劉衛(wèi)鋒, 許宏偉

(鄭州航空工業(yè)管理學院 數(shù)理系, 鄭州 450015)

?

E-不變凸模糊集

劉衛(wèi)鋒*, 許宏偉

(鄭州航空工業(yè)管理學院 數(shù)理系, 鄭州 450015)

通過將不變凸集、E-凸集和凸模糊集相結合,提出了一種新的廣義凸模糊集—E-不變凸模糊集,使得不變凸模糊集和凸模糊集成為它的特例,并初步研究了E-不變凸模糊集的性質.

凸模糊集;E-不變凸模糊集; 不變凸模糊集; 模糊集

由于凸集在凸分析、函數(shù)論、最優(yōu)化理論及其他數(shù)學分支中均有廣泛的應用[1-5],因此,對凸集及其性質進行研究和推廣一直是數(shù)學應用和基礎研究領域的一個重要課題.在凸集概念基礎上,文獻[1-3]引進了p-凸集和絕對p-凸集,并探討它們的性質;文獻[6]對p-凸集和絕對p-凸集的性質進行了系統(tǒng)的研究;文獻[7]提出了p-完美凸集和絕對p-完美凸集;文獻[8]引入了E-凸集和E-凸函數(shù)等概念,推廣了凸集;文獻[9-10]指出文獻[8]中存在的錯誤,完善了E-凸集和E-凸函數(shù);文獻[11]提出了不變凸集理論,推廣了凸集理論;文獻[12]將不變凸集與E-凸集相結合,提出了E-不變凸集.與凸集理論一樣,凸模糊集在模糊最優(yōu)化研究中也具有非常重要的作用,文獻[13]對凸模糊集作了較為系統(tǒng)的研究;文獻[14]討論了凸模糊集的性質;文獻[15]引入T-p-凸模糊集,并討論了其性質;文獻[16]給出了基于t-范上的凸模糊集,推廣了凸模糊集;文獻[17-18]分別提出了一種(λ,μ]凸模糊集和(∈,∈q(λ,μ))凸模糊集;文獻[19]提出不變凸模糊集的概念,并對其性質作了初步研究.

在上述研究基礎上,本文嘗試將不變凸集、E-凸集與凸模糊集相結合,得到一種更加一般化的廣義凸模糊集—E-不變凸模糊集,使得凸模糊集、文獻[19]中的不變凸模糊集成為它的特例,并對E-不變凸模糊集的性質進行了初步研究.本文研究進一步拓展了凸模糊集的概念,豐富了凸模糊集理論.

1 相關概念

定義1[4]設集合A?Rn,稱A為凸集,若有

λx+(1-λ)y∈A,?x,y∈A,?λ∈[0,1].

定義2[8]設集合A?Rn,稱A為E-凸集,若存在映射E:Rn→Rn,有

λE(x)+(1-λ)E(y)∈A,?x,y∈A,?λ∈[0,1].

定義3[11]設集合A?Rn,稱A為不變凸集,若存在映射η:Rn×Rn→Rn,有

y+αη(x,y)∈A,?x,y∈A,?α∈[0,1].

定義4[12]設集合A?Rn,稱A為E-不變凸集,若存在映射η:Rn×Rn→Rn和E:Rn→Rn,有

E(y)+αη(E(x),E(y))∈A,?x,y∈A,?α∈[0,1].

定義5[13]設論域為Rn,稱A為論域Rn上的模糊集,若存在映射

A:Rn→[0,1],x→A(x).

論域Rn上的全體模糊集記作F(Rn).

定義6[19]設A∈F(Rn),稱A為不變凸模糊集,若存在映射η:Rn×Rn→Rn,有

A(y+αη(x,y))≥A(x)∧A(y),?x,y∈Rn,?α∈[0,1].

條件C[19]設映射η:Rn×Rn→Rn,稱η滿足條件C,如果有

η(y,y+tη(x,y))=-tη(x,y),

η(x,y+tη(x,y))=(1-t)η(x,y),

?x,y∈Rn,?t∈[0,1].

