王松華 趙世安 袁功林 劉雙花

（1.百色學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，廣西 百色 533000 2.廣西大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，廣西 南寧 530004）

0 引言

2018年陳寶生在新時(shí)代中國(guó)高等學(xué)校本科教育工作會(huì)議首次提出建設(shè)大學(xué)“金課”的要求[1]，隨后教育部首次正式使用“金課”概念，要求高校全面梳理課程教學(xué)內(nèi)容，淘汰“水課”、打造“金課”；同年年底吳巖解讀了建設(shè)中國(guó)“金課”，其是具有高階性、創(chuàng)新性和挑戰(zhàn)度的一流課程；著力打造線下“金課”、線上“金課”、線上線下混合式“金課”、虛擬仿真“金課”和社會(huì)實(shí)踐“金課”等五大“金課”[2]。線性代數(shù)是高等理工類學(xué)科和經(jīng)濟(jì)管理類學(xué)科的專業(yè)基礎(chǔ)課，旨在培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力和抽象思維能力，是學(xué)習(xí)各類專業(yè)后續(xù)課程的基礎(chǔ)，其理論結(jié)構(gòu)廣泛應(yīng)用于自然科學(xué)和工程技術(shù)的各項(xiàng)領(lǐng)域[3]。矩陣的初等變換是線性代數(shù)一類的代數(shù)運(yùn)算，在逆矩陣、矩陣的秩、向量組線性相關(guān)、線性方程組等具體線性代數(shù)問題上有著重要應(yīng)用。一些學(xué)者以矩陣的初等變換為主線，提出頗有成效的教學(xué)改革策略[4，5]，研究說明，矩陣的初等變換在線性代數(shù)中具有理論與應(yīng)用的重要意義。

1 BOPPPS混合式教學(xué)模式

以下闡述的BOPPPS教學(xué)模式和混合式教學(xué)模式的理論特征，充分契合了大學(xué)公共課“金課”的標(biāo)準(zhǔn)和內(nèi)涵。

1.1 BOPPPS模式

加拿大教師技能培訓(xùn)（ISW）采用的BOPPPS教學(xué)模式以教學(xué)目標(biāo)達(dá)成為核心，構(gòu)建了引言B（Bridgein）、教學(xué)目標(biāo)O（Objective）、摸底P（Pre-assessment）、參與式互動(dòng)教學(xué)P（Participatory Learning）、檢驗(yàn)評(píng)估P（Post-assessment）和總結(jié)S（Summary）等確保課堂成功的教學(xué)模式。各個(gè)環(huán)節(jié)有效銜接是課堂教學(xué)的關(guān)鍵，充分考慮到教與學(xué)的特點(diǎn)，強(qiáng)調(diào)師生參與式互動(dòng)學(xué)習(xí)[6]。該模式具有非常強(qiáng)的實(shí)踐性和可操作性，是較為先進(jìn)的指導(dǎo)課堂教學(xué)各個(gè)環(huán)節(jié)的理論體系，教學(xué)安排更加條理化、合理化。教學(xué)中，需要通過開展有針對(duì)性的教學(xué)過程設(shè)計(jì)、采用形式多樣的教學(xué)手段來實(shí)現(xiàn)師生全方位參與式的互動(dòng)教學(xué)，為課程目標(biāo)的達(dá)成提供有效保障。

1.2 混合式教學(xué)模式

1999年美國(guó)率先提出混合式教學(xué)模式[7]，依托互聯(lián)網(wǎng)技術(shù)，有效融合線上教學(xué)和線下教學(xué)的優(yōu)勢(shì)，助力教師在引導(dǎo)、啟發(fā)、檢測(cè)教學(xué)的同時(shí)，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性、積極性與創(chuàng)造性[8]。目前關(guān)于線性代數(shù)的MOOC課程、SPOC課程及校本網(wǎng)絡(luò)課程非常豐富，有效推廣了雨課堂、騰訊課堂等線上線下混合式教學(xué)模式，極大優(yōu)化了課堂教學(xué)模式，此類教學(xué)模式深受教師和學(xué)生的歡迎。

