陶新軍 陳華曲

[摘 要]“問題導(dǎo)學(xué)”復(fù)習(xí)課教學(xué)模式包括知識回顧、自主構(gòu)建、應(yīng)用探索、總結(jié)歸納四個環(huán)節(jié)。如何設(shè)置問題，提高學(xué)生思維能力，是教師應(yīng)該思考的首要問題。

[關(guān)鍵詞]問題導(dǎo)學(xué);提問;圓錐曲線;離心率

[中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻標識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2022）02-0001-04

筆者曾有幸聽了兩位教師教學(xué)“圓錐曲線離心率求值與范圍問題”的同課異構(gòu)課，并從“如何設(shè)計問題”這一角度進行了點評。之所以選擇從“如何設(shè)計問題”的角度進行點評，是因為我校的黃河清校長在教學(xué)實踐中探索出了“問題導(dǎo)學(xué)”教學(xué)法，其涉及新授課教學(xué)模式與復(fù)習(xí)課教學(xué)模式。其中，“問題導(dǎo)學(xué)”復(fù)習(xí)課教學(xué)模式包括知識回顧、自主構(gòu)建、應(yīng)用探索、總結(jié)歸納四個環(huán)節(jié)。每一個環(huán)節(jié)都有導(dǎo)向性的問題，教師合理設(shè)計問題，才能更好地引導(dǎo)學(xué)生思考，進而提高學(xué)生的思維能力。但是，提問要與學(xué)生的智力水平和知識水平相適應(yīng)，讓學(xué)生“跳一跳，能摘到果子”。那么，教師怎樣才能在教學(xué)中問到“點子”上呢？筆者以“圓錐曲線離心率求值與范圍問題”的教學(xué)設(shè)計為例對如何設(shè)計問題進行評析。

“圓錐曲線離心率求值與范圍問題”的教學(xué)設(shè)計如下：

一、教材分析

離心率是刻畫橢圓的扁平程度和雙曲線的開口大小的一個量。求離心率的大小和范圍問題是高考的熱點和難點。離心率問題既可以考查圓錐曲線的定義和性質(zhì)，又可以綜合考查平面幾何、三角函數(shù)、平面向量等內(nèi)容，還可以考查考生的邏輯推理能力、運算能力、空間想象能力，更可以考查數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸、函數(shù)與方程等數(shù)學(xué)思想方法。因此，它備受命題者青睞。在高考第一輪復(fù)習(xí)中，我們不僅要求“全”，而且要求“聯(lián)”。在高考第二輪復(fù)習(xí)中，我們不再要求“全”，而應(yīng)要求“變”?；谝陨侠砟?，筆者設(shè)計了本課教學(xué)。

本節(jié)課是求圓錐曲線離心率問題的復(fù)習(xí)課，旨在通過精心設(shè)計課堂教學(xué)活動，鞏固學(xué)生的基礎(chǔ)知識，完善學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)，促進學(xué)生掌握解決問題的方法。

二、教學(xué)設(shè)計

（一）知識回顧

我們知道，離心率[e=ca]是刻畫橢圓的扁平程度和雙曲線的開口大小的一個量。

如圖1所示。

問題1：在橢圓和雙曲線中哪些線段分別表示[a， b， c]？

設(shè)計意圖：復(fù)習(xí)橢圓、雙曲線[a， b， c]和對應(yīng)線段的關(guān)系，復(fù)習(xí)離心率的定義和范圍。

（二）自主構(gòu)建

問題2：你們能解答下面的題目，并比較它們的相同點和不同點嗎？

（1）雙曲線[C：x24-y212=1]的離心率為 ? ? ? ?。

（2）橢圓[C：x2a2+y24=1]的一個焦點為[2， 0]，則橢圓[C]的離心率為? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 。

設(shè)計意圖：這兩道題目的共同點是可以直接求解[a， c]，也可以直接求解離心率;不同點是第（1）題已知[a， b]，可以求[c];第（2）題已知[b， c]，可以求[a]。

[例1]若雙曲線[C]：[x2a2-y2b2=1（a>0， b>0）]的一條漸近線被圓[（x-2）2+y2=4]所截得的弦長為2，則橢圓[C]的離心率為? ? ? ? ? ? ? ? 。

A. 2 B. [3] C. [2] D. [233]

[思路引導(dǎo)一]

