吳荔丹

[摘 要]小學(xué)生思維主要以具體形象思維為主，向抽象思維過(guò)渡。數(shù)學(xué)圖示教學(xué)能將抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題生動(dòng)化、具體化和符號(hào)化，凸顯數(shù)形互補(bǔ)的圖示功效，幫助學(xué)生準(zhǔn)確把握數(shù)學(xué)的本質(zhì)內(nèi)涵，提升思維的深度和廣度。從理解概念內(nèi)涵、厘清算理本質(zhì)和提升解題能力這三個(gè)方面進(jìn)行借圖識(shí)數(shù)、據(jù)圖明理和畫(huà)圖促思，讓數(shù)學(xué)語(yǔ)言與圖形符號(hào)相互轉(zhuǎn)譯，可提升學(xué)生思維品質(zhì)。

[關(guān)鍵詞]小學(xué)數(shù)學(xué);圖示;數(shù)學(xué)思維

[中圖分類號(hào)] G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 1007-9068（2022）02-0087-03

數(shù)學(xué)是嚴(yán)謹(jǐn)、抽象的，而小學(xué)生則以直觀、形象思維為主，兩者之間的矛盾是影響學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的主要因素。有些數(shù)學(xué)知識(shí)難以理解且復(fù)雜抽象，要化解這些抽象難懂的內(nèi)容，需借助數(shù)學(xué)圖示多元表征（情境圖、實(shí)物圖、示意圖、線段圖、表格等），將抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題生動(dòng)化、具體化、符號(hào)化。那么，如何借助圖示教學(xué)新視角，為提升學(xué)生思維的深度和廣度助力？筆者將結(jié)合教學(xué)實(shí)踐，從以下三個(gè)方面闡述思考。

一、借圖識(shí)數(shù)，理解概念內(nèi)涵

“數(shù)缺形時(shí)少直觀”，巧用圖示可化抽象為直觀，再通過(guò)分析、綜合等思維活動(dòng)找出共同屬性，可凸顯概念內(nèi)涵，展示學(xué)生的真問(wèn)題、真思維，積累真經(jīng)驗(yàn)、提升真能力。

例如，在教學(xué)人教版三年級(jí)上冊(cè)“倍的認(rèn)識(shí)”一課時(shí)，經(jīng)前測(cè)分析學(xué)生在學(xué)習(xí)本課之前已具備比較兩個(gè)量大小的豐富經(jīng)驗(yàn)。而本課要學(xué)習(xí)的“倍”是兩個(gè)量大小的另一種比法，是學(xué)生第一次認(rèn)識(shí)倍的概念，但通過(guò)二年級(jí)的學(xué)習(xí)，學(xué)生已經(jīng)掌握了乘法中“幾個(gè)幾”的意義?；谝陨蠈W(xué)情，明確本課的教學(xué)重點(diǎn)：結(jié)合具體情境讓學(xué)生理解“倍”的意義，在畫(huà)圖、觀察、比較、變式、思辨中經(jīng)歷四個(gè)層次的數(shù)學(xué)建構(gòu)過(guò)程，培養(yǎng)歸納概括和有序、有理表達(dá)的能力。

1.第一層次：直觀感知，喚醒經(jīng)驗(yàn)

師（出示圖1）：將這兩個(gè)數(shù)量進(jìn)行比較，你會(huì)怎么比？（大部分學(xué)生想到的是“差比”，即比多、比少）除了比多、比少，還可以怎么說(shuō)？

