鄧皓月 仲秀英

[摘 ?要] 數(shù)學抽象是在具體情境中從數(shù)量關(guān)系與空間形式的角度抽象出數(shù)學對象.數(shù)學抽象的結(jié)果反映出不同水平的數(shù)學抽象素養(yǎng). 彰顯數(shù)學知識的形成與應用全過程，有助于培養(yǎng)學生的數(shù)學抽象素養(yǎng).

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學抽象;數(shù)學應用;數(shù)學抽象素養(yǎng)

數(shù)學抽象素養(yǎng)在人的數(shù)學學習、理性思考、智力發(fā)展、科學探究和實踐應用中具有重要的作用，培養(yǎng)學生的數(shù)學抽象素養(yǎng)是基礎教育數(shù)學教學的重要任務. 了解數(shù)學抽象的基本過程，明晰數(shù)學抽象的結(jié)果與數(shù)學抽象素養(yǎng)的水平，能為培養(yǎng)學生數(shù)學抽象素養(yǎng)的教學提供參考依據(jù).

數(shù)學抽象的基本過程

數(shù)學是研究現(xiàn)實世界空間形式和數(shù)量關(guān)系的學科，數(shù)學知識是由表達空間形式和數(shù)量關(guān)系及其特點的數(shù)學概念、公式、法則、性質(zhì)與思想方法組成的.哲學家康德認為人類的一切知識都從直觀開始[1]，數(shù)學知識的形成亦如此，始于直觀，成于抽象. 通過觀察直觀事物或現(xiàn)象，發(fā)現(xiàn)其規(guī)律、特點、屬性，得到符號化、形式化對象，建構(gòu)出數(shù)學概念、公式、法則等數(shù)學知識，這是一種“直觀化”的數(shù)學抽象. 例如，畢達哥拉斯在參加宴會時，偶然發(fā)現(xiàn)地磚之間的數(shù)量關(guān)系，從而得到所有的直角三角形斜邊的平方都等于兩直角邊平方之和，形成勾股定理，這就是建立在直觀經(jīng)驗基礎之上的抽象，可以稱之為“直觀化”抽象.通過對已經(jīng)抽象出的數(shù)學符號、公式與法則等進行拓展與延伸得到更形式化的對象，是一種“形式化”抽象. 例如，將勾股定理進一步延伸可以得勾股數(shù)組及其性質(zhì)、不定方程x2+y2=z2，xn+yn=zn等數(shù)學模型，這是建立在對對象表達形式化、符號化基礎之上的抽象.兩種形態(tài)的數(shù)學抽象的基本過程都包括了感知對象、探索發(fā)現(xiàn)、概括共性與形成數(shù)學模型等四個基本環(huán)節(jié).數(shù)學抽象是形成理性思維的重要基礎，直觀化抽象基于經(jīng)驗直觀，形式化抽象基于一定的邏輯推理，但兩者都是從形和量及其關(guān)系的角度抽取研究對象的本質(zhì)屬性以建構(gòu)數(shù)學知識的過程，數(shù)學知識是數(shù)學抽象的結(jié)果，反映了數(shù)學的本質(zhì)特征.

數(shù)學抽象的基本結(jié)果

通過對研究對象的形和量及其關(guān)系的抽象，其結(jié)果在數(shù)學上主要表現(xiàn)為數(shù)學概念、數(shù)學命題、數(shù)學思想方法、問題解決模型等基本形式.

數(shù)學概念是對事物或現(xiàn)象的規(guī)律、性質(zhì)和特點的高度概括，具有高度抽象性、邏輯性與系統(tǒng)性[2]. 它的產(chǎn)生和形成有兩種基本途徑：其一是基于對現(xiàn)實事物或者現(xiàn)象的觀察、分析，概括出本質(zhì)屬性，形成概念;其二是對已有的概念進一步限制或者拓展，得到新概念. 形成數(shù)學概念一般包括感知情境、發(fā)現(xiàn)共性、概括本質(zhì)屬性、給概念下定義等四個基本環(huán)節(jié).

