安宏

[摘 ?要] 在數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的六個(gè)要素中，與學(xué)生關(guān)系最密切、學(xué)生最熟悉，同時(shí)又有著較大培養(yǎng)空間的要素是數(shù)學(xué)運(yùn)算. 在核心素養(yǎng)培育的背景下，數(shù)學(xué)運(yùn)算也包含著關(guān)鍵能力的培養(yǎng)要求，因此在培育學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)時(shí)，教師應(yīng)當(dāng)有更多的理解、更多的實(shí)踐，以及更多的反思. 數(shù)學(xué)運(yùn)算中的邏輯關(guān)系可以幫助學(xué)生深化數(shù)學(xué)知識(shí)理解、建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)體系、形成數(shù)學(xué)運(yùn)用能力;高中數(shù)學(xué)視野下的數(shù)學(xué)運(yùn)算所蘊(yùn)含的組合、推理等思維，反映著集合之間的映射，反映著函數(shù)所蘊(yùn)含的對(duì)應(yīng)法則.

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學(xué);核心素養(yǎng);數(shù)學(xué)運(yùn)算

當(dāng)核心素養(yǎng)的概念被正式提出后，高中數(shù)學(xué)教學(xué)就一直面臨著一個(gè)基本的任務(wù)，那就是如何讓核心素養(yǎng)落地. 在數(shù)學(xué)這門具體的學(xué)科中，需要培養(yǎng)的是核心素養(yǎng)的下屬概念，也就是數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng). 《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》以六大數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)要素為主題，明確了數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的組成部分，這些要素分別是數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析，并且新課標(biāo)強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是育人價(jià)值的集中體現(xiàn)，是學(xué)生通過學(xué)科學(xué)習(xí)而逐步形成的正確價(jià)值觀念、必備品格和關(guān)鍵能力. 那么在具體的教學(xué)過程中，這些核心素養(yǎng)要素如何能夠得到有效的培養(yǎng)呢？筆者以為這與具體的核心素養(yǎng)要素有關(guān). 比如，要培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，那就應(yīng)當(dāng)給學(xué)生提供一些形象的事例讓學(xué)生去完成抽象. 相比較而言，在數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的六個(gè)要素中，與學(xué)生關(guān)系最密切、學(xué)生最熟悉，同時(shí)又有著較大培養(yǎng)空間的要素是數(shù)學(xué)運(yùn)算. 可以說從學(xué)生開始接觸數(shù)學(xué)學(xué)科的那天開始，數(shù)學(xué)運(yùn)算就已經(jīng)正式走入了學(xué)生的思維，義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，很大程度上就是數(shù)學(xué)運(yùn)算的學(xué)習(xí);到了高中學(xué)段，數(shù)學(xué)運(yùn)算被賦予了更多的內(nèi)涵，尤其是在核心素養(yǎng)培育的背景下，數(shù)學(xué)運(yùn)算也包含著關(guān)鍵能力的培養(yǎng)要求，因此在培育學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)時(shí)，教師應(yīng)當(dāng)有更多的理解、更多的實(shí)踐，以及更多的反思.

數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的培養(yǎng)價(jià)值

對(duì)于高中學(xué)生而言，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中培育數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)有著什么樣的意義和價(jià)值呢？弄清楚這個(gè)問題，是數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)得以培育的基礎(chǔ). 需要指出的是，數(shù)學(xué)運(yùn)算不同于數(shù)學(xué)計(jì)算，不只是簡(jiǎn)單的加減乘除或者其他的算式算法，在高中數(shù)學(xué)的知識(shí)體系里，數(shù)學(xué)運(yùn)算能幫助學(xué)生尋找數(shù)學(xué)概念之間的聯(lián)系、發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律，因此可以說培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算能力是提升學(xué)生核心素養(yǎng)的關(guān)鍵. 在課堂教學(xué)中，教師應(yīng)著力培養(yǎng)和提高學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，使他們熟練掌握運(yùn)算技巧，并以此夯實(shí)基礎(chǔ). 具體地說，數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的培養(yǎng)價(jià)值主要有如下兩個(gè)方面：