生1：○的個(gè)數(shù)是△的3倍。

（這是學(xué)生的前經(jīng)驗(yàn)，說(shuō)明對(duì)“倍”有一定的認(rèn)知）

師：同意這位同學(xué)觀點(diǎn)的請(qǐng)舉手。

（大部分學(xué)生舉手）

師：你是怎么知道○的個(gè)數(shù)是△的3倍的。

生2：因?yàn)?÷2=3，所以它們之間是3倍關(guān)系。

生3：我是把2個(gè)△看作1份，○有這樣的3份，所以它們之間是3倍關(guān)系。

2.第二層次：數(shù)形結(jié)合，理解概念

師：誰(shuí)能想辦法讓我們一眼就看出它們的倍數(shù)關(guān)系？

（生4上前板演，如圖2所示）

師：為什么要2個(gè)2個(gè)地圈畫(huà)？

生4：因?yàn)椤饔?個(gè)，把2個(gè)△看作1份，○能圈畫(huà)出這樣的3份，所以○的個(gè)數(shù)就是△的3倍。

師：在圈畫(huà)之前，你覺(jué)得確定什么很重要 ？

生（齊）：幾個(gè)為1份。

（學(xué)生學(xué)會(huì)圈畫(huà)圖示后，能用“誰(shuí)是誰(shuí)的幾倍”表述倍數(shù)關(guān)系）

3.第三層次：多維變式，深化理解

（1）變比較量

師：如果△個(gè)數(shù)不變，再加2個(gè)○，現(xiàn)在○的個(gè)數(shù)是△的幾倍？

生（齊）：4倍。

師：誰(shuí)來(lái)說(shuō)說(shuō)比較的過(guò)程。

生5：2個(gè)△為1份，○有這樣的4份，所以○的個(gè)數(shù)是△的4倍。

（小結(jié)：2個(gè)△看作1 份，○有幾個(gè)這樣的1份，就是△的幾倍）

（2）變標(biāo)準(zhǔn)量

師：回到圖1，如果○的個(gè)數(shù)不變，再加1個(gè)△，它們還是3倍的關(guān)系嗎？

生（齊）：不是。

師：是幾倍呢？

生6：如圖3所示，△變成3個(gè)為1份，○可以圈畫(huà)出這樣的2份，所以○的個(gè)數(shù)是△的2倍。

師：為什么要變成3個(gè)3個(gè)地圈？

生 7：之前的○都是與 2個(gè)△進(jìn)行比較，現(xiàn)在是與3個(gè)△比較。

生8：比的標(biāo)準(zhǔn)量變了，圈畫(huà)的個(gè)數(shù)也就變了。

（小結(jié)：如果標(biāo)準(zhǔn)量的份數(shù)發(fā)生了變化，比較量的份數(shù)也隨之變化，那它們之間的倍數(shù)關(guān)系也就發(fā)生了變化）

（3）倍數(shù)不變

師：如果○的個(gè)數(shù)總是△的2倍， 它們的個(gè)數(shù)還可能是多少呢？

生9：我先畫(huà)4個(gè)△，再畫(huà)8個(gè)○，8可以分成2個(gè)4，所以○是△的2倍。

生10：我先畫(huà)6個(gè)△，再畫(huà)12個(gè)○，12里面有2個(gè)6，所以○是△的2倍。

生11：16÷8=2，可以畫(huà)8個(gè)△和16個(gè)○。

師：為什么畫(huà)的○和△的個(gè)數(shù)不相同，○的個(gè)數(shù)卻都是△的2倍？

（發(fā)現(xiàn)：不管1份的量的個(gè)數(shù)有幾個(gè)，只要有這樣的幾份，就是它的幾倍）

4.第四層次：逐步抽象，建構(gòu)模型

（1）圖形抽象

師：如果我們把這樣的1份△用直條表示，○可以用幾個(gè)這樣的直條來(lái)表示？

生12：○有這樣的2份，用2個(gè)直條來(lái)表示（如圖4所示）。

師：如果沒(méi)有圖形和數(shù)字，還能看出它們是2倍的關(guān)系嗎？

生13：可以從直條的長(zhǎng)度進(jìn)行判斷。

師：如果給直條“瘦身”，想象一下，會(huì)變成什么？

生（齊）：線段圖。（教師出示圖5）

（2）數(shù)學(xué)抽象

師：如果1段代表5朵紅花，那2段表示幾朵紅花？

生14：1段有5朵，2段有2個(gè)5，即10朵紅花。

師：有這樣的8段，表示有幾朵紅花？

生（齊）：40朵紅花。

師：若3段表示18瓶果汁，1段表示幾瓶？

生（齊）：18÷3=6，表示6瓶。

上述教學(xué)中，教師基于學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)和認(rèn)知基礎(chǔ)，準(zhǔn)確把握知識(shí)本源，精心設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生展開(kāi)深度對(duì)話，直指“倍”的概念本質(zhì)。當(dāng)學(xué)生在數(shù)學(xué)概念認(rèn)識(shí)上遇到困難時(shí)，教師要善于借助圖示展開(kāi)教學(xué)，將抽象的“數(shù)”轉(zhuǎn)化為直觀的“形”，精心設(shè)計(jì)問(wèn)題串，讓學(xué)生依托對(duì)“形”的直觀表征和可視感知，積累豐富的學(xué)習(xí)體驗(yàn)，實(shí)現(xiàn)有效的數(shù)學(xué)建構(gòu)。