師：例1和前面兩題有什么區(qū)別？

生：前面兩題直接可以求解[a， b， c，]例1不能直接求解。

師：如何尋找關(guān)于[a， b， c]的等量關(guān)系？

生：可以從幾何圖形中尋找。

師：請在三角形背景下尋找關(guān)于[a， b， c]的等量關(guān)系。如圖2，在[△OAB]中，[AB=2]，[OB=2]，可以求解哪條線段的長度？

生：可以作圓心到弦的垂線，得到弦心距為[3]。

師：我們求解的弦心距[3]和雙曲線中的[a， b， c]如何建立關(guān)系？

生：通過點到直線的距離公式可以列出關(guān)于[a， b， c]的方程。

[思路引導(dǎo)二]

師：觀察[△OAB]，它有何特點？

生：[△OAB]是正三角形。

師：在[△OAB]中，[∠AOB]是多少？

生：[∠AOB=π3]。

師：[∠AOB]和雙曲線中的[a， b， c]如何建立關(guān)系？

生：[tan∠AOB=ba=3]。

問題3：通過以上題目，你能歸納出求離心率大小的基本步驟嗎？

設(shè)計意圖：例1不能直接求[a， b， c]的值，如何建立關(guān)于[a， b， c]的等量關(guān)系？通過教師的引導(dǎo)，學(xué)生探索發(fā)現(xiàn)，建立等量關(guān)系。學(xué)生歸納總結(jié)，教師再補充完善，歸納、總結(jié)求離心率大小的基本步驟：（1）通過已知條件畫出幾何圖形;（2）通過幾何圖形列出關(guān)于[a， b， c]的等式;（3）解等式（?；癁閍，c的齊次式）。

（三）應(yīng)用探索

[例2]雙曲線[C]：[x2a2-y2b2=1] [（a>0， b>0）]的兩個焦點為[F1]，[F2]，若[P]為雙曲線上的一點，且[PF1=2PF2]，求雙曲線[C]離心率的取值范圍。

[思路引導(dǎo)一]

師：例2和例1有何不同？

生：例1是求離心率的大小，例2是求離心率的取值范圍。

師：例2中哪些條件是固定的？

生：[PF1=2PF2]。

師：例2中哪些條件是變化的？

生：[P]為雙曲線上的一動點。

師：動點意味著變化，變化就會產(chǎn)生不等關(guān)系，本題中動點P在哪些位置有變化？

生：[P]點從右上方運動到[A]點，[PF2]的長度逐漸變小;從[A]點運動到右下方，[PF2]的長度逐漸變大。

師：你能用[a， b， c]來表示這些變化嗎？

生：[PF2≥c-a]。

[思路引導(dǎo)二]

師：觀察[△PF1F2]，你能用[a， b， c]來表示這些變化嗎？

生：[PF1+PF2≥2c]。

[思路引導(dǎo)三]

師：我們學(xué)習(xí)了雙曲線的第二定義，[PF2]的長度如何表示？

生：[PF2=ex0-a]。

師：參考思路引導(dǎo)一，我們能用[a， b， c]來表示[PF2]嗎？

生：[PF2=ex0-a=2a]，即[x0=3ae]。

師：本題中雙曲線的范圍是多少？

生：[x0≥a]，亦即[x0=3ae≥a]。

問題4：通過以上思路，你能否歸納出求離心率范圍的基本步驟？

設(shè)計意圖：例2是求離心率的取值范圍。解答例2的關(guān)鍵在于確定[a， b， c]的不等關(guān)系。題目只給了兩焦半徑的等量關(guān)系，難點在于挖掘題目中的隱含條件，確定不等關(guān)系。一方面，可通過幾何圖形定性分析，找到邊的不等關(guān)系;另一方面，可通過定量計算，利用雙曲線的性質(zhì)，由方程過渡到不等式，從而確定不等關(guān)系。教師引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)歸納出求離心率取值范圍的基本步驟：（1）通過已知條件畫出幾何圖形;（2）通過幾何圖形列出關(guān)于[a， b， c]的不等式;（3）解不等式（?；癁閍，c的齊次式）。

問題5：若將條件[PF1=2PF2]改為[PF1=γPF2（γ>1），]結(jié)果又會怎樣呢？

問題6：在問題5的前提下，若將條件雙曲線[C]：[x2a2-y2b2=1（a>0， b>0）]改為橢圓[C]：[x2a2+y2b2=1（a>b>0）]，結(jié)果又會怎樣呢？

