劉祖希

摘要：加強跨學科內容與教學是課程改革的新趨勢，已經進入數學課標、教材與高考。關于數學跨學科內容與教學的已有研究中，學理研究包括相關概念的界定、教學價值的明確等;教學研究涉及教師跨學科素養(yǎng)培養(yǎng)、跨學科教學方法構建、跨學科教學案例開發(fā)、學生跨學科意識培養(yǎng)等;教材研究聚焦于不同國家或地區(qū)以及國內不同版本教材之間的比較研究;試題研究集中在中考數學試題層面。2022 年全國高考六套數學試卷中的跨學科試題的位置分布比較均衡，學科來源廣泛，呈現方式以圖文并茂為主，使用目的多種多樣，知識領域比較廣泛但不夠均衡，素養(yǎng)目標相對清晰、聚焦“三會”。

關鍵詞：數學教學;跨學科;文獻綜述;高考數學;試題分析

當前，我國高中教學及評價主要采用分科模式。這樣有利于各學科基礎知識、基本技能等的掌握，但也在一定程度上妨礙了學生綜合能力、創(chuàng)新素養(yǎng)的發(fā)展。

對此，《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱“課標”）在“課程理念”中指出高中數學課程“強調數學與生活以及其他學科的聯(lián)系”②；在“教學建議”③和“學業(yè)水平考試與高考命題建議”④中把教學情境與問題情境都分為現實情境、數學情境、科學情境三種形式；在“學業(yè)質量”的水平三（最高水平）中要求學生能夠借助直觀想象建立數學與其他學科的聯(lián)系，能夠合理地運用數學語言和思維進行跨學科的表達與交流①。與此呼應，當下的高中數學教材加大了跨學科內容的設置，近幾年的高考數學試卷也加強了跨學科試題的設計。

本文擬綜述數學跨學科內容與教學的已有研究，進而分析2022年全國高考六套數學試卷中的跨學科試題，以期為教師的日常教學以及備考復習指導提供參考和借鑒。

一、文獻綜述

從中國知網上查閱到的文獻來看，當前關于數學跨學科內容與教學的研究，集中在學理研究、教學研究、教材研究、試題研究等四個方面。

（一）學理研究

學理研究包括相關概念的界定、教學價值的明確等。

相關概念有跨學科、跨學科思維、跨學科教學等?！翱鐚W科”概念起源于20世紀20年代，由美國學者泰勒、伍德沃斯等提出，并倡導在高等教育中實施。②跨學科思維是指在課程與教學中，不囿于學科邊界，重視學科內部、外部的知識交叉和融合，通過跨界去整合知識，從而解決問題的思維方式，它的突出特征是思維上的融會貫通。③跨學科教學通常是指以一個學科為中心，選擇一個題目，運用不同學科的知識，對所指向的中心題目進行加工和設計教學。④

為何要開展數學跨學科教學？黃翔等給出的理由是：重視學科的交叉、融合不僅是教育發(fā)展的必然趨勢，也是數學發(fā)展的現代特點，通過數學學科的跨界、融合可以更好地促進學生數學素養(yǎng)的提高，所以，在當前數學課程設計上要更加注重學科的跨界、交融。⑤華志遠認為，跨學科教學的目標首先是使學生有效地習得學以致用的知識，其次是提高學生的能力和素養(yǎng)，再次是引導學生形成正確的世界觀、人生觀和價值觀。⑥這些觀點與當前我國基礎教育階段的數學課程性質、指向核心素養(yǎng)的數學課程目標是一致的。

數學跨學科教學不僅能引導學生使用數學知識解決其他學科的問題，還可以利用其他學科的知識、方法、思維促進數學知識的理解，拓展數學解題的方法。比如，唐素鋒通過一道行程問題的物理解法與化學解釋，啟發(fā)讀者運用具象思維、合情推理、直觀想象，優(yōu)化數學解題方法。⑦楊麗輝等甚至還提出了高中數學跨學科教學的“共生理念”：通過其他學科在知識與方法等方面對數學教學的促進，達到學生數學學科素養(yǎng)與其他學科素養(yǎng)共同生長的境界。⑧