與數(shù)學概念類似，數(shù)學命題也是數(shù)學抽象的結(jié)果. 數(shù)學命題是數(shù)學定理、公式、法則的統(tǒng)稱. 數(shù)學命題的形成也表現(xiàn)為兩種基本途徑：一是在具體情境中，通過對問題的探索與發(fā)現(xiàn)，抽象出關(guān)于某個研究對象的性質(zhì)或判斷，形成命題;二是在已有命題基礎之上，對這些命題進行分析和演繹，提出一個新的命題.形成數(shù)學命題的過程可以概括為問題情境、提出猜想、驗證猜想、形成命題等四個基本環(huán)節(jié).

在運用數(shù)學概念和數(shù)學命題的過程中，蘊含了豐富的數(shù)學思想方法，形成了諸多的數(shù)學模型，例如數(shù)學中的化歸思想、轉(zhuǎn)化思想、方程思想、函數(shù)思想以及具體的問題解決模型等. 這些方法、思想和數(shù)學模型反過來又在數(shù)學抽象的過程中發(fā)揮著作用，影響著人們的思維與決斷.

數(shù)學抽象素養(yǎng)的水平

數(shù)學抽象的類型不同，抽象的結(jié)果也不盡相同.不同的結(jié)果反映出不同水平的數(shù)學抽象素養(yǎng). 例如，從運動變化的觀點出發(fā)，在直觀的情境中抽象出函數(shù)概念：“在一個變化過程中，有兩個變量x和y，如果對于x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與其對應，那么就稱y是x的函數(shù).”這是用變量的觀點定義函數(shù)，反映出借助直觀情境建構(gòu)數(shù)學知識的數(shù)學抽象素養(yǎng).從集合與映射的觀點出發(fā)，運用對應的觀點定義函數(shù)：“設A，B是兩個非空集合，按照確定的對應關(guān)系f，如果對于集合A中任意一個x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f（x）和它對應，則稱f是從集合A到B集合的函數(shù)”，這是在多個概念之間建構(gòu)出內(nèi)在的數(shù)學關(guān)系，能反映出相關(guān)概念之間的邏輯聯(lián)系，是一種形式化抽象.顯然，后者的抽象程度更高，所體現(xiàn)的數(shù)學抽象素養(yǎng)也更高.數(shù)學抽象程度的高低，反映出數(shù)學抽象素養(yǎng)的高低.

《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）》[3]中對數(shù)學抽象素養(yǎng)從情境、知識、技能和應用”四個方面進行了水平劃分（見表1），成為目前我國數(shù)學教育工作者評判學生數(shù)學抽象素養(yǎng)發(fā)展的重要依據(jù).

培養(yǎng)數(shù)學抽象素養(yǎng)的教學舉措

數(shù)學抽象素養(yǎng)是指在具體情境中能夠從數(shù)量關(guān)系與空間形式的角度抽象出數(shù)學對象，并能應用數(shù)學知識與數(shù)學技能進行解釋與應用的關(guān)鍵能力.

表1中數(shù)學抽象素養(yǎng)呈現(xiàn)出的不同水平表明，數(shù)學抽象素養(yǎng)是在不同情境中抽象、解釋與應用數(shù)學知識和數(shù)學技能時加以體現(xiàn)并逐步養(yǎng)成的. 數(shù)學抽象素養(yǎng)的養(yǎng)成依托于情境，是一個不斷經(jīng)歷抽象、反省抽象的過程，是個體在數(shù)學建構(gòu)、數(shù)學理解、數(shù)學應用、數(shù)學思維、數(shù)學發(fā)現(xiàn)的過程中反復修煉、自主生成數(shù)學經(jīng)驗，形成數(shù)學知識的過程，也是對數(shù)學知識不斷積累、自我反省、反復練習的過程[4]. 因此，彰顯數(shù)學知識的形成與應用全過程，遵循數(shù)學抽象產(chǎn)生與應用的內(nèi)在機制，按照感知情境、數(shù)學探究、適度形式化、數(shù)學應用的環(huán)節(jié)進行教學，讓學生經(jīng)歷數(shù)學知識發(fā)生、形成與應用的全過程，有助于培養(yǎng)學生的數(shù)學抽象素養(yǎng).