2 主要結果

定義7 設A∈F(Rn),稱A為E-不變凸模糊集,若存在映射η:Rn×Rn→Rn和E:Rn→Rn,有

A(E(y)+αη(E(x),E(y)))≥

A(E(x))∧A(E(y)),?x,y∈Rn,?α∈[0,1].

顯然,當E為恒等映射時,E-不變凸模糊集就是不變凸模糊集.因此,E-不變凸模糊集是不變凸模糊集和凸模糊集的推廣.

定理1 任意凸模糊集是E-不變凸模糊集,任意不變凸模糊集是E-不變凸模糊集.

則A是關于η的E-不變凸模糊集,而A不是凸模糊集,也不是不變凸模糊集.

首先,可以驗證,A是關于η的E-不變凸模糊集.

下面給出8種情況下的驗證,其余情況的驗證均可歸結為下面這8種情況.

(1) 當x,y∈[1,2)時,顯然xy>0,且E(x)=x,E(y)=y,從而A(E(x))=A(x)=0.8,A(E(y))=A(y)=0.8,η(E(x),E(y))=η(x,y)=x-y,于是

A(E(y)+αη(E(x),E(y)))=

A(y+α(x-y))=A(αx+(1-α)y)=

0.8≥A(E(x))∧A(E(y)).

(2) 當x,y∈(-2,-1]時,顯然xy>0,且E(x)=-x,E(y)=-y,從而A(E(x))=A(-x)=0.8,A(E(y))=A(-y)=0.8,η(E(x),E(y))=η(-x,-y)=-x+y,于是

A(E(y)+αη(E(x),E(y)))=

A(-y+α(-x+y))=

A(α(-x)+(1-α)(-y))=

0.8≥A(E(x))∧A(E(y)).

(3) 當x∈[1,2),y∈[2,3)時,顯然xy>0,且E(x)=x,E(y)=y,A(E(x))=A(x)=0.8,A(E(y))=A(y)=0.9,η(E(x),E(y))=η(x,y)=x-y,于是

A(E(y)+αη(E(x),E(y)))=

A(y+α(x-y))=A(αx+(1-α)y)=

A(E(x))∧A(E(y)).

(4) 當x∈[1,2),y∈[3,4]時,顯然xy>0,且E(x)=x,E(y)=y,從而A(E(x))=0.8,A(E(y))=0.7,η(E(x),E(y))=x-y,于是

A(E(y)+αη(E(x),E(y)))=

A(y+α(x-y))=A(αx+(1-α)y)=

A(E(x))∧A(E(y)).

(5) 當x∈(-2,-1],y∈[-3,-2)時,有xy>0,且E(x)=-x,E(y)=-y,從而A(E(x))=0.8,A(E(y))=0.9,η(E(x),E(y))=-x+y,于是

A(E(y)+αη(E(x),E(y)))=

A(-y+α(-x+y))=

A(α(-x)+(1-α)(-y))=

0.8=A(E(x))∧A(E(y)).

(6) 當x∈(-2,-1],y∈[-4,-3]時,顯然xy>0,且E(x)=-x,E(y)=-y,從而A(E(x))=0.8,A(E(y))=0.7,η(E(x),E(y))=-x+y,于是

A(E(y)+αη(E(x),E(y)))=

A(-y+α(-x+y))=

A(α(-x)+(1-α)(-y))=

0.7=A(E(x))∧A(E(y)).

(7)當x∈[3,4],y∈[-4,-3]時,顯然有xy<0,且E(x)=x,E(y)=-y,從而A(E(x))=A(E(y))=0.7,η(E(x),E(y))=η(x,-y)=x+y,于是

A(E(y)+αη(E(x),E(y)))=

A(-y+α(x+y))=

A(αx+(1-α)(-y))=0.7≥

A(E(x))∧A(E(y)).

