【摘 要】 在深度學(xué)習(xí)的視角下，復(fù)習(xí)課不僅是學(xué)生做題、鞏固解題技巧的過(guò)程，更是教師把各章節(jié)內(nèi)容整合后，呈現(xiàn)給學(xué)生進(jìn)而引發(fā)深度學(xué)習(xí)的過(guò)程.在此過(guò)程中，教師應(yīng)更多關(guān)注學(xué)生再發(fā)現(xiàn)和再創(chuàng)造能力的培養(yǎng)和提升，幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)從“學(xué)會(huì)”到“會(huì)學(xué)”的轉(zhuǎn)變.

【關(guān)鍵詞】 深度學(xué)習(xí);單元教學(xué);反比例函數(shù);中心對(duì)稱圖形

所謂深度學(xué)習(xí)，就是指在教師引領(lǐng)下，學(xué)生圍繞著具有挑戰(zhàn)性的學(xué)習(xí)主題，全身心積極參與、體驗(yàn)成功、獲得發(fā)展的有意義的學(xué)習(xí)過(guò)程[1].深度學(xué)習(xí)倡導(dǎo)單元學(xué)習(xí)[2].從“課時(shí)學(xué)習(xí)”到“單元學(xué)習(xí)”，是新時(shí)期學(xué)習(xí)方式變革的具體體現(xiàn).而復(fù)習(xí)課的過(guò)程，不僅是學(xué)生做題、鞏固解題技巧的過(guò)程，更是教師把各章節(jié)內(nèi)容整合后呈現(xiàn)給學(xué)生進(jìn)而引發(fā)深度學(xué)習(xí)的過(guò)程.在此過(guò)程中，教師應(yīng)更多關(guān)注學(xué)生再發(fā)現(xiàn)和再創(chuàng)造能力的培養(yǎng)和提升，幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)從“學(xué)會(huì)”到“會(huì)學(xué)”的轉(zhuǎn)變.

2021年6月，筆者有幸參加了2021年新課標(biāo)背景下北京—江蘇專家指導(dǎo)與交流研討會(huì)，并承擔(dān)了一節(jié)數(shù)學(xué)學(xué)科同課異構(gòu)課，授課內(nèi)容為蘇教版教材八年級(jí)下冊(cè)“反比例函數(shù)與中心對(duì)稱圖形專題”復(fù)習(xí)課，本節(jié)課是兩章內(nèi)容的跨章整合復(fù)習(xí)課，教學(xué)設(shè)計(jì)體現(xiàn)了主題單元教學(xué)思想、整體立意，能引發(fā)學(xué)生深度學(xué)習(xí).在研討會(huì)上得到了較好的呈現(xiàn)，獲得了與會(huì)專家和聽課教師的一致好評(píng)，現(xiàn)將本節(jié)課的教學(xué)實(shí)施過(guò)程與大家分享.

1 教材分析

本節(jié)課是反比例函數(shù)和中心對(duì)稱圖形這兩章內(nèi)容的跨章整合單元復(fù)習(xí)課.反比例函數(shù)是代數(shù)內(nèi)容，而中心對(duì)稱圖形——平行四邊形是幾何內(nèi)容.但是，反比例函數(shù)的圖象是雙曲線，它既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形;而平行四邊形是中心對(duì)稱圖形.因此，這兩章知識(shí)存在內(nèi)在的聯(lián)系，反比例函數(shù)的圖象和平行四邊形有一個(gè)共同點(diǎn)——中心對(duì)稱性，因此它們具備一些相同的性質(zhì)，本節(jié)課就從圖形對(duì)稱性的應(yīng)用來(lái)展開研究.