（二）教學研究

教學研究涉及教師跨學科素養(yǎng)培養(yǎng)、跨學科教學策略（方法）構建、跨學科教學課程（案例）開發(fā)、學生跨學科意識培養(yǎng)等。

胡曉霞構建了基于跨學科視角的中學數學教師教學能力結構（包括2個一級指標、6個二級指標、19個三級指標），實質是在一般教學能力與數學教學能力的基礎上增加了科學探究教學能力與跨學科教學能力，其中跨學科教學能力包括創(chuàng)設跨學科教學情境的能力、跨學科理解與實踐能力。⑨為培養(yǎng)具有跨學科教學意識和能力的數學教師，李哲麗提出了三點建議：（1）合理制定課程標準，重視教材建設；（2）增設科學課程，加強跨學科教學實踐；（3）更新傳統(tǒng)教育理念，提高綜合學科能力。①

如何開展跨學科數學教學？黃翔等認為，跨學科思維將運用于數學教學，需要更新學科觀念，增強學科交叉融通意識；加強知識之間的融通和聯(lián)系，讓數學在學科交融中活起來；探索有效展開跨學科教學的教學方式；注意體現數學本質，切忌簡單、生造；提升跨學科思維下的教師專業(yè)素養(yǎng)。②華志遠則給出了實施以數學為中心的高中跨學科教學的路徑：抓住課程主線，尋求內容的交匯點；研究課程標準，尋求方法的結合點；發(fā)掘真實問題，拓展應用的邊界；回顧發(fā)展歷史，獲得成功的經驗。③很多研究者都強調更新學科觀念、提升專業(yè)素養(yǎng)，加強數學與其他學科的聯(lián)系，找準多學科知識的交匯點，探索跨學科教學方式。

黎麗娟從學生的角度提出，在平時教學中采取“樹立學科滲透意識”“培養(yǎng)觀察思考能力”“提高數學思維水平”等應對策略。④陳莉梅從教師的角度提出了五條實施策略：改變教育理念，樹立跨學科教學的觀念；梳理數學與其他學科間的知識交融點，提高跨學科教學的能力；加強與其他學科教師間的合作交流，豐富跨學科教學的經驗；充分考慮學生學情，進行合理地跨學科教學；實施多樣評價，逐步完善跨學科教學模式。⑤

黃榮等以高中數學與人文學科的融合為例，開發(fā)了數學與文學融合、數學與史學融合、數學與哲學融合、數學與美學融合等多個跨學科教學的案例，形成了有特色的數學文化校本課程。⑥梁勇以主題為“奇妙的對稱”的小學數學跨學科課程為例，從主題確定、協(xié)同開發(fā)、實施過程和學習評價等層面，全面展示了其所在學校語文、英語、科學、美術、體育等學科教師的團結協(xié)作，以及學生在技術支持下跨學科學習過程中的真實學習狀態(tài)，從而構建“以學科內容為基點的統(tǒng)整項目課程”。⑦

李雪琴通過跨學科數學課程實施前后的對比研究，發(fā)現初中生對跨學科數學課程有積極的學習態(tài)度；認識到各學科學習的重要性和應用性，對各學科的學習態(tài)度由模糊變得清晰，尤其對數學的認識最深刻；掌握了一些跨學科知識，逐漸形成了跨學科學習的思維；產生或鞏固了從事跨學科職業(yè)的想法。⑧

（三）教材研究

關于跨學科內容的數學教材研究，可分為不同國家或地區(qū)教材之間的比較研究、國內不同版本教材之間的比較研究。

不同國家或地區(qū)教材之間的比較研究，如尚念以我國人教版、滬教版和美國加州版初中數學教材數與代數部分為研究對象⑨，朱樹金選取中美高中數學教材中的指數函數與對數函數、圓錐曲線、隨機變量等內容作為研究對象⑩。此外，張維忠等專門分析了澳大利亞七年級數學教科書中跨學科內容的使用情況。①

