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        E-廣義凸直覺模糊集①

        2014-07-09 01:59:58李選海范傳強(qiáng)
        關(guān)鍵詞:定義

        李選海, 劉 鋒, 范傳強(qiáng)

        (1.海軍大連艦艇學(xué)院,基礎(chǔ)部,遼寧大連116018;2.東北大學(xué),系統(tǒng)科學(xué)研究所,遼寧沈陽110004;3.遼寧石油化工大學(xué)理學(xué)院,遼寧撫順113001)

        0 引言

        凸集及其性質(zhì)是最優(yōu)化領(lǐng)域的一個(gè)重要研究課題.同樣,凸模糊集也是模糊數(shù)學(xué)中研究的一個(gè)熱點(diǎn).本文通過將 E - 廣義凸模糊集[1~4]、凹模糊集[5]和凸直覺模糊集[5~6]相結(jié)合,提出了 E - 廣義凹模糊集和E-廣義凸直覺模糊集,從而推廣了E-廣義凸模糊集,并對(duì)它們的性質(zhì)進(jìn)行了初步研究,得到了一些好的理論結(jié)果.本文把現(xiàn)有的凸模糊集理論研究向前推進(jìn)一小步,從而能引出一個(gè)相對(duì)較新的研究方向和領(lǐng)域,先行為解決未來出現(xiàn)的新問題提供理論支撐.

        1 預(yù)備知識(shí)

        定義 1.1[1]設(shè) A ∈F(X),設(shè) λ,μ ∈[0,1],且λ < μ,?l∈[0,1],若存在E:X→X,使得?x,y∈ X,有 A(lE(x)+(1-l)E(y))∨ λ≥A(E(x))∧A(E(y))∧μ,則稱A為 E -(λ,μ?一凸模糊集,簡稱E-廣義凸模糊集.

        定義1.2[5]設(shè)為n維歐氏空間,X的模糊子集A被稱為凹模糊集,如果?λ∈[0,1],x,y∈X,有A(λx+(1-λ)y)≤A(x)∨A(y).

        定義1.3[5]設(shè)X為歐氏空問,若μA為X的凸模糊集且υA為X的凹模糊集,則稱直覺模糊集(X,μA,υA)為X的凸直覺模糊集.

        定理1.1[1]設(shè)A,B ∈ F(X)是廣義凸模糊集,則A∩B是廣義凸模糊集.

        2 E-廣義凹模糊集和E-廣義凸直覺模糊集

        定義2.1 設(shè)A ∈F(X),設(shè) λ1,λ2∈[0,1],且 λ1> λ2,?l∈[0,1],若存在 E:X → X,使得?x,y∈X,有 A(lE(x)+(1 -l)E(y))∧ λ1≤A(E(x))∨A(E(y))∨λ2,則稱A為 E - (λ1,λ2?一凹模糊集,簡稱E-廣義凹模糊集.

        定理2.1 設(shè)A,B∈F(X)是E-廣義凹模糊集,則A∪B是E-廣義凹模糊集.

        證明: 設(shè)λ1,λ2∈[0,1],且λ1> λ2,?l∈[0,1],?x,y∈ X,則有

        因此,A∪B是E-廣義凹模糊集.

        定理2.2 設(shè)Ai∈F(X),i∈I(I是指標(biāo)集)是E-廣義凹模糊集,則Ai是E-廣義凹模糊集.

        證明: 與定理2.1證明類似,故略.

        定理2.3 設(shè)f為歐氏空間X到Y(jié)的可逆線性映射,若A∈F(X)是E-廣義凹模糊集,則f(A)為Y上的E1-廣義凹模糊集,其中E1:f(X)→f(E(X))為E:X→X的派生函數(shù).

        證明: 設(shè)λ1,λ2∈[0,1],且λ1> λ2,?l∈[0,1],?y1,y2∈ Y,則有 ?!x1,x2∈ X,s.t.f(x1)=y1,f(x2)=y2,

        所以,

        因此,f(A)為Y上的E1-廣義凹模糊集.

        定義 2.2 設(shè) A ∈ IFS(X),設(shè) λ1,λ2∈[0,1],且λ1< λ2,?l∈[0,1],若存在E:X→X,使得?x,y∈ X,有 μA(lE(x)+(1 - l)E(y))∨ λ1≥μA(E(x))∧ μA(E(y))∧ λ2,υA(lE(x)+(1 -l)E(y))∧(1-λ1)≤υA(E(x))∧υA(E(y))∨(1 - λ2),則稱A為 E - (λ1,λ2]一廣義凸直覺模糊集,簡稱E-廣義凸直覺模糊集.

        定理2.4 設(shè)A,B∈IFS(X)是E-廣義凸直覺模糊集,則A∩B是E-廣義凸直覺模糊集.

        證明: 設(shè)λ1,λ2∈[0,1],且λ1< λ2,?l∈[0,1],?x,y∈ X,則有

        因此,AB是E-廣義凸直覺模糊集.

        定理2.5 設(shè)Ai∈IFS(X),i∈I(I是指標(biāo)集)是E-廣義凸直覺模糊集,則Ai是E-廣義凸直覺模糊集.

        證明: 與定理2.4證明類似,故略.

        定理2.6 設(shè)f為歐氏空間X到Y(jié)的可逆線性映射,若A∈F(X)是E-廣義凸直覺模糊集,則f(A)為Y上的E1-廣義凸直覺模糊集,其中E1:f(X)→f(E(X))為E:X→X的派生函數(shù).

        證明: 設(shè)λ1,λ2∈[0,1],且λ1< λ2,?l∈[0,1],?y1,y2∈ Y,則有 ?!x1,x2∈ X,s.t.f(x1)=y1,f(x2)=y2,所以有

        因此,f(A)為Y上的E1-廣義凸直覺模糊集.

        故命題得證.

        [1] 劉衛(wèi)鋒.E-廣義凸模糊集和E-廣義反凸模糊集[J].云南師范大學(xué)學(xué)報(bào),2012,32(6):39-44.

        [2] 鞠紅梅,袁學(xué)海,陳圖云.凸模糊子集的再定義[J].模糊系統(tǒng)與數(shù)學(xué),2001,15(1):68-70.

        [3] 顧惠,廖祖華.廣義Fuzzy凸集[J].模糊系統(tǒng)與數(shù)學(xué),2004,(18):153-156.

        [4] 廖祖華,黃昱,居世賓.反凸模糊集[J].江南大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2005,4(4):431 -433.

        [5] 沈正維,徐國?。寄:屯怪庇X模糊集[J].遼寧師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,1997,20(4):278 -280.

        [6] Atanassov K.Intuitionistic Fuzzy Sets[J].Fuzzy Set and Systems ,1986,20:|87 - 96.

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