADC，

AD=AD，

BD=DC，所以△ADB≌△ADC，所以△ABC是等邊三角形.

生7：我也認(rèn)為△ABC是等邊三角形，不過(guò)我的證法和生6有些不同. 同生6一樣證得△ABD為直角三角形，所以AD⊥BC. 因?yàn)锽D=CD，所以AD垂直且平分BC，所以AB=AC，所以AB=AC=BC，所以△ABC是等邊三角形.

生8：我也是同生6一樣證得△ABD為直角三角形，因?yàn)锽D=2，AB=4，根據(jù)“30°所對(duì)的直角邊為斜邊的一半”的逆定理，可得∠BAD=30°，所以∠B=60°，所以△ABC是等邊三角形.

師：剛才三名同學(xué)的前一半證明都離不開(kāi)“證明△ABD為直角三角形”，且三人運(yùn)用的方法相同，都用到了什么定理？

生（齊）：勾股定理的逆定理.

師：此處還用到了哪些知識(shí)呢？（學(xué)生又一次開(kāi)始總結(jié)提煉）

師：通過(guò)解決本題，你們又有何啟示？

生9：多方位、多角度分析和思考一道相同的問(wèn)題，往往可以得出多種不同的解法.

探究活動(dòng)3：折一折.

（1）在日常生活中，我們可以折出一個(gè)等腰三角形嗎？請(qǐng)拿出準(zhǔn)備好的白紙?jiān)囈辉?，能不能折出一個(gè)等腰三角形？（師生一起操作，不僅折出了一般的等腰三角形，還折出了等腰直角三角形和等邊三角形）

（2）如圖2所示，已知四邊形ABCD為一張長(zhǎng)方形紙片，且AD=BC=，AB=CD=5，分別在邊AB，CD上取點(diǎn)M，N，將紙片沿著MN折疊，使得MB交DN于點(diǎn)K，并得出△MNK.

①那么△MNK是等腰三角形嗎？若是，請(qǐng)證明;若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

②如果△MNK是一個(gè)等邊三角形，試求出折痕MN的長(zhǎng).

③如果△MNK是一個(gè)直角三角形，試求出折痕MN的長(zhǎng)，并求出△MNK的面積.

探究活動(dòng)4：畫一畫.

如圖3所示，若將一張直角三角形紙片放置在平面直角坐標(biāo)系中，且直角頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，一直角邊OB落在y軸上，OA=8，OB=6.

（1）求AB.

（2）若x軸上有一點(diǎn)P，使得△PAB為等腰三角形，這樣的點(diǎn)P有幾個(gè)，試求出點(diǎn)P的坐標(biāo).

探究活動(dòng)5：拼一拼.

（1）如圖4所示，已知花園里有一個(gè)Rt△OAB花圃，若想將其改造成一個(gè)等腰三角形花圃，且擴(kuò)充部分是以O(shè)A為直角邊的直角三角形（與原三角形不重疊），試求出改造后的等腰三角形花圃的周長(zhǎng).

（2）若將“以O(shè)A為直角邊的直角三角形”換為“與Rt△ABO有一條公共邊的直角三角形”，結(jié)果又如何？

設(shè)計(jì)意圖 學(xué)生的數(shù)學(xué)思維在很多情況下不是主動(dòng)發(fā)生的. 本環(huán)節(jié)中，教師以有效問(wèn)題作為引導(dǎo)，為學(xué)生設(shè)計(jì)了與教學(xué)內(nèi)容相關(guān)的動(dòng)手實(shí)踐活動(dòng)，讓學(xué)生在觀察、操作、探究等實(shí)踐活動(dòng)中觸動(dòng)思維，獲得體驗(yàn).

3. 總結(jié)反思，生長(zhǎng)能力

師：通過(guò)今天的學(xué)習(xí)，你有何收獲？

生10：在今天的復(fù)習(xí)中，我知道了分類討論是一種重要的思想方法.

生11：倘若我們能多角度、多方位地觀察和分析問(wèn)題，則可以發(fā)現(xiàn)一道習(xí)題的多種不同的解法.

