鄭兆岳

(安徽工貿(mào)職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)部，安徽淮南232007)

0 引言

本文考慮以下時(shí)滯捕食－食餌模型

其中 ri(t)，aii(t)，bii(t)，hi(t)，τi(t)，i=1，2，3，θi(t)，i=1，2都是[0，∞)上的正有界連續(xù)周期函數(shù)．更多的生物學(xué)解釋見(jiàn)[1～5]．

1 預(yù)備知識(shí)

引理1．1[6]L是零指標(biāo)的 Fredholm 映射，N在上是L緊的，若以下條件成立

(i)對(duì)任意的λ∈(0，1)，方程Lx= λN(x，λ)的解都滿足x??Ω∩Dom L;

(ii)對(duì)于任意的x??Ω∩Dom L，QN(x，0)≠0;

(iii)deg{JQN(x，0)，Ω ∩ Ker L，0}≠0

作以下假設(shè)

對(duì)連續(xù)的ω－周期函數(shù)f(t)，作記號(hào)

并記

2 系統(tǒng)多個(gè)周期解的存在性

定理2．1 若條件(A1)，(A2)，(A3)成立，那么系統(tǒng)(1)至少存在八個(gè)周期解．

證明: 令 xi(t)=eui(t)(i=1，2，3)，那么系統(tǒng)(1)可以寫(xiě)成

其中

考慮算子方程

Lu=λN(u，λ)，λ∈(0，1)

有

假設(shè)存在λ∈(0，1)，u∈X是系統(tǒng)(3)的一個(gè)ω周期解，那么存在 ζi，ηi∈ [0，ω]，i=1，2，3，使得．有．則

由(3)及(4)(a)得

由條件(A1)得

類(lèi)似，由(5)(a)和條件(A1)得

由(5)(b)和條件(A2)得

由(4)(c)和條件(A3)得

另一方面由(4)(a)和條件(A1)得

則

同理由(5)(a)和條件(A1)得

所以lnl+1＞lnH+1，lnl－1＜lnH－1．由[2]中引理2．2得l+1＞H+1，l－1＜H－1由(6)，(7)，(12)，(13)得lnl－1＜u1(η1)＜u1(ζ1)＜lnH－1或lnH+1＜u1(η1)＜ u1(ζ1)＜ lnl+1

則對(duì)?t∈R，有l(wèi)nl－1＜u1(t)＜lnH－1或lnH+1＜u1(t)＜lnl+1．

同理由(4)(b)、條件(A2)和[2]中引理 2．2，對(duì)?t∈R，有l(wèi)nl－1＜u2(t)＜lnH－2或lnH+2＜u2(t)＜lnl+2．

由(4)(c)、條件(A3)和[2]中引理2．2，對(duì) ?t∈R，有l(wèi)nl－3＜u3(t)＜lnH－3或lnH+3＜u3(t)＜lnl+3．顯然lnl±i，lnH±i，i=1，2，3與λ無(wú)關(guān)．取

其中 u=(u1，u2，u3)T，Ωi是 X 的有界開(kāi)集，Ωi∩Ωj，≠ ?，i≠ j，i，j=1，2，…，8．則 Ωi滿足引理1．1條件(1)．

下面驗(yàn)證引理1．1的第二個(gè)條件:QN(u，0)≠(0，0，0)T，其中

反證法:假設(shè)不成立，存在常向量u=(u1，u2，u3)T∈ ?Ωi，i=1，2，…，8，使得

由積分中值定理，有 tj?[0，ω]j=1，2，3使得

因此

所以 u∈Ωi∩R3，這與u∈?Ωi∩R3(i=1，2，…，8)矛盾．所以引理1．1的條件(2)得到驗(yàn)證．

最后驗(yàn)證引理1．1的條件(3)．考慮系統(tǒng)

有八個(gè)不同的解:

其中

由[2]中引理2．2，易證明

其中

由

得 deg{JQN(x，0)，Ωi∩ Ker L，0}≠ 0，其中 0=(0，0，0)T．這樣就證明了 Ωi滿足引理 1．1 的三個(gè)條件，所以，系統(tǒng)(1．1)至少有8個(gè)ω－正周期解．

[1] Zhien Ma．Mathematical Modelling and Studying on Species E-cology[M]．Anhui Education Press，1996．

[2] Zhao Kaihong，Ye Yuan．Four Positive Periodic Solutions to a Periodic Lotka－Volterra Predatory－Prey System with Harvesting Terms[J]．Nonlinear Anal:RWA，2010，2010，:2448 －2455．

[3] Zhengqiu Zhang，Zhenting Hou．Existence of Four Positive Periodic Solutions for a Ratio－Dependent Predator－Prey System with Multiple Exploited(or Harvesting)Terms[J]．Nonlinear Anal RWA，2010，11:1560 －1571．

[4] Zhouhong Li，Zhao Kaihong，Yongkun Li．Multiple Positive Periodic Solutions for a Non－Autonomous Stage－Structured Predator－ Prey System with Harvesting Terms[J]．Commun Nonlinear Sci Numer Simulat，2010，15:2140 －2148．

[5] Daowei Hu，Zhengqiu Zhang．Four Positive Periodic Solutions to a Lotka－Volterra Cooperative System with Harvesting Terms[J]．Nonlinear Anal:RWA，2010，11:1115 －1121．

[6] Gaines R，Mawhin J．Coincidence Degree and Nonlinear Differential Equations[M]．Berlin:Springer－ Verlag，1977．