1. 感知情境：創(chuàng)設適于數(shù)學抽象的環(huán)境

數(shù)學知識是數(shù)學研究者在特定的環(huán)境下數(shù)學抽象的結(jié)果，其存在的形式往往已經(jīng)剝離了原有的具體情境而顯現(xiàn)出符號化、形式化的特征. 如果直接呈現(xiàn)這些知識，學生不僅難以理解與接受，也缺失了抽象素養(yǎng)養(yǎng)成的環(huán)境基礎. 創(chuàng)設一個有利于學生進行數(shù)學抽象和運用數(shù)學抽象的情境，是培養(yǎng)學生數(shù)學抽象素養(yǎng)的基本前提.

從數(shù)學知識的形成過程可以發(fā)現(xiàn)，數(shù)學抽象的情境主要有現(xiàn)實情境、數(shù)學情境、文化情境三種基本類型. 能夠促進學生進行數(shù)學抽象的現(xiàn)實情境往往是學生熟悉的、感興趣的、有意義的生活情境. 例如在初中黃金分割教學中，可以學生熟悉的斷臂維納斯圖片為例，固定維納斯的身高，創(chuàng)設一個通過幾何畫板不斷改變維納斯上半身長與下半身長變化的情境，讓學生在感知情境的變化中抽象出“比”“黃金分割比”“黃金分割數(shù)”等概念. 教師教學中，假定肚臍點以上為上半身，肚臍點以下為下半身，運用幾何畫板，上下拖動維納斯的肚臍點，維納斯的上半身與下半身的長度隨著點的拖動不斷變化. 學生在這樣動態(tài)的情境中感受維納斯美感的變化，認識到維納斯從美到不美的原因是上下身長的“比”值在變化，抽象出從“比”的角度去刻畫維納斯美的變化，進而認識到當比值在某一固定值時，維納斯才具有美感，從而抽象出黃金分割比和黃金分割數(shù)的概念. 當學生知道黃金分割數(shù)之后，又可以創(chuàng)設具有現(xiàn)實意義的情境讓學生進行解釋與應用，例如創(chuàng)設在一棟30層樓高的大廈買一套理想樓層的房子，應該選擇多少層的問題情境，或者創(chuàng)設在某景點的一座塔上修建一個觀光臺，請學生建議如何確定觀光臺位置的情境，引導學生將情境中的問題抽象為求線段的黃金分割點的問題. 學生主動探究并對新學概念加以解釋與應用的過程，有助于數(shù)學抽象素養(yǎng)的培養(yǎng).

能夠促進學生數(shù)學抽象的數(shù)學情境往往是學生在學過的數(shù)學知識的基礎上發(fā)現(xiàn)新問題的情境. 這種情境可以是對原有的現(xiàn)實情境進行變式，也可以是純粹從數(shù)學知識內(nèi)部提出問題的情境. 例如，教學“圓”的定義可以創(chuàng)設的現(xiàn)實情境是在一個平面上，固定一根細繩的一個端點，拉直這根細繩，探究另一個端點在這個平面上繞著前一個端點旋轉(zhuǎn)一周形成的圖形. 將此情境進行變式：在一個平面上有一根細繩，固定這根細繩的兩個端點，用一支鉛筆在這個細繩中間的任一點拉直這根細繩并旋轉(zhuǎn)一周，探究該點形成的軌跡，這就創(chuàng)設了探究橢圓定義的數(shù)學問題情境.學生在探究過程中逐漸抽象出“平面上，一個動點，兩個定點，動點的軌跡，動點到兩個定點距離和為定值，動點到兩個定點距離和與兩個定點之間的距離之間的關(guān)系”等數(shù)學屬性，從而抽象出橢圓的概念. 當然，也可以直接類比圓的定義創(chuàng)設數(shù)學問題情境，在圓錐曲線教學伊始，教師可以提問：如果平面上到一定點的距離為定值的點的軌跡是圓，那么平面上到兩個定點距離的和、差、積、商為定值的點的軌跡分別是什么？這樣就創(chuàng)設了探究橢圓、雙曲線以及其他圖形的數(shù)學問題情境，學生可以在這樣的問題情境中直接抽象出變化的量和不變的量及其之間的關(guān)系，建構(gòu)新的數(shù)學概念.