本節(jié)的授課內(nèi)容面向初二年級(jí)學(xué)生，學(xué)生已學(xué)習(xí)反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，掌握了求反比例函數(shù)的表達(dá)式、k的幾何意義等知識(shí)，同時(shí)，學(xué)生也學(xué)習(xí)了中心對(duì)稱圖形的知識(shí)，能利用平行四邊形以及特殊平行四邊形的性質(zhì)和判定進(jìn)行推理證明，具備了對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行探究的意識(shí)和能力，這都為本節(jié)課的學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ).但本節(jié)課是兩章內(nèi)容整合的復(fù)習(xí)課，不是知識(shí)的簡(jiǎn)單重復(fù)，而是要在原有知識(shí)的基礎(chǔ)上有新發(fā)現(xiàn)、新感悟，并有所突破，從而激發(fā)學(xué)生的求知欲.因此，本節(jié)課以“中心對(duì)稱”這一共同點(diǎn)，將反比例函數(shù)和中心對(duì)稱圖形的知識(shí)聯(lián)系起來(lái)，讓學(xué)生在活動(dòng)探究的過(guò)程中，感悟知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，并在活動(dòng)探究過(guò)程中感悟利用中心對(duì)稱性解決問(wèn)題的思路和方法.

2 教學(xué)目標(biāo)

1.學(xué)會(huì)利用反比例函數(shù)圖象的中心對(duì)稱性構(gòu)造平行四邊形及特殊的平行四邊形，掌握運(yùn)用圖形的中心對(duì)稱性解決有關(guān)問(wèn)題的思路和方法.

2.通過(guò)活動(dòng)探究等活動(dòng)解決問(wèn)題，提高運(yùn)用圖形的對(duì)稱性解決實(shí)際問(wèn)題的能力，滲透數(shù)形結(jié)合思想，培養(yǎng)直觀想象能力，養(yǎng)成歸納總結(jié)的良好習(xí)慣.

3.感受數(shù)學(xué)的對(duì)稱美，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心.

3 教學(xué)實(shí)施

環(huán)節(jié)1 熱身練習(xí)，溫故知新

引入語(yǔ) 本學(xué)期已接近尾聲，在復(fù)習(xí)的時(shí)候，我們最好能把具有相同點(diǎn)的知識(shí)歸類整理，以便發(fā)現(xiàn)規(guī)律，更好地解決問(wèn)題.本節(jié)課老師就與大家一起來(lái)復(fù)習(xí)反比例函數(shù)和中心對(duì)稱圖形這兩章的內(nèi)容.請(qǐng)大家思考：反比例函數(shù)與平行四邊形有哪些相同的性質(zhì)？

復(fù)習(xí)回顧：正比例函數(shù)y=kx（k>0）與反比例函數(shù)y=12x的圖象的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（2，6），則兩圖象的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)是________.

追問(wèn)1：你是如何求得兩圖象的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)的？

學(xué)生1：利用函數(shù)圖象的中心對(duì)稱性，反比例函數(shù)與正比例函數(shù)的圖形都是以原點(diǎn)為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形，因此它們的交點(diǎn)坐標(biāo)也關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

追問(wèn)2：如圖1，老師在黑板上畫出任意兩條反比例函數(shù)和正比例函數(shù)的圖象，它們的交點(diǎn)坐標(biāo)為P1（x1，y1），P2（x2，y2），你能得到什么結(jié)論？

學(xué)生2：歸納小結(jié)1：若反比例函數(shù)y=kx（k≠0）與正比例函數(shù)y=kx（k≠0）的圖象相交于點(diǎn)P1（x1，y1），P2（x2，y2），則有x1=-x2，y1=-y2.

學(xué)生3：還可以得到OP1=OP2.

設(shè)計(jì)說(shuō)明 通過(guò)做練習(xí)，回顧反比例函數(shù)的性質(zhì)，喚醒學(xué)生思維，激發(fā)學(xué)習(xí)熱情，同時(shí)讓學(xué)生體會(huì)數(shù)形結(jié)合在解題中的應(yīng)用;通過(guò)追問(wèn)2，讓學(xué)生歸納具有相同對(duì)稱中心的兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)坐標(biāo)的特征，形成規(guī)律，為環(huán)節(jié)2的活動(dòng)探究做好鋪墊.