(8) 當x∈[1,2),y∈[-4,-3]時,顯然xy<0,且E(x)=x,E(y)=-y,從而A(E(x))=0.8,A(E(y))=0.7,η(E(x),E(y))=x+y,于是

A(E(y)+αη(E(x),E(y)))=

A(-y+α(x+y))=

A(αx+(1-α)(-y))=

0.7=A(E(x))∧A(E(y)).

A(α0x0+(1-α0)y0)=A(-2)=

0.2<0.3=0.8∧0.3=A(x0)∧A(y0).

故A不是凸模糊集.

再次,A不是不變凸模糊集.事實上,令x0=1,y0=-1,α0=0.5,則有

A(y0+α0η(x0,y0))=A(-2)=

0.2<0.4=0.7∧0.4=A(x0)∧A(y0).

故A不是不變凸模糊集.

例1說明E-不變凸模糊集是凸模糊集和不變凸模糊集的真推廣.

定義8 設A∈F(Rn),稱A為E-不變強凸模糊集,若存在映射η:Rn×Rn→Rn和E:Rn→Rn,有

A(E(y)+αη(E(x),E(y)))>A(E(x))∧A(E(y)),?x,y∈Rn,x≠y,?α∈(0,1).

定義9 設A∈F(Rn),稱A為E-嚴格不變凸模糊集,若存在映射η:Rn×Rn→Rn和E:Rn→Rn,有

A(E(y)+αη(E(x),E(y)))>A(E(x))∧A(E(y)),?x,y∈Rn,當x≠y時,A(E(x))≠A(E(y)),?α∈(0,1).

定理2 設A,B∈F(Rn)是E-不變凸模糊集,則A∩B是E-不變凸模糊集.

證明 ?x,y∈Rn,由于集合A,B均為E-不變凸模糊集,因此存在映射η:Rn×Rn→Rn和E:Rn→Rn,對于?α∈[0,1],有

A(E(y)+αη(E(x),E(y)))≥

A(E(x))∧A(E(y)),

B(E(y)+αη(E(x),E(y)))≥

B(E(x))∧B(E(y)).

于是

A(E(y)+αη(E(x),E(y)))∧

所以, A∩B是E-不變凸模糊集.

可以將定理2推廣至任意多個集合的情況.

現(xiàn)將文獻[19]中的條件C進行推廣,并將推廣條件記為條件C*:

條件C*設映射η:Rn×Rn→Rn,E:Rn→Rn,稱η滿足條件C*,如果有

η(E(y),E(y)+tη(E(x),E(y)))=

-tη(E(x),E(y)),

η(E(x),E(y)+tη(E(x),E(y)))=

(1-t)η(E(x),E(y)),

?x,y∈Rn,?t∈[0,1].顯然,當E為恒等映射時,條件C*就是條件C.當E為恒等映射,且η(x,y)=x-y,條件C*自然成立.

定理4 設A∈F(Rn),存在映射η:Rn×Rn→Rn和E:Rn→Rn,且η滿足條件C*,若存在α∈(0,1),使

A(E(y)+αη(E(x),E(y)))≥

A(E(x))∧A(E(y)),?x,y∈Rn,

則

B={α∈(0,1)|A(E(y)+αη(E(x),E(y)))≥

A(E(x))∧A(E(y)),?x,y∈Rn}

在(0,1)上是稠密的.

證明 (反證法) 設B在(0,1)上不是稠密的,則?α0∈(0,1)及鄰域N(α0),使得N(α0)∩B=Φ.

令α1=inf{α∈B|α≥α0},α2=sup{α∈B|α≤α0},則有0≤α2<α1≤1.

由于max{α,1-α}∈(0,1),取β1,β2∈B,使

β1≥α1,β2≤α2,且max{α,1-α}(β1-β2)<α1-α2.

設α′=αβ1+(1-α)β2=β2+α(β1-β2).現(xiàn)證明α′∈B,即證

A(E(y)+α′η(E(x),E(y)))>

A(E(x))∧A(E(y)).

