呂皖慧，呂夢迪，林志超，周禮剛

(安徽大學 數(shù)學科學學院,安徽 合肥 230601)

群體或者個人的內部條件與外部條件共同影響個體優(yōu)勢，若片面地采用一個標準對事物進行評價，往往會忽略事物的個體優(yōu)勢而使所得評價不全面。因此，客觀地識別個體優(yōu)勢，有利于個體了解自身優(yōu)勢、揚長避短，當對事物進行評價時，所得結果更令個體信服，這對于組織進步、社會協(xié)調也有著重要作用[1]。柳森等[2]在競優(yōu)思想的指導下，采用2-范數(shù)意義下的距離，提出一種基于層次結構的個體優(yōu)勢特征識別方法；赫連志巍等[3]從集群升級導向的角度探討個體優(yōu)勢識別問題，根據(jù)目標規(guī)劃的思想從最有利于被評價者的角度識別個體優(yōu)勢;楊鍇等[4]使用VIKOR方法結合個體優(yōu)勢識別模型判別個體治理能力特征優(yōu)勢。這些研究從不同的角度出發(fā)解釋了個體優(yōu)勢識別問題，但計算的指標都是精確值，然而在現(xiàn)實生活中由于人類的主觀意愿以及對于事物認識的不全面，指標值往往是模糊數(shù)。

模糊集理論[5]最先是由美國加州大學ZADEH教授創(chuàng)立，即運用數(shù)學的方法解決模糊不確定的問題。學者們對此深入研究并提出很多理論分支，其中ATANASSOV[6]對模糊集的理論進行拓展，并提出直覺模糊集的理論。與傳統(tǒng)模糊集不同，直覺模糊集同時考慮了隸屬度、非隸屬度與猶豫度，且需要滿足隸屬度與非隸屬度之和小于等于1的約束條件。但是該約束條件對于解決更復雜的問題具有局限性，因此YAGER[7]對直覺模糊集進行了拓展，提出了Pythagorean模糊集理論且滿足隸屬度與非隸屬度平方的和小于1，大大擴充了直覺模糊集的范圍。然而Pythagorean模糊集在生活中仍存在局限性，YAGER[8]在此基礎上進一步提出了q-Rung Orthopair模糊集概念，以隸屬度與非隸屬度q次方之和小于1作為約束條件。區(qū)間q-Rung Orthopair模糊集[9]則是Orthopair模糊集概念的引申，其中隸屬度和非隸屬度由一個區(qū)間值給出。對于多屬性決策問題，由于實際生活中決策信息日漸復雜，決策者不能明確給出各屬性信息，往往以區(qū)間自然形式給出[10]，利用區(qū)間q-Rung Orthopair模糊理論衡量信息間的差異程度。

因此，筆者提出一種新的關于個體優(yōu)勢識別的區(qū)間q-Rung Orthopair模糊多屬性決策問題的評價方法。根據(jù)趙希男等[11]對于個體優(yōu)勢識別的示例，定義了一種絕對值加權區(qū)間q-Rung Orthopair模糊距離測度，依據(jù)個體優(yōu)勢的理想點模型下距離測度的應用，利用數(shù)學規(guī)劃的方法求出各屬性權重，結合求得的距離與屬性權重計算自評值與他評值，取其算術平均值計算綜合評分值；定義各距離測度的相對大小為專家權重，利用加權平均的方法計算各個決策單元最終的綜合評價值，通過排序選出最優(yōu)方案；最后將這種方法應用到高校人才引進方案中，對于高校招聘人才、提高教學質量與教師素質、提升高校綜合實力具有一定的參考價值。

1 預備知識

定義1令X是一個已知的論域，則X上的直覺模糊集可表示為A={[x,μA(x),vA(x)]|x∈X}。其中，對于一個給定的x∈X，μA(x)和νA(x)分別表示元素x屬于X的隸屬度和非隸屬度，且滿足μA(x)、νA(x):X→[0,1],0≤μA(x)+νA(x)≤1；定義A中元素x屬于A的猶豫度為πA(x)，則X上的直覺模糊集的猶豫度為πA(x)=1-[μA(x)+vA(x)],易見0≤πA(x)≤1。

針對直覺模糊集無法表達隸屬度和非隸屬度之和大于1的情況，2013年YAGER提出Pythagorean模糊集；為進一步擴大隸屬度和非隸屬度的空間范圍，YAGER于2017年提出q-Rung Orthopair模糊集的概念。