國內不同版本教材之間的比較研究，如包智慧等以改革開放以來四套人教版初中數學教材為研究對象②，潘小勤等對人教A版高中數學新舊教材內容進行量化對比分析③，宋燕伶等選取2011年和2019年出版的兩套北師大版高中數學教材作為研究對象④。

無論是哪種形式的教材比較研究，研究者不約而同地采用了相對一致的研究框架，即從學科來源、呈現方式、設置目的、知識領域等維度對數學教材中的跨學科內容進行實證研究，并從跨學科內容的深度和廣度等方面提出教材編寫建議。

（四）試題研究

關于跨學科內容的數學試題研究較多，而且集中在中考數學試題層面。筆者查詢到較早的文獻是朱文彥的《跨學科的中考數學題型》⑤等。此類文章多數以試題列舉、歸類、賞析為主，比較可貴的是朱廣科給出了跨學科試題的解題策略：首先是關注社會熱點，注意收集有關信息，擴充知識面，形成較強的綜合素質和能力；其次是認真審題，挖掘有用的信息，為正確解題奠定基礎；最后則是講究方法，注重知識與技能的靈活運用，將有關學科知識加以遷移、引申，針對具體問題或現象靈活應用不同的學科知識和技能。⑥

二、試題分析

高考數學試題既有數學問題的一般屬性，也有高考評價的特殊屬性。依據這兩個屬性，借鑒已有研究，從位置分布、學科來源、呈現方式、使用目的、知識領域、素養(yǎng)目標等六個維度，分析2022年全國高考六套數學試卷（甲卷理科、甲卷文科、乙卷理科、乙卷文科、新課程I卷、新課程II卷）中的跨學科試題，探尋數學跨學科試題的特點。

（一）位置分布

2022年全國高考數學試卷中一共出現了14道跨學科試題（文理科試卷中相同的試題仍單獨統(tǒng)計題量）。這14道試題的位置分布如表1所示（表中題號后括號內的文字為相應試題的情境概述）。

可以發(fā)現，跨學科試題在各卷別中的位置分布比較均衡，一般選擇題中有1—2道，解答題中有1道，均屬于中檔難度的題目，這體現了跨學科試題設計的整體性和一致性。之所以沒有出現在填空題中，可能與填空題短小精悍、控制難度的命題特點有關?？鐚W科試題在全卷中的總分值為17分或22分，比重超過11％，應該引起重視。

（二）學科來源

關于數學跨學科試題的學科來源，可采取《中華人民共和國學科分類與代碼國家標準（2009年版）》，將學科劃分為自然科學、農業(yè)科學、醫(yī)藥科學、人文與社會科學、工程與技術科學5類，具體如表2所示①。2022年全國高考數學試卷中的14道跨學科試題的學科來源分別是：體育科學（3道）、地球科學（3道）、林學（2道）、醫(yī)學（2道）、材料工程（2道）、歷史學（1道）、航空航天科學技術（1道）。

可以看出，跨學科試題的學科來源廣泛，五大學科類別均有涉及，這體現了跨學科試題設計的寬度和廣度。其中，與體育、地理相關的跨學科試題較多，反映了人們對體育健康、環(huán)境保護的重視，體現了以人為本的發(fā)展理念；與歷史（主要是數學史）相關的跨學科試題數量較往年有所減少。②

（三）呈現方式

自然語言、圖形語言、符號語言是數學常用的三種語言形式，而數學跨學科試題的呈現方式主要包括文字符號、圖形表格、圖文并茂三種。2022年全國高考數學試卷14道跨學科試題中，使用文字符號表述的有4道，圖文并茂呈現的有10道，沒有單獨使用圖形表格的試題。

