張高淞

[摘? 要] 每一道經(jīng)精心策劃而成的數(shù)學(xué)題，都包含著能拓寬教師和學(xué)生眼界的數(shù)學(xué)思想。但一些教師常忽視了習(xí)題教學(xué)的本質(zhì)，讓學(xué)生失去了在相應(yīng)階段本可知曉的解題策略和數(shù)學(xué)思想。如今，隨著教師在素質(zhì)教育方面的意識(shí)提高，現(xiàn)今的教學(xué)重心逐步傾向重視課本甚至是課本例題之外的練習(xí)題，形成了新的教學(xué)模式：從課前的關(guān)注題材、挖掘策略，到課中的把握題材和展示策略與數(shù)學(xué)思想，再到課后的反思題材、舉一反三?？偟膩?lái)說(shuō)，教師要學(xué)會(huì)立足題材、把握題材，以及鉆研題材，才能聚焦題材中的解題策略和數(shù)學(xué)思想，提升學(xué)生解題素養(yǎng)。

[關(guān)鍵詞] 題材;策略;模型思想

隨著開(kāi)發(fā)與研究新教材的深入，教師的關(guān)注點(diǎn)不再僅是課本上的教學(xué)例題，還漸漸偏向于教材上的練習(xí)題。練習(xí)題常常隱藏著教學(xué)例題所缺失的知識(shí)點(diǎn)、數(shù)學(xué)思想和解決問(wèn)題的策略，它可能會(huì)拓展學(xué)生的認(rèn)知，發(fā)展他們的思維以及拓寬思考的角度，促使學(xué)生和教師更深地體會(huì)數(shù)學(xué)來(lái)源于生活這一本質(zhì)。筆者接下來(lái)將借“百僧百饃”一題闡述如何聚焦練習(xí)題中的數(shù)學(xué)思想和解題策略。

一、設(shè)計(jì)準(zhǔn)備題，明確整體法概念

整體法這一解題策略對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)，應(yīng)該是既熟悉又陌生的。熟悉，是因?yàn)樗麄兛赡軣o(wú)意識(shí)間曾用過(guò)整體法策略解決了一些問(wèn)題;陌生，是因?yàn)樗麄兾丛鴮?duì)這種解題策略有過(guò)明確的認(rèn)知與記憶。為鞏固這方面的數(shù)學(xué)思想與解題策略，筆者設(shè)計(jì)了一道用整體法策略解決的準(zhǔn)備題。

【教學(xué)片段1】

出示：已知籠子里的雞和兔的數(shù)量相同，以及共有144條腿，請(qǐng)問(wèn)雞和兔各有幾只？

展示學(xué)生的解題過(guò)程：144÷（4+2）=24（只）

師：誰(shuí)能說(shuō)說(shuō)“4+2”表示什么意思？

生1：“4”表示1只兔子的腳，“2”表示1只雞的腳，合起來(lái)就是1只兔子和1只雞總共的腳。

生2：因?yàn)殡u和兔的數(shù)量相同，可以把1只雞和1只兔看成1組，過(guò)程里面括號(hào)里的“只”，其實(shí)也可以看成“組”。

師：誰(shuí)能理解他表達(dá)的意思？

生3：他的意思是用腿的總數(shù)量，去除以每1組的腿的數(shù)量，就能得出組的數(shù)量。

師：計(jì)算的結(jié)果為什么就是雞的只數(shù)和兔的只數(shù)？

生4：1組里有1只雞和1只兔，一共有24組，計(jì)算結(jié)果當(dāng)然就表示有24只雞和24只兔。

師：對(duì)，這種解題方法其實(shí)就是所謂的“整體法”。

二、深思策略，感知模型思想

一道題的解題思路可能只有一種，也可能有多種，但它對(duì)應(yīng)的策略基本是固定的。而模型思想不僅僅存在于一題之中，學(xué)生只需發(fā)現(xiàn)與琢磨，就能在不同的題型中找到。因此， 在分析與解決問(wèn)題時(shí)，教師要教學(xué)生策略的同時(shí)更多地灌輸數(shù)學(xué)思想。

1. 沿用策略，緊抓模型思想

根據(jù)“助長(zhǎng)性遷移”的教學(xué)思想，“百僧百饃”問(wèn)題的解題策略會(huì)沿用假設(shè)法或列表法，緊緊抓住“把誰(shuí)看作兔子，把誰(shuí)看作雞，把誰(shuí)看作頭，把誰(shuí)看作腳”的模型思想，直至成功解答此類(lèi)問(wèn)題。