一是數(shù)學(xué)運(yùn)算中的邏輯關(guān)系可以幫助學(xué)生深化數(shù)學(xué)知識(shí)理解、建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)體系、形成數(shù)學(xué)運(yùn)用能力. 形成這一理解意味著認(rèn)識(shí)到了數(shù)學(xué)運(yùn)算所具有的工具性作用，事實(shí)上，很多數(shù)學(xué)概念之間的聯(lián)系都可以在數(shù)學(xué)運(yùn)算的過程中得以體現(xiàn)，學(xué)生也總能夠通過數(shù)學(xué)運(yùn)算去發(fā)現(xiàn)這些聯(lián)系，并且建立起規(guī)律性的認(rèn)識(shí). 只不過在日常的教學(xué)中，教師與學(xué)生往往追求的都是數(shù)學(xué)運(yùn)算的結(jié)果而不是過程，導(dǎo)致數(shù)學(xué)運(yùn)算的過程所具有的營養(yǎng)價(jià)值也就流失了.

二是高中數(shù)學(xué)視野下的數(shù)學(xué)運(yùn)算所蘊(yùn)含的組合、推理等思維，反映著集合之間的映射，反映著函數(shù)所蘊(yùn)含的對(duì)應(yīng)法則. 認(rèn)識(shí)到這一點(diǎn)，也就意味著認(rèn)識(shí)到了數(shù)學(xué)運(yùn)算所具有的功能性作用. 從高中數(shù)學(xué)知識(shí)體系的角度來看，假如沒有數(shù)學(xué)運(yùn)算，那么作為最重要的函數(shù)知識(shí)及其思想，就很難支撐起整個(gè)高中數(shù)學(xué)知識(shí)體系的大廈. 從這個(gè)角度來看，任何一個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)，都可以培育學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

認(rèn)識(shí)到以上兩個(gè)方面，在具體的教學(xué)過程中，教師也就有了有效的施力點(diǎn)，從而可以讓數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)落地得到真正的保證.

數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的培養(yǎng)途徑

更加精細(xì)的研究表明，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)主要包括理解運(yùn)算對(duì)象、掌握運(yùn)算法則、探究運(yùn)算思路、選擇運(yùn)算方法、設(shè)計(jì)運(yùn)算程序、求得運(yùn)算結(jié)果，因此具體的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的培養(yǎng)就可以從以上幾個(gè)方面進(jìn)行.

例如，“用‘二分法’求方程的近似解”這一知識(shí)的教學(xué)中，如果先分析學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)，就會(huì)發(fā)現(xiàn)絕大多數(shù)學(xué)生都認(rèn)為方程是應(yīng)當(dāng)求精確解的，求近似解有什么意義呢？這時(shí)教師可以向?qū)W生提供一些方程，如lnx+2x-6=0. 當(dāng)學(xué)生看到這個(gè)方程后，自然會(huì)發(fā)現(xiàn)用一般的方法無法求出方程的精確解. 在這種情況下，教師先不要把“二分法”介紹給學(xué)生，而是讓學(xué)生通過自主學(xué)習(xí)和合作學(xué)習(xí)進(jìn)行探究.

教學(xué)實(shí)踐表明，在這個(gè)環(huán)節(jié)盡管絕大多數(shù)學(xué)生并不能一下就找到解方程的方法，但是他們會(huì)自然而然地形成一種解題思路，那就是用具體數(shù)取代未知數(shù)，這時(shí)學(xué)生進(jìn)行的數(shù)學(xué)運(yùn)算過程就是：先估計(jì)一個(gè)x的值，然后去計(jì)算lnx，6-2x的值分別是多少;如果lnx和6-2x的值差距較大，那么學(xué)生就會(huì)判斷應(yīng)當(dāng)將估計(jì)的x的值增大或者減小，這時(shí)有可能出現(xiàn)的情況是增大或者減小得太多，反而使得結(jié)果偏差更大，那么學(xué)生就會(huì)相應(yīng)地修正自己的猜想，直到最終得到一個(gè)相對(duì)精確的結(jié)果.

經(jīng)歷了這樣一個(gè)過程學(xué)生就會(huì)發(fā)現(xiàn)，原來對(duì)于一些特殊的方程而言，求其近似值是有意義的. 更重要的是，在這樣的學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生通過自己的摸索，實(shí)際上已經(jīng)初步接觸了“二分法”的運(yùn)用本質(zhì). 因?yàn)樵谶@樣的過程中，學(xué)生的思維在逐步完善：從估計(jì)開始，再去判斷，然后通過計(jì)算進(jìn)行比較. 這體現(xiàn)出了數(shù)學(xué)運(yùn)算的一些基本環(huán)節(jié)（實(shí)際上也體現(xiàn)出了數(shù)學(xué)運(yùn)算與數(shù)學(xué)計(jì)算的區(qū)別）.

