摘要：利用“將軍飲馬”題根圖形中的軸對(duì)稱思想去解決線段和最短的問題，其解題關(guān)鍵是要確定“河”及“飲水點(diǎn)”的位置，利用作軸對(duì)稱來確定“飲水點(diǎn)”使得線段和最短.這類問題常與角、三角形、四邊形、圓、拋物線等圖形相結(jié)合以壓軸題的形式出現(xiàn)，這就要求學(xué)生不僅要熟知題根圖形，更要具備一定的抽象和推理能力。

關(guān)鍵詞：線段和最短題根圖形;將軍飲馬問題;初中數(shù)學(xué);

中圖分類號(hào)：O 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

一、“將軍飲馬”故事引入

“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”這是唐朝詩人李頎在《古從軍行》中的詩句，這句詩中隱含著這樣一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問題，通常稱為“將軍飲馬”問題.如圖1，將軍在A處，他想帶馬到河邊飲水，然后再到B地軍營視察，問怎樣選擇飲馬地點(diǎn)，才能使得路程最短？

二、題根呈現(xiàn)

“將軍飲馬”問題可以抽象成數(shù)學(xué)問題：如圖2所示，把河看作是一條直線l，在直線l的同側(cè)有兩個(gè)定點(diǎn)A、B，請(qǐng)?jiān)谥本€l在找到一點(diǎn)P，使得PA+PB最短.如果點(diǎn)A和點(diǎn)B分居在直線l的異側(cè)，那么利用“兩點(diǎn)之間，線段最短”，直接連接AB交直線l于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求.借于此，當(dāng)點(diǎn)A和點(diǎn)B分居在直線l的同側(cè)時(shí)，我們可作點(diǎn)A關(guān)于直線l對(duì)稱的對(duì)稱點(diǎn)A'，連接A'B交直線l于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求（圖3所示）.理由為：連接PA'，由軸對(duì)稱特征可知PA=PA'，從而PB+PA= PB+ PA=A'B，當(dāng)P、A'、B三點(diǎn)共線時(shí)，PB+PA最短。

圖3為“將軍飲馬”問題的基本題根圖形，利用軸對(duì)稱性質(zhì)來實(shí)現(xiàn)線段的化“折”轉(zhuǎn)“直”，從而可以利用幾何定理來證明線段和最短。

三、題根探究

“將軍飲馬”問題題根圖形常常以角、三角形、四邊形、圓、拋物線、坐標(biāo)系等具有軸對(duì)稱性質(zhì)的幾何圖形為背景，運(yùn)用于綜合性較強(qiáng)的題目中.下面將對(duì)其中的三種類型進(jìn)行探究。

評(píng)注：本題選自2021年湖南省懷化市中考第24題，此題在二次函數(shù)的背景下考察 “將軍飲馬”問題之“兩定兩動(dòng)”題根圖形的運(yùn)用，此題需要兩次構(gòu)建點(diǎn)的軸對(duì)稱，化“折”轉(zhuǎn)“直”，進(jìn)而通過共線取得最小值。

利用題根圖形“將軍飲馬”問題解決線段和最小值的問題，由于載體多元，方法多樣，對(duì)考察學(xué)生的空間想象能力、綜合推理能力等有較高的要求.雖然背景多樣，但此題根核心解題方法為化“折”轉(zhuǎn)“直”，解決不共線的最值問題.學(xué)生應(yīng)在學(xué)習(xí)過程中，抓不變的核心特征，不斷發(fā)展探究精神，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

作者簡介：王雅華（1983.07—），女，漢族，籍貫：吉林省白山市，職務(wù)：教師/職稱一級(jí)，學(xué)歷：研究生，單位：華南理工大學(xué)附屬實(shí)驗(yàn)學(xué)校、廣州市黃埔區(qū)開元學(xué)校，研究方向：初中數(shù)學(xué)“直線型”圖形教學(xué)“題根”的研究。