陸建

[摘 ?要] 文章以二項式定理教學為例，從情境導入，自然生成定理;理性證明，深度理解定理;多元建構，豐富定理認知;正逆互用，穩(wěn)固知識結構;總結反思，升華學習認識等五個環(huán)節(jié)入手，幫助學生建立CPFS結構，并提出了兩點教學建議.

[關鍵詞] CPFS結構;數(shù)學命題教學;歸納;演繹;推理論證

南師大喻平教授在文[1]中提出了CPFS結構理論，個體CPFS結構是指學生頭腦中的知識網(wǎng)絡，是數(shù)學學習中學生特有的認知結構. 它包含下列四個概念：概念域（Concept field），概念系（Concept system），命題域（Proposition field），命題系（Proposition system）. CPFS是取概念、命題、域、系四個關系單詞的首字母組成的一個簡單標記，實際上CPFS結構是由這四者相互交織、共同作用而形成的認知結構. 相關研究指出，CPFS結構對學生的數(shù)學理解、學習、遷移、探究問題、解決問題的能力都會產生直接的正面影響[1].

依據(jù)CPFS結構的相關理論，對于數(shù)學公式、定理、法則等數(shù)學命題的教學，我們應該努力幫助學生建構命題域和命題系，并加以完善，促進關于數(shù)學命題知識網(wǎng)絡的形成. 二項式定理教學屬于數(shù)學命題教學，應在CPFS結構理論指導下，突出定理的獲得、證明、應用的教學，注重推理論證能力的培養(yǎng)，多角度揭示定理的結構特征，幫助學生形成命題域和命題系、完善CPFS結構. 下面給出二項式定理的教學設計和反思，敬請批評指正.

二項式定理的教學設計

1. 情境導入，自然生成定理

在學習二項式定理之前，學生已經掌握了（a+b）2，（a+b）3，甚至（a+b）4的展開式，并且學習了兩個計數(shù)原理和排列組合知識，這些內容是二項式定理知識的生長點. 因此教學應以上述已有知識為固著點，讓學生通過觀察、比較、分析、歸納、猜想等思維活動，充分經歷二項式定理的形成過程，聚焦知識聯(lián)系，積累活動經驗，為形成命題域與命題系建立認知基礎.

問題1：今天是星期三，9天后是星期幾？92天后呢？93天后呢？9100天后呢？

活動預設：學生不難得到，只要將經過的天數(shù)除以7，看所得的余數(shù)，就可以判斷出是星期幾了. 但對9100，因無法計算出具體值，學生陷入困惑，產生認知沖突. 此時教師啟發(fā)學生，可把9100轉化成與7有關的式子，即9100=（7+2）100，學生應該能夠想到（7+2）100展開后，很多項與7有關，但具體到哪些項含因數(shù)7，哪些不含，還不很清楚. 接著教師順勢指出，要想搞清楚（7+2）100展開式的具體情況，必須要用到二項式定理，這就是我們今天要學習的內容. 同時教師簡要介紹：二項式定理是牛頓在1664年提出的，也叫牛頓二項式定理，它是關于兩個數(shù)和的正整數(shù)方冪的等式，即是關于（a + b）n（n∈N+）展開式的等式.

設計意圖：利用生活中的實例，創(chuàng)設情境，引起懸念，激發(fā)認知沖突，產生研究二項式定理的必要性. 同時開門見山、直奔主題，自然地揭示課題，進入下一階段的學習研究.

問題2：二項式定理研究的是（a+b）n（n∈N+）的展開式，根據(jù)以往的經驗，你覺得可以怎樣研究？

活動預設：學生應該能想到從n的特殊值（n=2，3，4）入手，觀察、分析展開式的共同特點，遵循從特殊到一般、從具體到抽象的思維策略，猜想（a+b）n展開式的大致構成.

（a+b）2=a2+2ab+b2，

（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3，

（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4.

問題3：上面三個展開式有什么共同的特點？

活動預設：學生先獨立思考，再交流想法，教師啟發(fā)引導. 這三個等式的左邊都是相同因式自乘的二項式，其展開式一定有共同的規(guī)律，那么從哪里尋找呢？因為多項式乘多項式的結果是多項式，所以分析展開式的特點，應著眼于項、項數(shù)、次數(shù)、系數(shù)等多項式概念的要素進行歸納概括，可以得到下列四個共同特點：從“項數(shù)”看，展開式的項數(shù)等于冪指數(shù)加1;從“次數(shù)”看，每一項的次數(shù)都等于冪指數(shù);從“排列規(guī)律”看，展開式按字母a降冪排列且按字母b升冪排列;從“系數(shù)”看，每一項的系數(shù)都可以用組合數(shù)表示. 對于最后兩點，學生比較難發(fā)現(xiàn)，需要教師適度啟發(fā)幫助，才能完成歸納發(fā)現(xiàn)的任務.