1.3 BOPPPS混合式教學(xué)模式

BOPPPS模式和混合式教學(xué)模式各具特點(diǎn)，也存在不足。如BOPPPS模式，對(duì)學(xué)生的主動(dòng)參與學(xué)習(xí)程度、前期學(xué)習(xí)基礎(chǔ)情況、學(xué)習(xí)目標(biāo)明確度、課前預(yù)習(xí)和課后鞏固練習(xí)等因素要求比較高。限于線性代數(shù)的教學(xué)總課時(shí)較少，授課內(nèi)容多，理論相對(duì)抽象等因素，線下課堂教學(xué)存在許多限制，阻礙了教學(xué)深化推進(jìn)?；旌鲜浇虒W(xué)模式，在實(shí)際操作上也存在一些困難，如學(xué)生的自學(xué)能力和思維能力有限，自主學(xué)習(xí)的廣度和深度不足等。針對(duì)兩個(gè)模式的優(yōu)點(diǎn)和不足，取長(zhǎng)補(bǔ)短，設(shè)計(jì)好BOPPPS混合式教學(xué)模式，充分利用現(xiàn)有的優(yōu)秀的教學(xué)資源和信息化平臺(tái)，科學(xué)融合線上線下的教學(xué)手段，有效地發(fā)揮BOPPPS模式的教學(xué)優(yōu)勢(shì)。

2 “矩陣的初等變換”課程教學(xué)設(shè)計(jì)

以下以全國(guó)普通高等教育“十二五”重點(diǎn)建設(shè)規(guī)劃教材《線性代數(shù)》[3]的第二章“矩陣”第2.5節(jié)“矩陣的初等變換”為例，本文所提到的教學(xué)大綱是以地方新建本科高校相關(guān)專業(yè)為藍(lán)本，課程內(nèi)容、練習(xí)題目等課堂內(nèi)容均出自該教材。

2.1 教學(xué)內(nèi)容分析

該節(jié)主要介紹線性代數(shù)的矩陣的初等變換和等價(jià)、初等矩陣、初等變換求逆矩陣3個(gè)內(nèi)容。教學(xué)目的為：了解矩陣的三種初等變換和三種初等矩陣，掌握利用初等變換把矩陣變成3種常用的矩陣的方法、初等變換與初等矩陣的關(guān)系。前置知識(shí)包括矩陣的概念、矩陣的運(yùn)算、可逆矩陣等知識(shí)。理論上，三種初等變換和初等矩陣的概念相對(duì)簡(jiǎn)單；應(yīng)用上，利用初等變換計(jì)算出3種簡(jiǎn)單的矩陣，是重點(diǎn)難點(diǎn)。本節(jié)課以40分鐘為例。

2.2 課前教學(xué)設(shè)計(jì)

教學(xué)設(shè)計(jì)是最基礎(chǔ)的環(huán)節(jié)。根據(jù)BOPPPS模式的結(jié)構(gòu)，結(jié)合混合式教學(xué)模式的特點(diǎn)，確定學(xué)習(xí)目標(biāo)，制定出BOPPPS混合式教學(xué)模式的具體教學(xué)活動(dòng)安排表[9]（見表1）。充分考慮到學(xué)生的前期學(xué)習(xí)情況，如學(xué)生對(duì)矩陣的概念、性質(zhì)和運(yùn)算的掌握程度，根據(jù)教學(xué)的時(shí)間和環(huán)境的各方面因素統(tǒng)籌制定好教學(xué)方法。本次教學(xué)設(shè)計(jì)，從引導(dǎo)學(xué)生的角度出發(fā)，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)主動(dòng)性，適當(dāng)給教學(xué)中參與式互動(dòng)教學(xué)P與檢驗(yàn)評(píng)估P等2個(gè)重點(diǎn)環(huán)節(jié)預(yù)留更多的時(shí)間和空間，引言B、教學(xué)目標(biāo)O、摸底P這3個(gè)環(huán)節(jié)，線上安排時(shí)間分別為10～15分鐘、2～5分鐘、2～5分鐘不等，線下時(shí)間安排為2分鐘、1分鐘、1分鐘。具體時(shí)間安排應(yīng)根據(jù)學(xué)生的前期知識(shí)基礎(chǔ)做適當(dāng)調(diào)整。

表1 BOPPPS混合式課堂教學(xué)設(shè)計(jì)表

2.3 教學(xué)過程設(shè)計(jì)

（1）引言B。設(shè)計(jì)問題，實(shí)例引入，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣?；仡櫚殡S矩陣求解逆矩陣問題，要計(jì)算大量的伴隨矩陣和矩陣的行列式的值，存在計(jì)算量大容易出錯(cuò)的風(fēng)險(xiǎn)；當(dāng)矩陣是n階方陣，利用伴隨矩陣是不能求解逆矩陣。這個(gè)環(huán)節(jié)，線上提前給出預(yù)習(xí)內(nèi)容，提出本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容，目標(biāo)、重點(diǎn)和難點(diǎn)，關(guān)鍵知識(shí)點(diǎn)等。