數(shù)學知識在形成的過程中不乏很多具有教育意義的數(shù)學史料和數(shù)學故事. 能夠促進學生進行數(shù)學抽象的文化情境主要是指將具有啟發(fā)意義的數(shù)學史、數(shù)學故事作為情境，以及以與其他學科相聯(lián)系為特征的情境，例如通過講解畢達哥拉斯學派與第一次數(shù)學危機產(chǎn)生的背景，創(chuàng)設出“無理數(shù)”概念教學的情境;引入李白詩句“孤帆遠影碧空盡，唯見長江天際流”，創(chuàng)設出“極限”概念教學的情境;引入古語“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”，創(chuàng)設出“無窮小”概念教學的情境等等. 這種蘊含了數(shù)學關(guān)系能夠引起學生情感共鳴的文化情境，有助于激發(fā)學生用數(shù)學的語言去表達情境，用數(shù)學的知識和技能去思考與探究情境.

2. 數(shù)學探究：經(jīng)歷知識形成與抽象的全過程

好的情境能夠有效激發(fā)學生的好奇心和求知欲，數(shù)學探究便是滿足好奇心與求知欲的主要數(shù)學活動.數(shù)學探究是學生針對情境中的現(xiàn)象或問題，運用數(shù)學符號進行表達、運用數(shù)學技能進行思考、計算、作圖、假設、猜想、推理與證明的數(shù)學活動. 數(shù)學探究并非是一個獨立的教學活動，它是數(shù)學教學過程中的一個基本環(huán)節(jié)，它和情境相銜接. 情境是探究的前提，例如，黃金分割教學設計中，在教師呈現(xiàn)給學生舉世聞名的雕塑——斷臂的維納斯的圖片的情境中，提出“若維納斯的高度不變，將其腿部拉長或縮短，則這幅圖是否還美”的問題，會促使學生產(chǎn)生好奇心并主動去探究. 學生通過觀察、試驗后發(fā)現(xiàn)，假設維納斯頭頂用點A表示，腳底用點B表示，維納斯的身高就可用線段AB表示，以圖片中維納斯的肚擠為分割點，記為點C，這樣維納斯被分成了上半身AC和下半身BC，假設AB=1，BC=x（x>0），則AC=1-x，通過探究與對比，發(fā)現(xiàn)斷臂維納斯最美時上半身和下半身的比例滿足=，代入未知量，列出等式=，解得x=≈0.618. 由此，在用線段表示維納斯身高、建立等式尋求最美比值的探究活動中，黃金分割點、黃金分割比、黃金分割數(shù)等概念呼之欲出.

3. 適度形式化：表征數(shù)學抽象的結(jié)果

形式化是指將抽象出的結(jié)論、規(guī)則用數(shù)學語言、符號加以表述.形式化是數(shù)學抽象中重要的一步，通過探究活動所得到的特征、關(guān)系、規(guī)律、性質(zhì)等內(nèi)容，經(jīng)過“形式化”處理，轉(zhuǎn)變成某個數(shù)學概念、公式、法則、定理或者某個問題解決模型，從而具有了數(shù)學形態(tài). 例如在黃金分割教學過程中，學生探索維納斯上半身與下半身長度的比例關(guān)系其實就是線段AB上有一個點C，使得=，這就得到了分割比，設AB長度為1，得到AC∶BC=≈0.618，這就是分割數(shù)，線段AB被點C分割，所以點C為分割點.由于此比例下的物體在視覺上給人一種舒適的美感，故這個數(shù)被公認為最具審美意義比例的數(shù)字，像黃金一樣珍貴. 在此基礎上，世人將滿足=的比稱為黃金分割比，將或0.618稱為黃金分割數(shù)，C點稱為線段AB的黃金分割點.