二、據(jù)圖明理，厘清算理本質(zhì)

計(jì)算在小學(xué)階段占比很大。對(duì)于以直觀認(rèn)識(shí)、直觀理解為主的小學(xué)生來(lái)說(shuō)，厘清算理是困難的。結(jié)合圖示教學(xué)，讓學(xué)生借助直觀圖形來(lái)說(shuō)算理，可使抽象的算理變得具體化。

例如，在教學(xué)人教版二年級(jí)上冊(cè)兩位數(shù)加兩位數(shù)（進(jìn)位加）的知識(shí)點(diǎn)時(shí)，課始出示主題圖，呈現(xiàn)學(xué)生熟悉的“參觀博物館”情境，引導(dǎo)學(xué)生提出“二（1）班和二（3）班一共有多少名學(xué)生？”的數(shù)學(xué)問(wèn)題，列出算式后，再聚焦35+37怎么算。解決這個(gè)問(wèn)題的關(guān)鍵在于理解“相同數(shù)位對(duì)齊”和“滿十進(jìn)1”。

教學(xué)時(shí)，結(jié)合小棒（如圖6所示），學(xué)生通過(guò)操作將1根與1根的小棒對(duì)齊、相加，10根小棒捆成1捆，1捆與1捆的小棒對(duì)齊再相加的活動(dòng)，融合豎式對(duì)應(yīng)理解“相同數(shù)位對(duì)齊”;通過(guò)操作“12根小棒相加滿10根，把10根小棒換成1捆小棒”的過(guò)程，理解“個(gè)位上滿十，向十位進(jìn)1”。通過(guò)呈現(xiàn)小棒圖示，架構(gòu)起“個(gè)位與個(gè)位對(duì)齊，十位與十位對(duì)齊”的豎式模型，有效幫助學(xué)生厘清“滿十進(jìn)1”的算理。

上述教學(xué)方法把新知與已有的口算聯(lián)系在一起進(jìn)行溝通，學(xué)生在理解“個(gè)位和個(gè)位對(duì)齊”的同時(shí)，又清楚地掌握豎式計(jì)算要從個(gè)位加起的計(jì)算順序，建構(gòu)了“滿十進(jìn)1”算理的數(shù)學(xué)模型，有效地搭建起算法和算理之間的關(guān)系橋梁，實(shí)現(xiàn)了“圖”與“式”的統(tǒng)一，“理”與“法”的相融。

三、畫(huà)圖促思，提升解題能力

在解決問(wèn)題教學(xué)中，學(xué)生經(jīng)常對(duì)一些錯(cuò)綜復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系不理解。如果在解題過(guò)程中，能借用圖示這個(gè)“腳手架”來(lái)幫助學(xué)生觀察、分析和推理，可便于學(xué)生從復(fù)雜的信息中抽取出隱性的數(shù)學(xué)信息，將其轉(zhuǎn)化為顯性的數(shù)學(xué)條件來(lái)厘清思路、分析數(shù)量關(guān)系，進(jìn)而找到解決問(wèn)題的策略。

例如，在教學(xué)人教版一年級(jí)上冊(cè)認(rèn)識(shí)左右的知識(shí)點(diǎn)時(shí)，課后出示一道題：一（1）班學(xué)生排隊(duì)，小明的右邊有5人，左邊有6人，這一隊(duì)一共有幾人？根據(jù)低年級(jí)學(xué)生的年齡特點(diǎn)，通常只能看到題目中的顯性條件，很難發(fā)現(xiàn)隱性條件。