定義2令X為一個已知的論域，則X上的q-Rung Orthopair模糊集可以定義為A={[x,μA(x),vA(x)]|x∈X}。其中，對于一個給定的x∈X，μA(x)和νA(x)分別表示元素x屬于X的隸屬度和非隸屬度，且滿足μA(x)、νA(x):X→[0,1]，0≤(μA(x))q+(vA(x))q≤1，q≥1；定義A中元素x屬于A的猶豫度為πA(x)，則X上的q-Rung Orthopair模糊集的猶豫度為πA(x)=(1-[(μA(x))q+(vA(x))q])1/q，易見0≤πA(x)≤1。

為簡化計算過程，對于一個給定的x∈X,稱(μA(x),vA(x))為q-Rung Orthopair模糊數(shù)，表示為(μA,vA)。當q=1時，A為直覺模糊集；當q=2時，A為畢達哥拉斯模糊集。區(qū)間q-Rung Orthopair模糊集的概念又由q-Rung Orthopair模糊集引申而來。

根據(jù)以上運算法則可以得到如下結論：①β1⊕β2=β2⊕β1；②t1β?t2β=(t1+t2)β；③t(β1⊕β2)=tβ1⊕tβ2；④(βc)c=β。其中，t、t1和t2為任意常數(shù)。

2 一種絕對值加權區(qū)間q-Rung Orthopair模糊距離測度

(1)

將dμ(β1,β2)、dv(β1,β2)代入后化簡可得d(β1,β2)為:

(2)

證明在[μL(x),μU(x)]?[0,1]，[vL(x),vU(x)]?[0,1]前提下，結果①、②顯然成立，下面證明結果③，對于結果③應用絕對值不等式可得：

∵(d(β1,β)+d(β,β2))q≥dq(β1,β)+dq(β,β2)=

dq(β1,β2)

∴d(β1,β)+d(β,β2)q≥dq(β1,β)+dq(β,β2)≥dq(β1,β2)

∴d(β1,β2)≤d(β1,β)+d(β,β2)

證畢。

(3)

3 關于個體優(yōu)勢識別的區(qū)間q-Rung Orthopair模糊多指標綜合評價

當對幾種類型相同或相似的群體或個別主體的狀態(tài)屬性進行綜合評價時，由于事物較為復雜，主體的狀態(tài)屬性一般由多個指標構成。為實際應用過程的便利，假設刻畫這些主體的指標為效益型，即在符合社會道德標準與基本要求的前提下，指標值越大越好。

(1)數(shù)據(jù)標準化處理。由于各指標的基本屬性不同，為消除不同量綱的影響，對原始數(shù)據(jù)進行標準化。由于區(qū)間q-Rung Orthopair模糊數(shù)區(qū)間隸屬度、區(qū)間非隸屬度均屬于[0,1]，區(qū)間猶豫度大小介于0～1之間，所以初始數(shù)據(jù)即理想標準化處理后所得的結果。

(4)

(3)理想點模型的建立。已知距離越小，主體的評價值越接近理想點，從最有利于每個主體的想法出發(fā)，與理想點越近的指標應賦予越大的權重；反之，當距離理想點越遠，說明指標相對較差，應賦予較小的權重來平衡所得評價值。因此可建立數(shù)學規(guī)劃模型：

(5)

(6)

(7)

最后綜合自評值和他評值為民主代理評價值，取所有評價值的算數(shù)平均值，此時包括對于所有主體評價的不同意見。其優(yōu)點是評價結果較客觀、容易獲得全部主體的認可。已知距離越小，主體的評價值越接近于理想點，故民主代理評價值越小越好。民主代理評價值的計算方法為：

(8)

(6)專家權重的確立。根據(jù)第k個決策者與l個決策者給出評價值之間的平均值距離測度定義專家權重為ν=(ν1,ν2,…,vl)T[14]：

(9)

4 案例分析

在國家實施人才強國戰(zhàn)略和自主創(chuàng)新戰(zhàn)略的背景下，中央批準了一項海外高層次人才引進計劃，其中高層次人才引進工作中能否達到預期效果，優(yōu)秀工作者的選擇與判定是最重要的基礎工作[15]。某高校計劃從海外引進杰出人才，組織了一個由3位專家構成的評估組，分別為學校校長g1、管理學院院長g2和人事處處長g3。為了學校能夠引入全方面較為優(yōu)秀的人才，評估組準備從思想品德(c1)、科研能力(c2)、教學技能(c3)和教育背景(c4)4個方面對5位候選者x1、x2、x3、x4、x5進行相應的審核并選擇最優(yōu)的候選者作為人才引進對象。各個決策者給出的區(qū)間q-Rung Orthopair模糊決策矩陣B(k)為：