【教學(xué)片段2】

出示：100個(gè)和尚吃100個(gè)饅頭，大和尚一人吃3個(gè)，小和尚3人吃一個(gè)。求大、小和尚各多少人？

展示學(xué)生獨(dú)立思考后的成果（如圖1）。

師：他以雞兔同籠為模型，很好地建立了此題與“雞兔同籠”題的聯(lián)系。

師：為什么你不用假設(shè)法去解決此題而選擇了列表法？

生1：我不知道一個(gè)大和尚比一個(gè)小和尚多吃了幾個(gè)饅頭，列表法解題對(duì)我來(lái)說(shuō)比較容易。

師：那么誰(shuí)選擇了用假設(shè)法解決此題，能說(shuō)說(shuō)你是怎么思考的？

根據(jù)學(xué)生的回答做相應(yīng)的板書(shū)：

假設(shè)全是大和尚

饅頭：100×3=300（個(gè)），差饅頭：300-100=200（個(gè)），多饅頭：3-1=2（個(gè)）。

生2：不對(duì)，3個(gè)小和尚吃一個(gè)，不是一個(gè)小和尚吃一個(gè)，所以不是3-1=2（個(gè)）。

師：那這里應(yīng)該怎么列式呢？（生2直搖頭）

生3：3人吃一個(gè)饅頭，一人就吃1/3個(gè)饅頭，把一個(gè)饅頭平均分成3份，每人吃1/3個(gè)。（學(xué)生鼓掌贊成）

板書(shū)：3-1/3=。

師：這位同學(xué)說(shuō)得太棒了。只是這個(gè)算式的計(jì)算我們還沒(méi)有學(xué)過(guò)，所以這個(gè)假設(shè)法就不能用了。

師：生1就用了列表法解決此題，哪位同學(xué)的列表法比他更完整？

展示學(xué)生作品（如圖2）。

師：哪位同學(xué)能看懂他列表法的過(guò)程？

生4：他是從“100個(gè)大和尚、0個(gè)小和尚”開(kāi)始羅列的，有序地列出所有的可能性，直到出現(xiàn)“25個(gè)大和尚、75個(gè)小和尚”這一數(shù)據(jù)為止。

如果用假設(shè)法去解題，那么又會(huì)遭遇未學(xué)的知識(shí)點(diǎn)，這會(huì)讓問(wèn)題變得更為復(fù)雜。如果直接用列表法解答此題，那么無(wú)疑只會(huì)事倍功半，讓解題效率低下。為簡(jiǎn)便地解決此題，教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生打破原有的思路，從不同的角度去思考策略。

2. 新推策略，不忘模型思想

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的主要目的就是為了激發(fā)善于思考的潛能。學(xué)生要多加思考尋找更適合的解題策略，聯(lián)系準(zhǔn)備題中的整體法策略，嘗試?yán)墏€(gè)體，形成固有的策略模式。同時(shí)教師也應(yīng)該結(jié)合雞兔同籠的模型思想，提醒學(xué)生只有不忘模型思想才能更深地理解整體法策略。

【教學(xué)片段3】

結(jié)合上題的整體法策略，在獨(dú)立思考后，同桌間互相交流自己的想法。

匯報(bào)：

生1：100÷（3+1）=25，那么小和尚就是25×3=75（人），大和尚就是25人。

師：你是怎么想出這個(gè)算式的？

生1：把3個(gè)小和尚吃一個(gè)饅頭和3個(gè)大和尚吃3個(gè)饅頭看成整體，就是4個(gè)和尚吃4個(gè)饅頭，100個(gè)饅頭有25組和尚吃。

師：誰(shuí)能再次說(shuō)說(shuō)他剛才的想法？

結(jié)合學(xué)生的說(shuō)辭畫(huà)圖（如圖3）。

師：這里的25表示什么意思？小和尚為什么是25×3=75（人）？

生2：25表示有25組這樣的和尚，一組里面有3個(gè)小和尚，所以小和尚有75人。

板書(shū)：100÷（3+1）=25（組），大和尚：25×1=25（人），小和尚：25×3=75（人）。

師：他的策略就是上題中使用過(guò)的整體法策略。誰(shuí)能把這兩題聯(lián)系起來(lái)？

生3：把“一個(gè)大和尚吃3個(gè)饅頭”看成兔，“3個(gè)小和尚吃一個(gè)饅頭”看成雞，合起來(lái)就是4個(gè)和尚吃4個(gè)饅頭，也就是4個(gè)頭4只腳，其中3個(gè)頭是小和尚，1個(gè)頭是大和尚。