問題4：你能猜想，并寫出（a+b）n（n∈N+）的展開式嗎？

有了前面的探究鋪墊，學生經過合理猜想、嘗試修正，可以得到下列等式：

（a+b）n=Can+Can-1b+Can-2b2+…+Cabn-1+Cbn

設計意圖：命題學習一般有兩種方式，一種方式是命題的形成，即學習者通過考察命題的特例，進行分析歸納，逐步抽象概括出新命題;另一種是命題的同化，即學習者直接認識要學習的新命題，同時改組和加工原有的認知結構，適應和接納新命題，從而形成新的認知結構. 二項式定理的獲得，采取第一種方式更符合學生的認知現(xiàn)實，通過問題2、問題3，引導學生考察特例，分析共同本質特征，再猜想二項展開式，從而追溯命題生成的過程，使二項式定理自然地產生. 這樣的學習過程符合學生的認知規(guī)律，滲透特殊和一般的數(shù)學思想，發(fā)展了數(shù)學抽象的核心素養(yǎng).

2. 理性證明，深度理解定理

二項式定理的生成是從特殊情況入手，通過歸納猜想獲得的，必須經過嚴格的證明，才能肯定其正確性. 教學中，我們要挖掘與之相關聯(lián)的知識，發(fā)揮理性思維的力量，多角度探究證明的方法，促進學生深度理解定理，形成和完善相關的命題域和命題系.

問題5：在你所猜想的（a+b）n的展開式中，為什么系數(shù)會是組合數(shù)？它和組合知識有什么樣的聯(lián)系？

這個問題認知難度比較大，學生解決起來有困難，于是教師可引導學生思考（a+b）4=（a+b）（a+b）（a+b）（a+b）的展開式的構成特點，并進行下列追問：

追問1：在（a+b）4展開式中，若不合并同類項，則有多少項？為什么？

如果學生感到困難，可由（a+b）2=（a+b）（a+b）=a2+ab+ba+b2入手，啟發(fā)學生思考（a+b）2的項是怎么形成的，引導學生發(fā)現(xiàn)：要完成“展開（a+b）4”這件事，可按下列步驟來完成，即分別從（a+b）·（a+b）（a+b）（a+b）的每個括號中各取一個字母相乘，再將所得結果相加，根據(jù)分步計數(shù)原理，展開式共有24=16項.

追問2：展開式各項的次數(shù)是多少？

展開式各項的次數(shù)為4.

追問3：合并同類項后，展開式有哪些不同的項？它們是怎樣形成的？

追問4：合并同類項后，各項系數(shù)是多少？

展開式含有a4，a3b，a2b2，ab3，b4的項，其中4個括號中每個都不取b的情況有C種，所以a4系數(shù)為C;恰有1個取b的情況有C種，所以a3b的系數(shù)為C;恰有2個取b的情況有C種，所以a2b2的系數(shù)為C;恰有3個取b的情況有C種，所以ab3的系數(shù)為C;都取b的情況有C種，所以b4的系數(shù)是C.

于是，經過合并同類項后必有（a+b）4=Ca4+Ca3b+Ca2b2+Cab3+Cb4，至此學生明白了，組合數(shù)C（r=0，1，2，3，4）原來是從4個括號中選取r個b相乘的方法數(shù).

問題6：根據(jù)剛才的討論，你能證明你的猜想嗎？

因為在問題5中，學生已對（a+b）4的展開式中項的構成、系數(shù)的特點進行了充分的思考和討論，所以能夠較順利地從“組合”的角度進行二項式定理的證明，接著教師進行追問：

追問：還有其他的方法證明二項式定理嗎？

活動預設：讓學生先獨立思考，再小組合作探究，交流展示各組的成果. 由于這是一個與正整數(shù)有關的命題，學生不難想到，可以用數(shù)學歸納法來證明，但由假設n=k時命題成立過渡到證明n=k+1時命題成立，學生肯定會遇到困難，教師要出手幫助，特別是在n=k與n=k+1時等式兩邊的聯(lián)系與比較，以及如何利用歸納假設上，要做到啟發(fā)到位、引導得體.