圖文并茂的試題占主體地位，既體現了試題的趣味性、真實性（“有圖為證”）以及文化魅力（如精妙絕倫的中國古代建筑圖），也體現了數學的直觀性、抽象性以及語言特征。同時，對學生的能力帶來了挑戰(zhàn)：既要能準確讀取圖表的數據信息，又要能快速識別圖形的位置關系，還要能實現自然語言、圖形語言、符號語言的相互轉化。

（四）使用目的

跨學科內容的使用目的主要包括三類：引入數學問題（跨學科內容是可剝離的情境）、補充解釋數學問題（跨學科內容是不可剝離的情境）、用數學知識解決問題（跨學科內容是問題，而不是情境）。不同的使用目的決定了跨學科內容的深度差異。

2022年全國高考數學試卷14道跨學科試題中，6道題跨學科內容的使用目的是引入數學問題，屬于比較淺層的跨學科試題。2道題跨學科內容的使用目的是補充解釋數學問題（提出的數學問題依賴于跨學科情境），屬于比較有深度的跨學科試題。這兩道題分別是甲卷理科第8題、新課程II卷第3題。前者以我國古代科技史上的杰作《夢溪筆談》收錄的計算圓弧長度的“會圓術”為背景，后者以我國古代建筑中的舉架結構為背景，兩題都從跨學科內容中抽象出數學問題，體現數學的科學價值與我國古代人民的智慧。還有6道題（甲卷理科第19題，乙卷理科第19題，乙卷文科第19題，新課程I卷第4、第20題，新課程II卷第19題）屬于用數學知識解決的跨學科問題。比如新課程I卷第4題，該題要求南水北調工程中某個水庫的水量，屬于工程問題，不使用數學方法也是可以解決的，但是使用數學方法（棱臺體積公式）非常便捷，充分體現了數學的應用價值。

跨學科試題的使用目的多種多樣，展現了多姿多彩的社會文化生活（如中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化、國家社會經濟發(fā)展成就等），體現了數學的重要價值（如科學價值、應用價值、文化價值、審美價值等）。

（五）知識領域

課標給出了“三類課程（必修、選擇性必修、選修）定位、四條主線（函數、幾何與代數、概率與統(tǒng)計、數學建模活動與數學探究活動）貫穿、一條暗線（數學文化）融入”的高中數學課程內容結構①，其中，四條主線就是知識領域。2022年全國高考數學試卷14道跨學科試題中，5道題的知識領域是幾何與代數，9道題的知識領域是概率與統(tǒng)計。

這說明，幾何與代數是數學跨學科試題重要的知識領域；概率與統(tǒng)計是數學跨學科試題（特別是解答題）主要（更重要）的知識領域，這和概率與統(tǒng)計知識主要來源于生活、應用于生活有密切關系。

沒有出現函數領域的跨學科試題，說明跨學科試題的知識領域還不夠均衡。雖然沒有出現具備完整環(huán)節(jié)的數學建模活動與數學探究活動領域的跨學科試題，但是甲卷文科第19題以學生參加綜合實踐活動時設計的包裝盒為背景，考查幾何體中的直線與平面的位置關系以及幾何體的體積。這釋放了明確的信號：數學建模活動與數學探究活動已進入高考命題人的視野。比如，將包裝盒改為由考生設計，先設計后計算，或邊設計邊計算邊優(yōu)化，就是典型的數學建?；顒优c數學探究活動。當然，具體命題及評價方式還有待積極探索、穩(wěn)妥推進。

（六）素養(yǎng)目標

無論是高中數學課程標準，還是高考評價體系，都以核心素養(yǎng)為導向，因此，素養(yǎng)目標是高考試題的終極指向。高中數學核心素養(yǎng)包括數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算、數據分析等6個方面?？紤]到數學抽象、直觀想象指向“數學眼光”，邏輯推理、數學運算指向“數學思維”，數學建模、數據分析指向“數學語言”（這三者分別對應數學基本思想的三個要素：抽象、推理、模型②），因此，2022年全國高考數學試卷14道跨學科試題的素養(yǎng)目標分這三類進行統(tǒng)計。