教師先讓學(xué)生直接列式，結(jié)果很多學(xué)生這樣列式：5+6=11（人）。接著，教師追問(wèn)：“這一隊(duì)有幾人呢？為什么？數(shù)學(xué)是講道理的。請(qǐng)?jiān)囈辉囉卯?huà)圖的方式，把算式的道理表示出來(lái)。”學(xué)生獨(dú)立畫(huà)圖后，教師展示學(xué)生的說(shuō)理作品，并引導(dǎo)交流。學(xué)生畫(huà)完圖后恍然大悟，并能結(jié)合自己畫(huà)的示意圖分析錯(cuò)誤原因：原來(lái)是漏了加上小明本身。

張丹教授認(rèn)為，畫(huà)圖是一種解決問(wèn)題的策略，我們要尊重學(xué)生的個(gè)性特點(diǎn)，因材施教，鼓勵(lì)學(xué)生畫(huà)出富有個(gè)性的實(shí)物圖、示意圖、線段圖、表格等多種多樣的形式，因需所畫(huà)，才能真正有效幫助學(xué)生解決問(wèn)題。上述教學(xué)中，教師通過(guò)讓學(xué)生畫(huà)圖，既突破了認(rèn)識(shí)左右的教學(xué)難點(diǎn)，又讓學(xué)生借圖思辨，在說(shuō)理中把易錯(cuò)的知識(shí)學(xué)得明白，把隱形的道理說(shuō)得通透，對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解也水到渠成，提高了數(shù)學(xué)思維的深刻性。

又如，解決問(wèn)題：新區(qū)小學(xué)五（2）班的圖書(shū)柜有4層，其中第3層和第4層一共有180本書(shū)，如果從第4層拿15本放在第3層，那么第4層的本數(shù)就是第3層的[12]，第3層和第4層原來(lái)分別有多少本書(shū)？學(xué)生根據(jù)情境試著自己畫(huà)出線段圖（如圖7所示），根據(jù)線段圖，有學(xué)生很快找到了解題方法：第3層和第4層一共有180本書(shū)、現(xiàn)在第4層的本數(shù)是第3層的[12]，可以先求第3層現(xiàn)在有180÷（1+[12]）=120（本），再求第3層原來(lái)有120-15=105（本），最后求第4層原來(lái)有120×[12]+15=75（本）。還有學(xué)生根據(jù)線段圖列出方程：把第3層現(xiàn)在的本數(shù)設(shè)為x，x+[12]x=180，x=120，第3層原來(lái)有120-15=105（本），第4層原來(lái)有120 ×[12]+15=75（本）;也可以把第4層現(xiàn)在的本數(shù)設(shè)為x，x÷[12]+x=180，x=60，第4層原來(lái)有60+15=75（本），第3層原來(lái)有60÷[12]-15=105（本）。

由此可見(jiàn)，借助線段圖“化數(shù)為形”，學(xué)生可把文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為圖示語(yǔ)言，通過(guò)對(duì)比辨析，教師順?biāo)级鴮?dǎo)，學(xué)生一題多解，積累了豐富的解題策略，培養(yǎng)了學(xué)生的分析能力和綜合能力，實(shí)現(xiàn)教師的“教”與學(xué)生的“學(xué)”的相互切換。

總之，數(shù)學(xué)圖示雖簡(jiǎn)單，但鮮明、清晰，實(shí)用性強(qiáng)。巧用、善用、妙用數(shù)學(xué)圖示進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)，能有效地梳理并構(gòu)建知識(shí)體系，發(fā)展學(xué)生的直覺(jué)思維，發(fā)揮圖示的教學(xué)潛能，促進(jìn)學(xué)生的思維可視化、學(xué)習(xí)深度化，真正為學(xué)生的認(rèn)知生長(zhǎng)形成一片“開(kāi)闊地”，為能力提升備一部“手扶梯”，為思維拓展構(gòu)一張“聯(lián)結(jié)圖”，有效發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

【本文系2020年度福建省莆田市名師工作室專項(xiàng)課題“培養(yǎng)小學(xué)生‘借圖說(shuō)理’能力的策略研究”（課題編號(hào)：PTMS20011）的階段性研究成果?！?/p>

（責(zé)編 覃小慧）