曹文棟　童莉

[摘? 要] 數(shù)學課程標準強調培養(yǎng)學生的邏輯推理素養(yǎng)，“相交線與平行線”作為初中幾何學習的起始部分、嚴格證明的開端，其目標在于幫助學生樹立幾何意識，養(yǎng)成推理與證明的能力，但教學中學生往往在邏輯推理、證明過程書寫方面存在一定困難. 在初中“相交線與平行線”相關證明專題教學過程中引入“逆向推理”的思維方式，有助于培養(yǎng)學生的邏輯推理能力，為之后幾何內容的學習奠定良好基礎.

[關鍵詞] 逆向推理;相交線與平行線;核心素養(yǎng)

《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》指出：推理是數(shù)學的基本思維方式，也是人們學習和生活中經常使用的思維方式[1]，數(shù)學學科核心素養(yǎng)也將“邏輯推理”作為主要素養(yǎng)之一. “圖形與幾何”內容的學習是培養(yǎng)邏輯推理素養(yǎng)的有效方式，其中“相交線與平行線”部分作為初中“圖形與幾何”學習的起始內容、嚴格證明的開端，對學生邏輯推理素養(yǎng)的培養(yǎng)尤為重要. 傳統(tǒng)教學中，教師往往直接給出固定的推理組合，讓學生進行記憶訓練，形成固定模式，這對解決基礎的推理題目有效，但對稍微復雜的推理問題，學生就會找不到思路，特別是對于涉及作輔助線的推理問題，學生感覺尤其困難.

逆向推理的思維方式就是從問題出發(fā)[2]，先思考證明此問題需要什么條件，再結合已知條件及相關定理，逐步找到所有的條件，形成嚴密的思維結構，再從已知條件到目標問題，書寫完整求證過程. 這樣可以有效幫助學生學會從問題出發(fā)，養(yǎng)成逐步化歸的思維方式，突破幾何題目、強化數(shù)學思維、形成邏輯推理核心素養(yǎng).

初中“相交線與平行線”的內容分析

“相交線與平行線”內容屬于初中數(shù)學“圖形與幾何”知識板塊，該板塊是數(shù)學知識體系的重要組成部分，主要是運用邏輯推理的方法來研究平面圖形性質的學科內容[3]，它強調學生的邏輯思維和推理能力的培養(yǎng). 從初中幾何課程整體來看，在“相交線與平行線”部分才剛剛引入較為規(guī)范的證明過程，若掌握好進行推理證明的思考步驟及思維方式，則有助于學生在更深入的圖形證明中進行邏輯推理.

在當前主流的初中數(shù)學教材中，“相交線與平行線”在整個幾何內容中的位置有一定的差異. 人教版將“相交線與平行線”一章設置在七年級下冊（第五章），它是繼七年級上冊（第四章）“幾何圖形初步”后，對圖形與幾何的更進一步學習. 北師大版將“相交線與平行線”設置在七年級下冊第二章（第八章），又在八年級上冊第七章（第十九章）專門設置了“平行線的證明”進行證明過程的教學. 華師大版將“相交線與平行線”一章設置在七年級上冊（第五章）. 具體見表1.

各教材“相交線與平行線”章節(jié)具體內容也有略有差異. 在人教版教材中，該章不僅包括相交線以及平行線的判定與性質等內容，還專門設置了“命題、定理、證明”專題，引入“真命題”“假命題”以及“證明”的概念，開始進行嚴格的證明教學. 北師大版教材中，該章包括兩條直線的位置關系、探索直線平行的條件以及平行線的性質等內容，還設置了“為什么要證明”專題幫助學生樹立“要判斷一個數(shù)學結論是否正確，必須進行有根有據(jù)的證明”的觀點. 在華師大版教材中，該章在小學通過觀察體會相交線與平行線的基本屬性的基礎上，通過數(shù)學說理的方法從公認的基本事實推導出了平行線的判定方法及性質，并在“平行線的判定”內容后以“讀一讀”的拓展閱讀形式對“推理”的數(shù)學思想進行了介紹，強調了“歸納推理”與“演繹推理”的區(qū)別，同時在章節(jié)“小結”中說明了“演繹推理”在結論證明中的作用. 具體見表2.