利用條件C*,可得

E(y)+α′η(E(x),E(y))=

E(y)+β2η(E(x),E(y))+

α(β1-β2)η(E(x),E(y))=

E(y)+β2η(E(x),E(y))+

E(y)+β2η(E(x),E(y))+

β1η(E(x),E(y))+

E(y)+β2η(E(x),E(y))+

β1η(E(x),E(y))+

E(y)+β2η(E(x),E(y))+αη(E(y)+

β1η(E(x),E(y)),E(y)+β2η(E(x),E(y)))),

因此,有

A[E(y)+α′η(E(x),E(y))]=

A[E(y)+β2η(E(x),E(y))+

αη(E(y)+β1η(E(x),E(y)),E(y)+

β2η(E(x),E(y))))]≥

A(E(y)+β1η(E(x),E(y)))∧

A(E(y)+β2η(E(x),E(y)))≥

(A(E(x))∧A(E(y)))∧

(A(E(x))∧A(E(y)))=

A(E(x))∧A(E(y)),

所以,α′∈B.

若α′≥α0,則0≤β2≤α2<α1≤α′≤1,從而α′-β2≥α1-α2,又

α′-β2=αβ1+(1-α)β2-β2=

α(β1-β2)<α1-α2,

于是產(chǎn)生矛盾.

若α′<α0,則0≤α′≤α2<α1≤β1≤1,從而β1-α′≥α1-α2,又

β1-α′=β1-(αβ1+(1-α)β2)=

(1-α)(β1-β2)<α1-α2，

同樣產(chǎn)生矛盾.

故B在(0,1)上是稠密的.

定義10 設A∈F(Rn),稱A為E-不變下半連續(xù)的,若存在映射η:Rn×Rn→Rn和E:Rn→Rn,有

A(E(x))-ε≤A(E(y)),?x,y∈Rn,?ε>0,?δ>0,且‖E(y)-E(x)‖<δ.

定理5 設A∈F(Rn)是E-不變下半連續(xù)的,且η滿足條件C*,若?α∈(0,1),有

A(E(y)+αη(E(x),E(y)))≥

A(E(x))∧A(E(y)),?x,y∈Rn，

則A是E-不變凸模糊集.

證明 (反證法) 設A不是E-不變凸模糊集,則?x,y∈Rn,α′∈(0,1),使

A(E(y)+α′η(E(x),E(y))<

A(E(x))∧A(E(y)).

設B={α∈(0,1)|A(E(y)+αη(E(x),E(y)))≥A(E(x))∧A(E(y)),?x,y∈Rn},則由定理4可知,?αn∈B,有αn→α′(n→∞).

定義

E(yn)=E(y)+α′η(E(x),E(y))-

E(y)+α′η(E(x),E(y))-

則E(yn)→E(y)(n→∞).現(xiàn)證明E(y)+α′η(E(x),E(y))=E(yn)+αnη(E(x),E(yn)).

E(yn)+αnη(E(x),E(yn))=

E(y)+αnη(E(x),E(y))+

E(y)+α′η(E(x),E(y)),

由于A是E-不變下半連續(xù)的,且E(yn)→E(y)(n→∞),故

A(E(yn))>A(E(y))-ε,?n>N,其中N>0.

于是

A(E(y)+α′η(E(x),E(y)))=

A(E(yn)+αnη(E(x),E(yn)))≥

A(E(x))∧A(E(yn))≥

A(E(x))∧A(E(y)-ε)≥

A(E(x))∧A(E(y)).

由ε的任意性可知,A(E(y)+α′η(E(x),E(y)))≥A(E(x))∧A(E(y)),這與通過假設得到的不等式A(E(y)+α′η(E(x),E(y))

所以,A是E-不變凸模糊集.

定理6 設A∈F(Rn)是E-不變下半連續(xù)的,且η滿足條件C*,若?α∈(0,1),有

A(E(y)+αη(E(x),E(y)))>

A(E(x))∧A(E(y)),?x,y∈Rn,x≠y,

則A是E-不變強凸模糊集.