事實上，假設當n=k時，有

（a+b）k=Cak+Cak-1b+Cak-2b2+…+Cabk-1+Cbk，那么，當n=k+1時，（a+b）k+1=（a+b）k·（a+b）=（Cak+1+Cakb+Cak-1b2+…+Ca2bk-1+Cabk）+（Cakb+Cak-1b2+Cak-2b3+…+Cabk+Cbk+1）

=Cak+1+（C+C）akb+（C+C）·ak-1b2+…+（C+C）abk+Cbk+1

=Cak+1+Cakb+Cak-1b2+…+Cabk+Cbk+1，定理得證.

設計意圖：二項式定理的證明比較難，也很抽象，但卻是發(fā)展學生邏輯推理素養(yǎng)、提升推理論證能力的好素材，教學中應高度重視，不可輕輕帶過. 本環(huán)節(jié)，通過問題5，讓學生思考展開式中的系數(shù)為何是組合數(shù)？這個組合數(shù)是哪里來的？有效地攻克了難關，明確了論證方向，為學生順利獲證定理搭建了“腳手架”. 解決問題6時，采用學生自主探究、合作交流，教師啟發(fā)引導相結合的學習方式，借助師生的群體智慧、合作攻關，有效地突破了式子抽象、運算復雜的難點.

3. 多元建構，豐富定理認知

在經過比較、歸納、猜想、論證等一系列思維活動后，定理初見雛形，學生已將定理納入認知結構中. 但對定理的認識仍處于模糊、狹窄的狀態(tài)，此時需要對定理進行概念建構、特點分析、適度變式，擴展業(yè)已形成的命題域，豐富定理的認知.

首先，建構二項式定理及其相關概念：

一般地，對于n∈N+有（a+b）n=Can+Can-1b+…+Can-rbr+…+Cbn，把這個公式叫作二項式定理，右邊的多項式叫作（a+b）n的二項展開式;把Can-rbr叫作二項展開式的第r+1項，也叫作通項，記作T，即T=Can-rbr;把其中的組合數(shù)C（r=0，1，2，…，n）叫作第r+1項的二項式系數(shù).

然后，提出下列問題：

問題7：二項展開式有什么特點？

活動預設：在問題3中已解決過類似的問題，受已有經驗的啟發(fā)，學生應該能輕松地從項數(shù)、次數(shù)、系數(shù)、排列規(guī)律等方面予以總結.

問題8：試嘗試寫出（a-b）n，（1+x）n，（1-x）n的展開式.

活動預設：在（a+b）n的展開式中，以-b代換b;再令a=1，且以x或-x代換b就可以寫出相應的展開式. 由于學生初次接觸二項式定理，雖然對變量代換的思想和賦值法并不陌生，但在寫相應的展開式時，可能不夠熟練，速度也不快.

設計意圖：二項式定理整體結構復雜、形式抽象，但又具明顯的認知特點，只要抓住了通項及其構成，認識二項展開式即可做到“小中見大”“管中窺豹”. 因此界定通項及二項式系數(shù)等概念，有利于學生化整體為局部，從細節(jié)方面理解二項式定理，從而減輕認知負擔. 深刻理解二項展開式的特點是寫出二項展開式和識別一個式子是否是二項展開式的關鍵，所以在問題3的基礎上設計了問題7，進行歸納推理、拓展推廣. 問題8中的（a-b）n及（1±x）n的展開式在今后的學習中經常用到，必須熟練掌握，而其中蘊含的賦值法和變量代換思想更是重要的數(shù)學思想方法，不可偏廢.

4. 正逆互用，穩(wěn)固知識結構

通過前面三個環(huán)節(jié)的學習，學生已初步形成關于二項式定理的命題域和命題系，此時需圍繞上述知識網(wǎng)絡中的相關結點設計問題，強化二項式定理的應用，達到固化知識結構的目的. 常見的應用有：展開特定的二項式或識別二項展開式，以鞏固二項式定理的結構特征;求二項展開式中的特定項，以鞏固理解通項的概念;求二項展開式中的項、項的二項式系數(shù)、項的系數(shù)，以辨別易混的三個概念;求近似值或證明整除性問題，要求合理構造二項式，并分析展開式的特點等等.

問題9：利用二項式定理展開下列各式

設計意圖：二項式定理的應用比較廣泛，不可能在一節(jié)課內完成，因此本節(jié)課只安排上述2個問題，對二項式定理進行正用和逆用，幫助學生進一步掌握二項展開式的特點，鞏固二項式定理的認知，問題比較簡單，學生應該能獨立獲解.