4. 數(shù)學應用：數(shù)學抽象素養(yǎng)培養(yǎng)的核心載體

經(jīng)歷知識的形成過程，能在相關(guān)情境中抽象出數(shù)學概念與數(shù)學命題，這僅是數(shù)學抽象素養(yǎng)形成與體現(xiàn)的中間層次. 能在綜合的情境中抽象出數(shù)學問題，創(chuàng)造性地使用數(shù)學方法解決問題，并能用數(shù)學語言解釋社會和自然現(xiàn)象，這是形成較高水平數(shù)學抽象素養(yǎng)的體現(xiàn)和保障，也是培養(yǎng)學生數(shù)學抽象素養(yǎng)的高層次教學目標. 從數(shù)學抽象素養(yǎng)不同水平要求的描述中可以發(fā)現(xiàn)，情境、抽象出數(shù)學問題、應用數(shù)學方法、應用數(shù)學語言成了關(guān)鍵詞組. 其中，“數(shù)學應用”將這些關(guān)鍵詞組有機地結(jié)合在一起，從而“數(shù)學應用”成了培養(yǎng)和評價學生數(shù)學抽象素養(yǎng)的核心載體，也是培養(yǎng)學生數(shù)學抽象素養(yǎng)的基本途徑. 數(shù)學應用是指在具體情境中用數(shù)學知識、數(shù)學思想與數(shù)學方法解決具體問題的過程. 在此過程中，個體需要不斷地對已有的數(shù)學知識與技能進行反省、抽象與重組，抽象出更一般的解題方法或問題解決模型，最終使問題得到解決. 例如，要在一座塔上找到修建觀光臺的黃金位置，如何去尋找這個黃金位置呢？由于黃金分割數(shù)是一個無理數(shù)，在現(xiàn)實情境中精確找到黃金分割點并不容易，這就需要學生對黃金分割數(shù)從代數(shù)結(jié)構(gòu)上分析其幾何意義. 欲構(gòu)造黃金分割數(shù)，只需要構(gòu)造出-1;要構(gòu)造-1，就得構(gòu)造. 該如何去構(gòu)造這個無理數(shù)呢？我們知道直角邊的邊長分別為2和1的直角三角形其斜邊為. 現(xiàn)在將塔頂端到塔底部看作線段AB，設AB為2個單位長度，作AD垂直于AB且長度為1個單位，連接BD，便構(gòu)造出了BD等于. 以D為圓心、DA為半徑作弧，交BD于點E，便在BD上截取出了BE等于-1. 此時如何將相關(guān)數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化到線段AB上呢？以B為圓心，BE為半徑作弧，交AB于點C，得到BC的長度為-1，AC的長度為3-. 現(xiàn)在，線段AC的長比上線段BC的長的值等于線段BC的長比上線段AB的長的值，為黃金分割數(shù)，由此方法找到的點C即為黃金分割點. 其實，這種作圖方法最早是由古希臘數(shù)學家海倫發(fā)現(xiàn)并抽象出來的，因此，該方法又被稱為海倫作圖法. 海倫作圖法將數(shù)轉(zhuǎn)化為形，是數(shù)形結(jié)合思想的完美體現(xiàn).

參考文獻：

[1] ?康德. 純粹理性批判[M]. 鄧曉芳，譯. 北京：人民教育出版社，2004.

[2] ?林京榕，陳清華，董濤. 數(shù)學抽象素養(yǎng)培養(yǎng)策略[J]. 數(shù)學通報，2020， 59（02）：19-22.

[3] ?中華人民共和國教育部. 普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）[S]. 北京：人民教育出版社，2020.

[4] ?趙思林. 數(shù)學核心素養(yǎng)的培養(yǎng)策略[J]. 數(shù)學通報，2019，58（05）：28-32.