證明 與定理5類似,故省略.

定理7 設A∈F(Rn)是E-不變下半連續(xù)的,且η滿足條件C*,若?α∈(0,1),有

A(E(y)+αη(E(x),E(y)))>A(E(x))∧A(E(y)),?x,y∈Rn,A(E(x))≠A(E(y)),

則A是E-嚴格不變凸模糊集.

證明 與定理5類似,故省略.

[2] SMON S. The sequence spacesl(pv) andm(pv)[J]. Proceedings of the London Mathematical Society,1965, 15(3): 422-436.

[3] 定光桂. 拓撲線性空間選講[M].南寧:廣西教育出版社,1987.

[4] 袁亞湘, 孫文瑜. 最優(yōu)化理論與方法[M].北京:科學出版社,1997.

[5] 胡適耕. 泛函分析[M].北京:科學出版社, 2001.

[6] 劉 文, 王晶昕.p-凸集和絕對p-凸集的一些性質[J].遼寧師范大學學報(自然科學版), 1995, 18(1):5-9.

[7] 張 端, 劉旭飛, 冷崗松.p-完美凸集和絕對p-完美凸集[J].上海大學學報(自然科學版), 2010, 16(3):262-267.

[8] YOUNESS E A.E-convex sets,E-convex functions, andE-convex programming[J].Journal of Optimization Theory and Applications, 1999, 102(2):439-450.

[9] YANG X M. OnE-convex set,E-convex functions, andE-convex programming[J].Journal of Optimization Theory and Applications, 2001, 109(3):699-704.

[10] JIAN J B. Incorrect result forE-convex functions, andE-convex programming[J]. Mathematical Research and Exposition, 2003, 23(3):461-466.

[11] HANSON M A, MOND B. Convex transformable programming problems and convexity[J]. Journal of Information and Optimization Science, 1987, 8: 201-207.

[12] FULGA C, PREDA V. Nonlinear programming withE-preinvex and localE-preinvex functions[J]. European Journal of Operational Reseach, 2009, 192:737-743.

[13] ZADEH L A. Fuzzy sets[J].Inform and Control, 1965, 8:338-353.

[14] LIU Y M. Some properties of convex fuzzy sets[J].Journal of Mathematical analysis and applications, 1965, 111(1): 119-129.

[15] 洪平洲, 許景飛.T-p-凸Fuzzy集[J].贛南師范學院學報(自然科學版),1999(6):1-7.

[16] 鞠紅梅,袁學海,陳圖云.凸模糊子集的再定義[J].模糊系統(tǒng)與數(shù)學, 2001, 15(1):68-70.

[17] 顧 惠, 廖祖華. 廣義Fuzzy凸集[J].模糊系統(tǒng)與數(shù)學, 2004, 18:153-156.

[18] GU H, LIAO Z H. (∈,∈q(λ,μ))-convex fuzzy set[J].模糊系統(tǒng)與數(shù)學, 2007, 21(1):92-96.

[19] 張 萍, 黃 虎, 王 早. 預不變凸模糊集的一些性質[J].純粹數(shù)學與應用數(shù)學, 2006, 22(3):355-359.

E-Invex fuzzy set

LIU Weifeng, XU Hongwei

(Department of Mathematics and Physics, Zhengzhou Institute of Aeronautical Industry Management, Zhengzhou 450015)

By combining invex set and E-convex set with convex fuzzy set， a new generalized convex fuzzy set defined as E-invex fuzzy set is proposed， so that convex fuzzy set and invex fuzzy set were made particular cases. Some properties of E-invex fuzzy set are investigated primarily in this paper．

convex fuzzy set; E-invex fuzzy set; invex fuzzy set; E-convex fuzzy set

2015-06-24.

河南省教育廳科學技術研究重點項目(12B110027)；鄭州航空工業(yè)管理學院青年科研基金項目(2014113001).

1000-1190(2016)01-0005-05

O174

A

*E-mail: lwf0519@163.com.