從表上可以看出，各類教材雖然對“相交線與平行線”的內容設置方式不一，但都分為了兩個步驟，一是學習相交線以及平行線的判定與性質的基本知識;二是依托定理的學習進行嚴格證明的教學，特別是北師大版本將這兩個步驟做了嚴格的區(qū)分. 不同教材對“推理”和“證明”兩個概念的講解程度不同，但均表達了“推理和證明是有區(qū)別的”的觀點，推理是證明過程中的組成部分，在“證明”的教學過程中重點是要讓學生理解證明的必要性和證明的過程. “相交線與平行線”章節(jié)的設置，承擔著進行“證明”教學的功能，因此，在“相交線與平行線”的教學過程中，不僅要關注學生對二者概念的認識，還要幫助學生深入理解“推理”與“證明”，培養(yǎng)學生進行嚴格證明的能力.

逆向推理思維方式在初中“相交線與平行線”教學中的應用價值

1. 幫助學生銜接發(fā)展小學的推理方式

初中幾何教學主要是引導學生主動分析問題，運用所學知識從條件出發(fā)進行分析和推導，尋求各種推理所需的證據(jù)，最終解決問題[4]. 在“相交線與平行線”教學階段，學生剛剛經歷完小學階段的學習，邏輯推理能力較弱，才開始接觸“嚴格證明”的相關知識，在“尋求各種推理所需的證據(jù)”的能力上還有待提高，對于邏輯推理和規(guī)范證明方面都存在較大問題. 特別是小學階段對“圖形與幾何”的內容更關注學生對內容的“認識”階段，更多采用觀察、操作、簡單推理等方式進行學習，缺少了“嚴格證明”的步驟. 圖爾明關于推理的定義強調了要“注重考慮邏輯結構的完整性和正確性”.[5]學生進入初中階段后思考事物缺乏邏輯性，表現(xiàn)出的現(xiàn)象就是面對幾何題目缺乏整體思考，能看出結果但不會說理由、能判斷求解但不會寫過程. 因此，在教學過程中采取必要手段引導學生培養(yǎng)邏輯推理能力是非常有必要的.

2. 有助于發(fā)展學生思考問題的主動性

“逆向推理”的思維方式更關注于學生轉化問題的過程，幫助學生從問題出發(fā)，尋找可以用于求證結論或求解問題的條件. 尋找條件的過程就是化歸思想的體現(xiàn)，將已知的問題化歸為更容易探究或已經解決的問題[6]，通過多次化歸，可以轉化至已知的條件.

同時，新課程改革要求學生在學習過程中處于主體地位，教師通過交流和引導的方式參與到學習和探索的過程中. 此模式下，教師主要以引導式提問啟發(fā)學生思考[7]，這也使此方式成為落實學生的課堂主體地位、培養(yǎng)學生自主學習能力的有效途徑.

逆向推理思維方式在初中“相交線與平行線”教學中的應用案例

逆向推理的思維方式在“相交線與平行線”部分的應用主要體現(xiàn)在以下幾個方面.

1. 引導關注論證目標，積極關聯(lián)已知條件

剛剛接觸幾何題目的學生面對眾多已知條件，常出現(xiàn)不知道該如何使用條件推導的情況. 通過逆向推理的方式，可以幫助學生從目標出發(fā)，尋找需要使用的條件. 在逆向推理的過程中，需要不斷引入新條件以轉化問題，這樣便可以幫助學生充分運用已知條件.

案例1 如圖2，直線a‖b，點A在直線a上，點B，C在直線b上，且BA⊥CA，點D在線段BC上，連接AD，且AC平分∠DAF，試說明∠3=∠5.

分析 該題目涉及的知識點不多、難度不大，主要是利用垂直、平角、角平分線等定義，進行平行的判定，在學生剛開始學習幾何階段，逆向推理的解題思路能有效幫助學生理解已知條件的轉化. 如圖3所示的思維導圖，從結論出發(fā)，思考時充分考慮等量代換，將無法直接求證的角的關系轉化為另外的角的關系，從而轉化為可以解決的問題. 經此訓練，學生能熟練進行轉換，并且知曉無法求證時使用已知條件進行轉換，這大大提高了學生理解題目的效率.