師：你的說(shuō)法太棒了！我們可以把百僧百饃問(wèn)題歸結(jié)成雞兔問(wèn)題，再用類(lèi)似的方法解題。

在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生想出把“一個(gè)大和尚吃3個(gè)饅頭”和“3個(gè)小和尚吃一個(gè)饅頭”看成一個(gè)整體解決了百僧百饃問(wèn)題，找到了有效的整體法策略。學(xué)生正遷移套用模型思想，把百僧百饃問(wèn)題和同雞兔同籠問(wèn)題歸成一起，真正讓模型思想深入學(xué)生的心理。

3. 鞏固策略，加深模型思想

策略的鞏固需要學(xué)生做一些類(lèi)似的題型，在做題過(guò)程中不斷內(nèi)化整體法策略，學(xué)生能形成固定的類(lèi)型、固有的策略。為了讓每位學(xué)生都具有模型思想的意識(shí)，加深自身的印象，教師要強(qiáng)調(diào)讓他們?cè)趯?xiě)的過(guò)程中體現(xiàn)出模型思想，全員體會(huì)模型思想的便利之處。

【教學(xué)片段4】

出示：四年級(jí)師生共80人去植樹(shù)，老師每人種3棵，學(xué)生每3個(gè)人種一棵，正好種了80棵樹(shù)。你知道老師和學(xué)生各有多少人嗎？

學(xué)生作品（如圖4、圖5）。

師：誰(shuí)能看明白兩位同學(xué)的解題過(guò)程？

生1：他們的畫(huà)圖讓我更加明白把“4人種4棵樹(shù)”看成一個(gè)整體，里面有3個(gè)學(xué)生和一位老師。

生2：一位同學(xué)把“老師每人種3棵”看成兔，“學(xué)生每3個(gè)人種一棵”看成雞，然后把它們看成一個(gè)整體，就是4人種4棵樹(shù)。另一位同學(xué)把“老師每人種3棵”看成“大和尚”，“學(xué)生每3個(gè)人種一棵”看成“小和尚”。

師：你覺(jué)得哪位同學(xué)的思路更適合這題？

生3：第一位同學(xué)的思路，他使我馬上想到了準(zhǔn)備題的整體法策略。

生4：我覺(jué)得是第二位同學(xué)的思路，因?yàn)槲覀円呀?jīng)知道用整體法策略可以解決百僧百饃問(wèn)題，而這題與百層百饃問(wèn)題更接近。

生5：我也同意生4，百層百饃問(wèn)題就固定用整體法解決，沒(méi)必要與雞兔混淆。還應(yīng)該增加把“80人”看成“80個(gè)和尚”，“80棵樹(shù)”看成“80個(gè)饅頭”。

顯而易見(jiàn)，同學(xué)們欣賞他倆畫(huà)出圖形幫助自己更好地鞏固整體法策略，還在對(duì)比中悟出了模型思想的適用性，把“老師每人種3棵”看成大和尚，把“學(xué)生每3個(gè)人種一棵”看成小和尚，把“80人”看成80個(gè)和尚，把“80棵樹(shù)”看成80個(gè)饅頭，這樣就能理解80÷（3+1）=20（組）的意思。這兩位學(xué)生的榜樣作用是巨大的，其他同學(xué)會(huì)自今后的練習(xí)中模仿他倆的書(shū)寫(xiě)，加深了模型思想。

三、總結(jié)策略，升華模型思想

剖析題目條件是總結(jié)策略的前提。學(xué)生要認(rèn)知題目的本質(zhì)，明白整體法策略的適用范圍，體會(huì)策略多樣化的同時(shí)清楚百僧百饃問(wèn)題策略的唯一性，真正升華模型思想的價(jià)值。

【教學(xué)片段5】

師：觀(guān)察這兩題的條件，什么情況下使用整體法策略更適合？

獨(dú)立思考，小組交流。

匯報(bào)：

生1：人數(shù)和物體數(shù)相同，而且人和物體組成一個(gè)整體時(shí)數(shù)量也相同。

生2：總物體數(shù)能夠除以一組的物體數(shù)。

生3：只有滿(mǎn)足所有條件，才能用整體法策略解決此類(lèi)模型的題目。

師：生3總結(jié)得十分恰當(dāng)。（全班鼓掌）

附學(xué)生的課堂作業(yè)情況（如圖6、圖7）。

整體法策略解決此模型題目的條件是苛刻的，一旦變換其中的一個(gè)條件，它就會(huì)失效。換個(gè)角度說(shuō)，這種題材不存在變式，只存在相同的模型。但如果學(xué)生摸清了條件，掌握策略就能應(yīng)對(duì)自如。

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