設(shè)計意圖：將圓錐曲線類型由雙曲線改為橢圓，其他條件不變，離心率的取值范圍又會怎樣變化呢？題目的變式，旨在考查學(xué)生在條件變化后對離心率取值范圍問題的掌握情況，滿足不同層次學(xué)生的學(xué)習(xí)需求，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。

（四）總結(jié)歸納

問題7：本節(jié)課我們復(fù)習(xí)了哪些知識？用到了哪些數(shù)學(xué)思想方法？

1.求離心率大小的基本步驟：

（1）通過已知條件畫出幾何圖形;

（2）通過幾何圖形列出關(guān)于[a， b， c]的等式;

（3）解等式（常化為[a， c]的齊次式）。

2.求離心率取值范圍的基本步驟：

（1）通過已知條件畫出幾何圖形;

（2）通過幾何圖形列出關(guān)于[a， b， c]的不等式;

（3）解不等式（常化為[a， c]的齊次式）。

3.用到了數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸、函數(shù)與方程等數(shù)學(xué)思想方法。

設(shè)計意圖：學(xué)生通過總結(jié)歸納，完善數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)，掌握數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。

三、教學(xué)反思

復(fù)習(xí)課是比較常見的課型。復(fù)習(xí)是完善學(xué)生知識結(jié)構(gòu)的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。復(fù)習(xí)中，教師應(yīng)設(shè)計一系列具有遞進性、挑戰(zhàn)性和探究性的問題，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)，進行高水平的思維訓(xùn)練。這樣，學(xué)生既可以鞏固數(shù)學(xué)知識，促進知識內(nèi)化，又可以培養(yǎng)去偽存真、舉一反三的思維能力，逐步提升數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。

以“問題”為載體，以學(xué)生的“學(xué)”為目標，以教師的“導(dǎo)”為主線組織課堂教學(xué)，是“問題導(dǎo)學(xué)”教學(xué)模式的核心。教師在進行教學(xué)設(shè)計時，既要考慮知識之間的聯(lián)系，又要考慮知識的變化，還要考慮學(xué)情。為此，教師會對專業(yè)的知識進行深入的探討和研究，久而久之，教師的專業(yè)水平會得到極大的提升。

四、教學(xué)評析

（一）問題設(shè)計要激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣

好的開端是成功的一半。若一節(jié)課的開始，教師設(shè)計學(xué)生感興趣的問題，會極大地激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情和學(xué)習(xí)興趣。怎樣才能設(shè)計學(xué)生感興趣的問題呢？教師要在課前做足功課，根據(jù)教學(xué)內(nèi)容提前對問題進行預(yù)設(shè)。教師可以結(jié)合當(dāng)前的熱門事件設(shè)計問題，可以根據(jù)數(shù)學(xué)的發(fā)展與歷史故事設(shè)計問題，可以根據(jù)章頭提示設(shè)計問題。本節(jié)課是高考第二輪復(fù)習(xí)課。復(fù)習(xí)課是教師依據(jù)學(xué)生的記憶規(guī)律，通過特定的教學(xué)活動對學(xué)生已有的知識進行鞏固、拓展的課型。復(fù)習(xí)課的“知識回顧”環(huán)節(jié)重點要激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。在教學(xué)中，甲、乙兩位教師一開始都給出了近三年高考全國卷離心率的考點分布圖和離心率的公式。教師甲布置學(xué)生自己看離心率的考點分布圖，然后講解離心率公式。這樣導(dǎo)入課堂就顯得有些嚴肅，學(xué)生參與度不高。課堂一開始，學(xué)生的積極性沒有被調(diào)動起來，課堂氣氛有些沉悶。教師乙是布置學(xué)生讀有關(guān)離心率的考點，然后提問：“離心率考了幾次？”學(xué)生答：“三次?！苯處熞艺f：“重要事情說三遍，可見離心率很重要。”這個提問很簡單，學(xué)生容易回答，一下就激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情和學(xué)習(xí)興趣。這樣的提問，不僅有利于本節(jié)課教學(xué)的開展，還間接強調(diào)了離心率的重要性。