2. 探求定理形成原理，加深對定理的理解

對于數(shù)學的命題而言，前提和結論都是已知的，因此基于數(shù)學命題驗證的數(shù)學教學，可以在驗證過程中培養(yǎng)學生關于證明的邏輯思維能力[8]. 在教學過程中，往往就可以結合定理等內容對“逆向推理”思維方式進行引入，幫助學生理解定理的內在邏輯，加深學生對定理的理解.

案例2 定理教學“對頂角相等”. （如圖4，已知：直線a，b相交于點O，證明：∠2=∠3. ）

在教學過程中，“對頂角相等”是很直觀的，學生可以直接感受到，但如何證明，學生卻難以下手. 通過“逆向推理”的思維方式，可以有效幫助學生找到問題所在，即要證明一組對頂角相等. 明確問題后，學生便很容易知道要先找到一組對頂角，再對其進行轉化，證明這組角相等.

3. 激發(fā)思維的靈活性，規(guī)范書寫證明過程

在圖形與幾何相關內容的問題解決中，解題方法往往不是唯一的，當教師給出一種思路后，學生很難再思考其他解題思路. 在逆向推理的過程中，轉化問題的方法也是多樣的，教師在引導學生進行推理時，可以列舉多條路徑，讓學生對同一題目的多種解題思路進行探索，同時學生可以通過對比感受哪一種思路是最簡便的，從而激發(fā)學生思維的靈活性.

案例3 如圖6，已知AD⊥BC于點D，EF⊥BC于點F，∠1=∠2，試說明AB∥DG.

分析 該題目是一道簡單的利用平行線的判定方法進行簡單推理的試題，在學生求解過程中，大多數(shù)都能運用較為簡單的方法，但教師在講解過程中，引入了一個相對復雜的方法，這對于學生來說不太接受. 運用逆向推理的思維方式，從目標出發(fā)能自然而然地想到三種方法，在推理過程中也能讓學生明顯感受到不同解題方法的差異.

同時，學生在解題過程中，通過逆向推理能夠形成詳細的思維路徑，學生根據(jù)構建的逆向推理思維過程，從思維導圖底部開始書寫證明過程，能夠清楚展示證明過程，使解題步驟條理清晰、具有邏輯性.

通過對逆向思維導圖的反向書寫，可以使解答思路清晰、書寫步驟規(guī)范. 在此展示案例3的方法二（通過證明內錯角相等得到兩直線平行的結論）的證明過程. 具體如下：

因為AD⊥BC，EF⊥BC，

所以AD∥EF（同一平面內，垂直于同一直線的兩直線平行），

所以∠1=∠BAD（兩直線平行，同位角相等）.

又因為∠1=∠2（已知），

所以∠BAD=∠2（等量代換），

所以AB∥DG（內錯角相等，兩直線平行）.

結語

數(shù)學教育主要是教給學生數(shù)學思維，教師在講授幾何題目引入逆向推理的思維方式時要堅持以學生為本，更多地關心學生的思維過程[8]，主要以引導式的教學模式啟發(fā)學生自行挖掘條件、轉移已知內容，切忌直接告訴學生下一步要找什么條件、應該怎么做. 當學生能熟練感知逆向推理的思維方式并嘗試獨立自主克服難題后，學生就能獨立自主地快速、規(guī)范、高效解題.

參考文獻：

[1] 王旭，童莉. 比翼齊飛：合情推理與演繹推理[J]. 數(shù)學教學通訊，2012（36）：14-15.

[2] 王斌. 數(shù)學證明中的逆向思維教學法[J]. 重慶交通學院學報，2005（01）：158-160.

[3] 黃燦. 中俄初中數(shù)學教材幾何內容呈現(xiàn)方式對比研究[D]. 渤海大學，2017.

[4] 胡家車. 新課程改革下對初中數(shù)學教師的要求[J]. 新課程（中），2017（02）：226.

[5] 張僑平，邢佳立，金軒竹. 小學數(shù)學教學中數(shù)學推理的理論和實踐[J]. 數(shù)學教育學報，2021，30（05）：1-7.

[6] 黃翔. 數(shù)學方法論選論[M]. 重慶：重慶大學出版社，1995.

[7] 竇臘娜. 淺談初中數(shù)學問題式教學的應用策略[J]. 中學數(shù)學，2021（02）：92-93.

[8] 史寧中. 試論數(shù)學推理過程的邏輯性——兼論什么是有邏輯的推理[J]. 數(shù)學教育學報，2016，25（04）：1-16+46.