（2）教學(xué)目標(biāo)O。教學(xué)目標(biāo)包括學(xué)習(xí)目標(biāo)和能力目標(biāo)。知識(shí)目標(biāo)：要求學(xué)生了解和掌握矩陣的初等變換的概念及符號(hào)；使學(xué)生能熟練利用矩陣的初等變換，把一般矩陣化為3種常用的矩陣；理解初等矩陣的定義和性質(zhì)定理。能力目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的數(shù)學(xué)思維能力；培養(yǎng)學(xué)生養(yǎng)成積極主動(dòng)學(xué)習(xí)和嚴(yán)謹(jǐn)務(wù)實(shí)的科學(xué)態(tài)度。線上明確知識(shí)目標(biāo)和能力目標(biāo)，時(shí)間為2～5分鐘。

（3）摸底P。通過線下問卷、作業(yè)反饋信息、線上提問、集體討論等多種方式進(jìn)行摸底。以引言為基礎(chǔ)，提問學(xué)生：3階伴隨矩陣需要計(jì)算出矩陣行列式多少個(gè)元素的代數(shù)余子式？n階方陣可逆的充分必要條件是什么？上次作業(yè)，我們有哪些體會(huì)可以一起分享。線上提出問題，時(shí)間為2～5分鐘。

（4）參與式互動(dòng)教學(xué)P。這是課堂教學(xué)的核心，學(xué)生主動(dòng)參與學(xué)習(xí)，通過師生有效互動(dòng)來實(shí)現(xiàn)課堂教學(xué)目標(biāo)。教學(xué)過程，教師是主導(dǎo)，學(xué)生是主體，教師緊扣問題導(dǎo)向，激發(fā)學(xué)生積極思考。采用獨(dú)立思考、分組討論、師生互動(dòng)交流的方式，解決以下問題：為什么要引入矩陣的初等變換？矩陣的初等變換和行列式的計(jì)算類似和差異點(diǎn)是哪些？矩陣的等價(jià)關(guān)系給我們提供了什么樣的信息？3種常用的矩陣在結(jié)構(gòu)上分別具有哪些特點(diǎn)？3種常用的矩陣之間有一種什么樣的變換關(guān)系？為什么要引入初等矩陣？矩陣的初等變換和初等矩陣具有哪方面的關(guān)系？?jī)蓚€(gè)同型矩陣的充分必要條件定理揭示了矩陣的初等變換在運(yùn)算上的哪些優(yōu)勢(shì)？

（5）檢驗(yàn)評(píng)估P。采用分組討論、小組學(xué)生代表上講臺(tái)現(xiàn)場(chǎng)展演形式進(jìn)行。具體安排為：用矩陣的初等變換把化為行階梯形矩陣、行最簡(jiǎn)形矩陣和標(biāo)準(zhǔn)形矩陣。已知利用初等變換計(jì)算E（1，2）A E（1，2）A，A（1，2）E A（1，2）E。

（6）總結(jié)S?；仡櫿肀竟?jié)課的教學(xué)內(nèi)容，總結(jié)課堂教學(xué)的知識(shí)點(diǎn)、重點(diǎn)和難點(diǎn)，進(jìn)一步鞏固學(xué)習(xí)目標(biāo)，構(gòu)建系統(tǒng)化知識(shí)，分析學(xué)習(xí)目標(biāo)達(dá)成情況。具體內(nèi)容：矩陣的初等變換是一類代數(shù)運(yùn)算，有3種變換；利用矩陣的初等變換可以很快得到3種簡(jiǎn)單的矩陣；初等矩陣是為了矩陣后續(xù)的理論研究做準(zhǔn)備；給出課后作業(yè)、下一講的課程預(yù)習(xí)要求。

3 結(jié)語

本文以建設(shè)線性代數(shù)“金課”為目標(biāo)，以“矩陣的初等變換”為例，探索BOPPPS混合式的教學(xué)模式，為高等理工類學(xué)科和經(jīng)濟(jì)管理類學(xué)科的數(shù)學(xué)類專業(yè)基礎(chǔ)課的教學(xué)提供了參考。該模式相對(duì)于傳統(tǒng)的教學(xué)模式，優(yōu)化了教師與學(xué)生、教學(xué)與學(xué)習(xí)、理論與應(yīng)用的關(guān)系，有利于大學(xué)“金課”建設(shè)。在未來的教學(xué)實(shí)踐活動(dòng)中，還需要不斷挖掘BOPPPS模式豐富的內(nèi)涵，優(yōu)化更新混合式教學(xué)模式，以構(gòu)建更為完善的BOPPPS混合式教學(xué)模式。