結果表明，指向數學建模、數據分析的數學跨學科試題最多（9道），均為概率與統(tǒng)計領域的試題。指向數學抽象、直觀想象的數學跨學科試題有4道。仍以新課程I卷第4題為例，該題需要考生將水庫兩個水位之間的部分抽象為棱臺（數學抽象），將兩個水位對應的水面想象成棱臺的上下底面、水位差想象成棱臺的高（直觀想象），再利用棱臺體積公式進行計算。指向邏輯推理、數學運算的數學跨學科試題有1道（乙卷理科第4題）。該題以“嫦娥二號”衛(wèi)星的運行周期為背景，提出一個連分數型遞推數列問題，需要學生運用演繹推理（取特殊值）、數學運算（連分數的計算與化簡、比較大?。?、歸納推理解決問題。

可見，跨學科試題的素養(yǎng)目標相對清晰，聚焦“三會”數學核心素養(yǎng)，體現了高考試題設計的科學性與導向性。當然需要說明的是，由于高考試題本身具有綜合性的特點，其素養(yǎng)目標并非單一的，上述統(tǒng)計僅為了在一定程度上說明問題。

三、研究展望

在數學課程、教材、考試中設置跨學科內容既是人才培養(yǎng)的需要（如“中國學生發(fā)展核心素養(yǎng)”框架的提出①），也是數學學科特點所決定的：數學是一種工具、語言，是自然科學的重要基礎，在社會科學中發(fā)揮著越來越重要的作用，數學的應用滲透到現代社會的各個方面，直接為社會創(chuàng)造價值，推動社會生產力的發(fā)展。②綜合以上文獻綜述和試題分析，對數學跨學科內容與教學的研究提出以下展望：

第一，數學跨學科內容的研究，不能狹義地理解為用數學的知識、方法解決其他學科（或者以其他學科為背景）的問題，還應包括用其他學科的知識、方法解決數學問題，甚至是用多學科的思維解決綜合問題。它是一個數學與其他學科雙向互動甚至多向轉換的研究領域、思維系統(tǒng)。

第二，高考數學試卷中的跨學科試題比數學應用題更寬泛，思維層次更豐富；比數學文化題更聚焦，學科特征更突出。它延續(xù)了我國高考數學試題創(chuàng)新的傳統(tǒng)：自1977年恢復高考以來，數學應用題、數學開放題、數學文化題、數學跨學科試題先后進入高考數學試卷，順應社會需求，響應時代召喚，對考查學生的綜合素養(yǎng)、為國家培養(yǎng)和選拔創(chuàng)新型人才起到了重要作用。這種創(chuàng)新的傳統(tǒng)不會停歇，將不斷推陳出新、與時俱進。

第三，加強中小學數學課程、教材中跨學科內容的整體設計，為學生的綜合能力與創(chuàng)新素養(yǎng)發(fā)展提供一體化的培養(yǎng)機制。令人振奮的是，《義務教育數學課程標準（2022年版）》不僅強調數學與其他學科的聯(lián)系（文本中出現40余次這樣的表述），更把“跨學科學習”作為義務教育數學課程四個學習領域之——“綜合與實踐”的主要學習方式，具體要求是：以跨學科主題學習為主，適當采用主題式學習和項目式學習的方式，設計情境真實、較為復雜的問題，引導學生綜合運用數學學科和跨學科的知識與方法解決問題。③期待我國學生的數學核心素養(yǎng)與綜合實踐能力齊頭并進，共生共長。

第四，跨學科教育（包括 STEM 教育、STEAM教育等）已經成為一種國際發(fā)展趨勢，成為國家發(fā)展戰(zhàn)略的必然選擇，這給數學教育帶來了發(fā)展機遇和挑戰(zhàn)。對此，應積極做好頂層設計、選擇好項目實踐、抓好師資培訓、開展實施評價，助推我國數學教育改革。④