（二）問題設(shè)計要留夠?qū)W生思考時間

教師設(shè)計好問題并提問學(xué)生后要耐心等待，給學(xué)生足夠的時間思考、回答，不要剛提出一個問題，學(xué)生還沒回答，又馬上提出下一個問題，導(dǎo)致課堂結(jié)束后還留下多個問題給學(xué)生。有的學(xué)生課后沒有思考，久而久之也懶得思考，極大地影響了思考問題的積極性。

建構(gòu)主義理論認為，學(xué)習(xí)不應(yīng)被看成對教師所授予知識的被動接受，而應(yīng)是學(xué)習(xí)者以自身已有的知識和經(jīng)驗為基礎(chǔ)的主動建構(gòu)活動。這就要求教師合理引導(dǎo)，把學(xué)習(xí)自主權(quán)交給學(xué)生。下面對例1進行點評。

點評：對于例1，教師用5分鐘講了兩種解法，還寫了板書，提了8個問題，時間很倉促，學(xué)生沒有時間思考，更不用說動筆計算了。教師“滿堂灌”加“滿堂問”，上完一節(jié)課，自己很累，而學(xué)生收獲不大。

（三）問題設(shè)計要注意嚴謹性

數(shù)學(xué)是一門嚴謹?shù)膶W(xué)科，教師要利用有限的課堂時間培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴謹性。教師可以設(shè)計問題，讓學(xué)生回答，學(xué)生回答問題時可能知識運用不嚴謹，也可能思維不嚴謹，還可能表述不嚴謹。教師要不斷發(fā)現(xiàn)學(xué)生存在的問題并完善學(xué)生的解答。下面繼續(xù)對例1進行點評。

點評：對于例1，教師先畫圖，由弦長是2，半徑是2，可知△[AOB]是等邊三角形，然后提問：“直線的傾斜角為多少？”筆者認為這樣提問不合理、不嚴謹。因為漸近線有2條，教師只畫出了一條。若教師把2條漸近線都畫出來，構(gòu)圖成等邊三角形，然后再提問：“漸近線的傾斜角為多少？”這樣更嚴謹，學(xué)生也不至于漏解。

（四）問題設(shè)計要體現(xiàn)開放性

教師設(shè)計問題，不要僅局限于記憶類的問題，要設(shè)計一些開放性的問題，讓學(xué)生“想探索、能探索”，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維。下面對例2進行點評。

點評：對于例2，求離心率范圍，關(guān)鍵是建立[a， b， c] 的不等式，也就是建立[PF2≥AF2=c-a]這一關(guān)鍵不等式。教師提問：“這里有哪個特殊點??？”學(xué)生答：“[A]，[F2]?！苯處熡謫枺骸澳膫€點更特殊？”學(xué)生回答：“[A]點?！苯處熢賳枺骸半y道往無窮大處就不特殊嗎？”教師的提問往答案處引導(dǎo)，這樣和告訴學(xué)生答案類似，限制了學(xué)生的思維。本題[P]點是動點，[F2]是定點，若教師提問：“怎樣確定[PF2]的范圍？”則更開放，更能引發(fā)學(xué)生思考，更有利于提高學(xué)生的思維能力，真正實現(xiàn)學(xué)科育人。

（五）問題設(shè)計要體現(xiàn)多樣性

教師設(shè)計問題要多樣化，如一節(jié)有記憶類的提問，有開放性的提問，還有針對不同層次學(xué)生的提問，避免單一提問。如果只問成績好的學(xué)生，成績不好的學(xué)生就會想：“反正老師也不會問我，我不用思考了?！边@樣，連公平、公正都做不到，非常不利于學(xué)生的成長。

設(shè)計問題要注意質(zhì)量。有的教師就常問“是不是”“對不對”，學(xué)生也習(xí)慣性地回答“是”“對”。這樣的提問沒什么效果。

總之，通過聽課、評課讓筆者受益匪淺，學(xué)習(xí)他人長處，提高自我。每次學(xué)習(xí)都讓筆者意識到自己還有需要提高的地方，這種感覺讓筆者找到了作為教師有別于其他行業(yè)的責(zé)任感與幸福感。

[? ?參? ?考? ?文? ?獻? ?]

[1]? 陳康，黃河清.《黃河清“問題導(dǎo)學(xué)”教學(xué)法》復(fù)習(xí)課教學(xué)課例評析[J].中學(xué)教學(xué)參考，2012（8）：4-6.

（責(zé)任編輯 黃桂堅）