李選海， 劉 鋒， 范傳強(qiáng)

(1．海軍大連艦艇學(xué)院，基礎(chǔ)部，遼寧大連116018;2．東北大學(xué)，系統(tǒng)科學(xué)研究所，遼寧沈陽110004;3．遼寧石油化工大學(xué)理學(xué)院，遼寧撫順113001)

0 引言

凸集及其性質(zhì)是最優(yōu)化領(lǐng)域的一個(gè)重要研究課題．同樣，凸模糊集也是模糊數(shù)學(xué)中研究的一個(gè)熱點(diǎn)．本文通過將 E － 廣義凸模糊集[1～4]、凹模糊集[5]和凸直覺模糊集[5～6]相結(jié)合，提出了 E － 廣義凹模糊集和E－廣義凸直覺模糊集，從而推廣了E－廣義凸模糊集，并對(duì)它們的性質(zhì)進(jìn)行了初步研究，得到了一些好的理論結(jié)果．本文把現(xiàn)有的凸模糊集理論研究向前推進(jìn)一小步，從而能引出一個(gè)相對(duì)較新的研究方向和領(lǐng)域，先行為解決未來出現(xiàn)的新問題提供理論支撐．

1 預(yù)備知識(shí)

定義 1．1[1]設(shè) A ∈F(X)，設(shè) λ，μ ∈[0，1]，且λ ＜ μ，?l∈[0，1]，若存在E:X→X，使得?x，y∈ X，有 A(lE(x)+(1－l)E(y))∨ λ≥A(E(x))∧A(E(y))∧μ，則稱A為 E －(λ，μ?一凸模糊集，簡稱E－廣義凸模糊集．

定義1．2[5]設(shè)為n維歐氏空間，X的模糊子集A被稱為凹模糊集，如果?λ∈[0，1]，x，y∈X，有A(λx+(1－λ)y)≤A(x)∨A(y)．

定義1．3[5]設(shè)X為歐氏空問，若μA為X的凸模糊集且υA為X的凹模糊集，則稱直覺模糊集(X，μA，υA)為X的凸直覺模糊集．

定理1．1[1]設(shè)A，B ∈ F(X)是廣義凸模糊集，則A∩B是廣義凸模糊集．

2 E－廣義凹模糊集和E－廣義凸直覺模糊集

定義2．1 設(shè)A ∈F(X)，設(shè) λ1，λ2∈[0，1]，且 λ1＞ λ2，?l∈[0，1]，若存在 E:X → X，使得?x，y∈X，有 A(lE(x)+(1 －l)E(y))∧ λ1≤A(E(x))∨A(E(y))∨λ2，則稱A為 E － (λ1，λ2?一凹模糊集，簡稱E－廣義凹模糊集．

定理2．1 設(shè)A，B∈F(X)是E－廣義凹模糊集，則A∪B是E－廣義凹模糊集．

證明: 設(shè)λ1，λ2∈[0，1]，且λ1＞ λ2，?l∈[0，1]，?x，y∈ X，則有

因此，A∪B是E－廣義凹模糊集．

定理2．2 設(shè)Ai∈F(X)，i∈I(I是指標(biāo)集)是E－廣義凹模糊集，則Ai是E－廣義凹模糊集．

證明: 與定理2．1證明類似，故略．

定理2．3 設(shè)f為歐氏空間X到Y(jié)的可逆線性映射，若A∈F(X)是E－廣義凹模糊集，則f(A)為Y上的E1－廣義凹模糊集，其中E1:f(X)→f(E(X))為E:X→X的派生函數(shù)．

證明: 設(shè)λ1，λ2∈[0，1]，且λ1＞ λ2，?l∈[0，1]，?y1，y2∈ Y，則有 ?!x1，x2∈ X，s．t．f(x1)=y1，f(x2)=y2，

所以，

因此，f(A)為Y上的E1－廣義凹模糊集．

定義 2．2 設(shè) A ∈ IFS(X)，設(shè) λ1，λ2∈[0，1]，且λ1＜ λ2，?l∈[0，1]，若存在E:X→X，使得?x，y∈ X，有 μA(lE(x)+(1 － l)E(y))∨ λ1≥μA(E(x))∧ μA(E(y))∧ λ2，υA(lE(x)+(1 －l)E(y))∧(1－λ1)≤υA(E(x))∧υA(E(y))∨(1 － λ2)，則稱A為 E － (λ1，λ2]一廣義凸直覺模糊集，簡稱E－廣義凸直覺模糊集．

定理2．4 設(shè)A，B∈IFS(X)是E－廣義凸直覺模糊集，則A∩B是E－廣義凸直覺模糊集．

證明: 設(shè)λ1，λ2∈[0，1]，且λ1＜ λ2，?l∈[0，1]，?x，y∈ X，則有

因此，AB是E－廣義凸直覺模糊集．

定理2．5 設(shè)Ai∈IFS(X)，i∈I(I是指標(biāo)集)是E－廣義凸直覺模糊集，則Ai是E－廣義凸直覺模糊集．

證明: 與定理2．4證明類似，故略．

定理2．6 設(shè)f為歐氏空間X到Y(jié)的可逆線性映射，若A∈F(X)是E－廣義凸直覺模糊集，則f(A)為Y上的E1－廣義凸直覺模糊集，其中E1:f(X)→f(E(X))為E:X→X的派生函數(shù)．

證明: 設(shè)λ1，λ2∈[0，1]，且λ1＜ λ2，?l∈[0，1]，?y1，y2∈ Y，則有 ?!x1，x2∈ X，s．t．f(x1)=y1，f(x2)=y2，所以有

因此，f(A)為Y上的E1－廣義凸直覺模糊集．

故命題得證．

[1] 劉衛(wèi)鋒．E－廣義凸模糊集和E－廣義反凸模糊集[J]．云南師范大學(xué)學(xué)報(bào)，2012，32(6):39－44．

[2] 鞠紅梅，袁學(xué)海，陳圖云．凸模糊子集的再定義[J]．模糊系統(tǒng)與數(shù)學(xué)，2001，15(1):68－70．

[3] 顧惠，廖祖華．廣義Fuzzy凸集[J]．模糊系統(tǒng)與數(shù)學(xué)，2004，(18):153－156．

[4] 廖祖華，黃昱，居世賓．反凸模糊集[J]．江南大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2005，4(4):431 －433．

[5] 沈正維，徐國?。寄：屯怪庇X模糊集[J]．遼寧師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，1997，20(4):278 －280．

[6] Atanassov K．Intuitionistic Fuzzy Sets[J]．Fuzzy Set and Systems ，1986，20:|87 － 96．