在學(xué)生有了這一認(rèn)知基礎(chǔ)后，教師就可以向?qū)W生介紹“二分法”了. “二分法”的運(yùn)用當(dāng)然是從函數(shù)切入的，由于學(xué)生已經(jīng)知道了函數(shù)與方程的關(guān)系，自然也就知道了求方程lnx+2x-6=0的解實(shí)際上就是求函數(shù)f（x）=lnx+2x-6的零點(diǎn)——當(dāng)然這需要約定區(qū)間，比如在區(qū)間（2，3）內(nèi). 在這個(gè)環(huán)節(jié)，教師可以借助于計(jì)算器提高教學(xué)效率，也可以讓學(xué)生更快地驗(yàn)證自己的猜想.

總之，經(jīng)歷這樣一個(gè)過程，學(xué)生可以迅速地掌握“二分法”. 而作為求函數(shù)近似值最基本的方法之一，學(xué)生對(duì)“二分法”的理解與運(yùn)用，體現(xiàn)出了數(shù)學(xué)運(yùn)算在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的價(jià)值. 這時(shí)教師有必要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行反思. 反思就是比較，比較的對(duì)象就是自己在初步探索時(shí)所經(jīng)歷的猜想、判斷、計(jì)算等過程，與掌握了“二分法”后進(jìn)行計(jì)算的過程. 將這兩個(gè)過程進(jìn)行比較，學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)在運(yùn)用“二分法”時(shí)，由于區(qū)間明確，因此可以先從x=處判定方程的結(jié)果，不僅能提高計(jì)算效率，而且能保證結(jié)果更加準(zhǔn)確.

數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的培養(yǎng)展望

在上面的例子中，學(xué)生能夠建立一個(gè)比較完整且具體的數(shù)學(xué)運(yùn)算過程，經(jīng)歷這個(gè)過程，不僅能夠培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，而且學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算的理解也會(huì)更加深刻. 這實(shí)際上就是從實(shí)際運(yùn)用與理論理解兩個(gè)角度幫助學(xué)生建立起了對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算的認(rèn)識(shí). 相對(duì)于學(xué)生原有的認(rèn)識(shí)而言，此時(shí)的認(rèn)識(shí)無論是從廣度還是從深度來看，都有明顯的突破. 相應(yīng)的，在這個(gè)過程中，學(xué)生所形成的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力也更容易上升為數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)，從而奠定數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)培育的基礎(chǔ).

數(shù)學(xué)運(yùn)算來自運(yùn)算技能同思維能力的結(jié)合，十分重要，有著極廣的應(yīng)用范圍，所以更應(yīng)該重視數(shù)學(xué)運(yùn)算的學(xué)習(xí). 在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中展望數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的培養(yǎng)，筆者以為數(shù)學(xué)運(yùn)算的價(jià)值還有待進(jìn)一步挖掘，無論是教師還是學(xué)生，都需要進(jìn)一步深化對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的認(rèn)識(shí). 如同本文章開始所強(qiáng)調(diào)的那樣，首先要突破的一點(diǎn)認(rèn)識(shí)就是不能把數(shù)學(xué)運(yùn)算當(dāng)作數(shù)學(xué)計(jì)算：計(jì)算只是運(yùn)算的一部分，其所用的只是計(jì)算法則;而數(shù)學(xué)運(yùn)算往往面臨著更加復(fù)雜的情境，面對(duì)著更多的不確定性，當(dāng)學(xué)生在建構(gòu)數(shù)學(xué)概念以及尋求數(shù)學(xué)概念之間的聯(lián)系時(shí)，往往正是借助于數(shù)學(xué)運(yùn)算來解決問題的. 因此更多地重視數(shù)學(xué)運(yùn)算的這種價(jià)值，并且培養(yǎng)起學(xué)生熟練掌握數(shù)學(xué)運(yùn)算技巧的能力，對(duì)于促進(jìn)學(xué)生提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力與品質(zhì)來說，將是一件非常有意義的事情.

綜上所述，高中數(shù)學(xué)教學(xué)要充分認(rèn)識(shí)并且努力發(fā)掘數(shù)學(xué)運(yùn)算的價(jià)值，要努力使其成為數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)培育的有機(jī)組成部分.