生12：通過(guò)對(duì)邊與角的分析，讓我重新認(rèn)識(shí)了特殊三角形，并懂得了它的特殊之處有……

設(shè)計(jì)意圖 教師在教學(xué)中要盡量為學(xué)生提供反思的機(jī)會(huì)，可以培養(yǎng)學(xué)生的反思品質(zhì)，可以為后續(xù)學(xué)習(xí)積淀經(jīng)驗(yàn)與方法. 這一環(huán)節(jié)中，教師讓學(xué)生從自身的認(rèn)識(shí)出發(fā)談?wù)劯形蚺c體驗(yàn)，學(xué)生基于自身的操作體驗(yàn)進(jìn)行了闡述，促進(jìn)了思維的拔節(jié)生長(zhǎng).

幾點(diǎn)感悟

1. 在實(shí)踐操作中大膽猜想，強(qiáng)化感性認(rèn)識(shí)

猜想是學(xué)生初步感知事物后進(jìn)行的判斷，這一過(guò)程對(duì)于學(xué)生獲取知識(shí)來(lái)說(shuō)十分重要，因此在動(dòng)手實(shí)踐中要鼓勵(lì)學(xué)生大膽猜想. 例如，當(dāng)教師拋出問(wèn)題“在日常生活中，我們可以折出一個(gè)等腰三角形嗎”，學(xué)生很篤定地猜想到“可以”. 此時(shí)學(xué)生就會(huì)躍躍欲試地去驗(yàn)證自身的猜想是否正確. 這樣一來(lái)，利用好動(dòng)手操作得到各種等腰三角形也就水到渠成了. 在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生的動(dòng)手操作能力和空間感知能力得到了鍛煉與提升，他們的感性認(rèn)識(shí)也得到了強(qiáng)化.

2. 有機(jī)融合操作與思考，促進(jìn)理性思維

動(dòng)手操作的活動(dòng)離不開(kāi)數(shù)學(xué)思維的參與，思維參與的深度不同，教學(xué)的效果也會(huì)有所不同. 本節(jié)課中，教師設(shè)計(jì)的每個(gè)探究活動(dòng)并非簡(jiǎn)單地模仿操作，而是讓學(xué)生經(jīng)歷由淺入深的探究過(guò)程，實(shí)現(xiàn)了操作與思維的有機(jī)融合，促進(jìn)理性思維的生長(zhǎng). 探究活動(dòng)中，教師從學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律出發(fā)自主創(chuàng)新設(shè)計(jì)，并注意到挖掘知識(shí)生長(zhǎng)點(diǎn)和知識(shí)延伸點(diǎn)，進(jìn)一步探究活動(dòng)的目的，讓學(xué)生感受探究的樂(lè)趣和收獲的喜悅，體悟蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法. 對(duì)特殊三角形的理解經(jīng)歷從“朦朧”到“覺(jué)醒”，最后走向“清晰”，使得學(xué)生對(duì)特殊三角形相關(guān)知識(shí)的理解逐步走向深刻，并獲得數(shù)學(xué)探究的成功體驗(yàn).

3. 有度滲透數(shù)學(xué)思想，促進(jìn)思維品質(zhì)的形成

數(shù)學(xué)思想是思維的核心，在動(dòng)手操作的過(guò)程中，不失時(shí)機(jī)地滲透數(shù)學(xué)思想，可以通過(guò)探索、感知與體驗(yàn)，養(yǎng)成良好的思維品質(zhì). 例如，探究活動(dòng)“畫一畫”可以讓學(xué)生在操作中自然領(lǐng)悟隱含在數(shù)學(xué)探究中的分類討論思想，并形成自然應(yīng)用的意識(shí). 正是因?yàn)樵谔骄恐袑?duì)分類討論的充分理解和應(yīng)用，才讓學(xué)生從量的積累到質(zhì)的提升，從而自然應(yīng)用到今后的問(wèn)題解決中去.

總之，采用這種動(dòng)手實(shí)踐、體驗(yàn)過(guò)程、生長(zhǎng)能力的創(chuàng)新實(shí)踐教學(xué)方法，能充分調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，讓學(xué)生在手、口、腦等協(xié)同合作下感受到數(shù)學(xué)的魅力，充分感受到數(shù)學(xué)思想方法的生長(zhǎng)，發(fā)展自身的創(chuàng)新潛能，讓復(fù)習(xí)課從枯燥、乏味、低效的窘境中走出來(lái)，變得有趣、有味，這不失為數(shù)學(xué)探究性教學(xué)的上策.