(1)數(shù)據(jù)標準化處理。由于每個候選人的指標信息為區(qū)間q-Rung Orthopair模糊數(shù)，且區(qū)間隸屬度、非隸屬度均屬于[0,1]，區(qū)間猶豫度的大小均介于0～1之間，所以無需標準化處理。

(3)根據(jù)理想點模型計算權重。以決策者學校校長g1對應的決策矩陣B(1)和第一位候選者x1為例，根據(jù)距離與權重的相關定義求解得到：

|0-0.1|2+|0-0.2|2)|=0.062 5

|0-0.4|2+|0-0.5|2)|=0.352 5

|0-0.2|2+|0-0.3|2)|=0.095 0

|0-0.2|2+|0-0.4|2)|=0.202 5

(4)計算民主代理評價值。若每位候選者的自評值和他評值構成一行，那么5位候選者的自評值和他評值構成5×5的矩陣Z1，其中矩陣對角線上的元素為自評值，其他元素為他評值，第i行的其他元素表示其他候選者對于候選者xi的他評值，第i列其他元素表示候選者xi對于其他候選者的他評值。以由式(6)和式(7)分別計算5位候選者的自評值和他評值，進而得到評價值矩陣Z1：

再根據(jù)式(8)計算在決策者g1對應的決策矩陣下各候選者的民主代理評價值：z1(1)=0.298 9，z1(2)=0.212 9，z1(3)=0.403 3，z1(4)=0.267 1，z1(5)=0.326 9。

(5)計算各個決策者的綜合評價值。同理，可計算得到其他決策者對應的評價值矩陣和民主代理評價值(如表1所示)。

表1 各方案下的民主代理評價值

(6)專家權重的計算。由式(9)計算專家權重為ν=(0.334 1,0.335 0,0.330 9)T。

4.1 靈敏度分析

圖1 綜合得分評價值變化趨勢圖

4.2 對比分析

為了說明所提出方法的有效性，與文獻方法進行比較，具體結果如表2所示。由表2可知，筆者所提方法得到的最優(yōu)方案與文獻[15]提出的區(qū)間直覺模糊群決策方法結果相同，相較于文獻[17]中提出的專家與特性優(yōu)先級不同的間歇性直覺模糊群體決策方法與文獻[18]中提出的屬性權重已知的群決策方法而言，不確定屬性下權重的解決也比較重要，新提出的方法能夠有效解決未知權重情況下的群決策問題。通過區(qū)間q-Rung Orthopair模糊綜合評價優(yōu)化模型計算不同下最有利于主體的權重系數(shù)，為最終判斷主體優(yōu)勢從而做出專家決策提供依據(jù)。

表2 不同決策方法的決策結果比較

同時，筆者所提方法無需計算得分函數(shù)與精度函數(shù)，減少了評價過程的繁瑣度與計算量，同時包含了自身及其他人的評價值，能站在不同的角度發(fā)現(xiàn)每個個體各自的優(yōu)勢和劣勢，有利于實現(xiàn)人才的綜合管理，在選擇結果上更加公平公正，有利于做出正確決策。此外，相較于文獻[15]和文獻[17],新提出的關于個體優(yōu)勢識別的區(qū)間q-Rung Orthopair模糊綜合評價方法是對已有區(qū)間直覺模糊決策方法的一種推廣，決策者可以按照實際情況選擇合適的參數(shù)q，因此這種方法更具有普適性。

5 結論

在新的區(qū)間q-Rung Orthopair模糊距離測度基礎上，提出了關于個體優(yōu)勢識別的區(qū)間q-Rung Orthopair模糊綜合評價方法及應用。與傳統(tǒng)優(yōu)勢識別相比，能更好地處理指標值為區(qū)間q-Rung Orthopair模糊數(shù)的情況，無需主觀判斷給定每個指標的權重向量，且能夠綜合自評值與他評值，大大減少了因為自評主觀臆斷造成評價結果的不全面，使得評價擇優(yōu)結果更加公平公正，同時無需計算得分函數(shù)與精度函數(shù)，簡化了評價步驟。最后通過參數(shù)q敏感度分析可知候選者x5的評價值始終最好，且各個候選者的評分值隨著參數(shù)q的增加先減小后逐漸增大至q為某個值時各個候選者的評分值趨于穩(wěn)定。新的關于個體優(yōu)勢識別的多屬性決策方法可以進一步推廣，運用于公司人才選拔、城市人才引進、股票市場優(yōu)股的選擇、醫(yī)藥產(chǎn)品的評估等領域中。