5. 總結反思，升華學習認識

經過命題的獲得、證明、應用等階段后，學生對二項式定理的理解逐步提升，但是還處于初級階段. 此時應進行學習過程的反思總結，對學習的知識內容進行回頭望，感受不一樣的理解，同時對數(shù)學活動經驗進行抽象概括，并上升到數(shù)學思想方法和一般觀念的層面，優(yōu)化形成的認知圖式，從而完善CPFS結構.

問題11：本節(jié)課學習了哪些知識內容？請你回憶并敘述.

問題12：回望今天的學習過程，你有什么體會？

活動預設：學生思考敘述，教師補充完善，形成下列共識：

從特殊到一般、化抽象為具體是認識數(shù)學對象、發(fā)現(xiàn)數(shù)學規(guī)律的常規(guī)方法;聯(lián)系已有知識是認識、理解新的數(shù)學對象的基本途徑;善于觀察、善于分析、大膽猜想、小心求證是數(shù)學發(fā)現(xiàn)的有效手段.

設計意圖：通過回顧學習的知識內容及方法策略，使學生能夠重新審視當前的學習，站在更高的視角認識自己的學習過程，獲得方法論的指導，形成更緊密的知識結構. 待到二項式定理應用教學結束后，再引導學生總結二項式定理的知識網(wǎng)絡結構圖（如圖1），將相關知識點清晰地聯(lián)系在一起，有利于把復雜的信息壓縮成更細的信息單元，方便學習者記憶保持和遷移運用.

兩點教學思考

1. 厚實學習過程，完善CPFS結構

在CPFS結構中，數(shù)學命題等知識點處于網(wǎng)絡結點的位置，而結點之間的連線常包含重要的數(shù)學思想方法，知識與方法的復合就形成了關于命題的知識網(wǎng)絡結構. 因此形成和完善命題域和命題系的基本途徑是增加命題結點的數(shù)量和豐富命題之間的方法連線，而要做到“增加結點，豐富連線”，必須厚實命題的學習過程，使定理的探究發(fā)現(xiàn)有厚度、拓展證明有寬度、思維訓練有深度，切實改變過去定理教學“重結果輕過程”“定理教學草草收場，習題訓練勿忙登場”的狀況，使學生充分經歷厚重而扎實的定理探究過程，重走定理發(fā)現(xiàn)之路，感受數(shù)學家當初的困惑，再現(xiàn)定理背后火熱的思考. 本節(jié)課先從（a+b）2，（a+b）3，（a+b）4的展開式入手，分析比較、概括歸納共同結構特征，猜想（a+b）n的展開式，利用組合知識和數(shù)學歸納法證明二項式定理;再利用變量代換法和賦值法書寫（1±x）n與（a-b）n的展開式;最后通過介紹相關概念，分析二項展開式特征，正用、逆用二項式定理，進一步完善已形成的定理體系，使學生對定理的認識不斷擴容、逐漸豐滿，有效地展現(xiàn)了知識的關聯(lián)性、整體性、邏輯性. 在這個過程中，學生的CPFS結構不斷生長、逐漸完善.

2. 發(fā)揮推理力量，優(yōu)化核心素養(yǎng)

章建躍博士指出：“推理是數(shù)學的命根子、運算是數(shù)學的童子功”，推理論證能力是學生理解數(shù)學、運用數(shù)學、學好數(shù)學的關鍵能力. 因此命題教學中，要把培養(yǎng)學生推理論證能力、發(fā)展邏輯推理核心素養(yǎng)作為主要任務，通過研究命題的來龍去脈，使學生學會推理的基本套路，形成有論據(jù)、有條理、合乎邏輯的思維習慣和理性、嚴謹?shù)乃急婺芰? 本節(jié)課中，我們首先運用歸納推理，從特殊到一般，猜想出（a+b）n的展開式;再從一般到特殊，運用演繹推理得到（1±x）n與（a-b）n的展開式;而運用組合定義和數(shù)學歸納法證明二項式定理，彰顯了數(shù)學邏輯演繹的力量和嚴謹理性的精神. 在二項式定理的學習過程中，歸納推理和演繹推理聯(lián)手作用，推動思維活動的展開，使學生經歷了深刻的思維訓練和完美的頭腦風暴，推理論證能力和數(shù)學核心素養(yǎng)得到了實實在在的發(fā)展和提升.

參考文獻：

[1] ?喻平. 數(shù)學學習心理的CPFS結構理論[M]. 南寧：廣西教育出版社，2008.