過(guò)渡語(yǔ) 既然平行四邊形也是中心對(duì)稱圖形，我們能否利用反比例函數(shù)的圖象構(gòu)造平行四邊形呢？讓我們通過(guò)下面的“活動(dòng)探究”感受圖形中心對(duì)稱性的美妙之處！

環(huán)節(jié)2 活動(dòng)探究，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題

活動(dòng)1：如圖2，請(qǐng)你在反比例函數(shù)y=12x的圖象上任意選取四個(gè)點(diǎn)A，B，C，D畫四邊形，使四邊形ABCD是平行四邊形，并簡(jiǎn)述你的畫法.

課堂評(píng)價(jià) 教師在學(xué)生畫圖時(shí)巡視，發(fā)現(xiàn)學(xué)生主要有兩種不同的畫法，選兩位學(xué)生代表展示并敘述自己的畫法.

學(xué)生4：（投屏，如圖3所示，）在反比例函數(shù)的每一個(gè)分支上各選擇一個(gè)點(diǎn)A，B，連接AB，并畫AB的平行線CD，連接BC，AD.

學(xué)生5：（按自己的畫法將圖形畫在老師事前準(zhǔn)備在黑板上的反比例函數(shù)圖象上，如圖4所示）在反比例函數(shù)第一象限的圖象上任選兩點(diǎn)A，D，分別連接AO，DO并延長(zhǎng)，交反比例函數(shù)在第三象限的圖象于點(diǎn)C，B，順次連接A，B，C，D四點(diǎn)即可.

追問(wèn)3：學(xué)生4和學(xué)生5畫出的四邊形ABCD一定是平行四邊形嗎？為什么呢？怎樣驗(yàn)證學(xué)生4所畫的四邊形是不是平行四邊形呢？

學(xué)生6：學(xué)生4畫出的四邊形只保證了一組對(duì)邊平行，因此不一定是平行四邊形，可以連接兩條對(duì)角線AC和BD，看它們是否交于點(diǎn)O，如果不交于點(diǎn)O就說(shuō)明它的對(duì)角線不互相平分，就不是平行四邊形（教師按學(xué)生6的敘述在屏幕上畫圖驗(yàn)證）;學(xué)生5畫出的四邊形一定是平行四邊形，因?yàn)樗膶?duì)角線互相平分.

設(shè)計(jì)說(shuō)明 比較畫平行四邊形的不同方法，體會(huì)利用反比例函數(shù)圖象的中心對(duì)稱性畫圖的便捷之處，同時(shí)感受利用平行四邊形的中心對(duì)稱性（即對(duì)角線互相平分）來(lái)判定平行四邊形的簡(jiǎn)潔之處.

追問(wèn)4：觀察黑板上學(xué)生5畫出的的平行四邊形，思考：y軸把平行四邊形分成的兩部分有何關(guān)系？

追問(wèn)5：你還能找到這樣的直線嗎？你還有別的發(fā)現(xiàn)嗎？

追問(wèn)6：具備什么條件的直線能把中心對(duì)稱圖形分成全等的兩部分？

歸納小結(jié)2：經(jīng)過(guò)中心對(duì)稱圖形的對(duì)稱中心的任意一條直線把中心對(duì)稱圖形分成全等的兩部分.

設(shè)計(jì)說(shuō)明 通過(guò)追問(wèn)4—6，利用畫出的平行四邊形觀察中心對(duì)稱圖形的其它性質(zhì)，引發(fā)學(xué)生深度思考并及時(shí)歸納總結(jié)，形成規(guī)律.

活動(dòng)2：如圖2，你能否在反比例函數(shù)y=12x的圖象上選取四個(gè)點(diǎn)A，B，C，D畫四邊形，使四邊形ABCD是矩形？請(qǐng)簡(jiǎn)述你的畫法及理由.

課堂評(píng)價(jià) 學(xué)生畫圖過(guò)程中教師巡視，發(fā)現(xiàn)學(xué)生都能積極思考、勇于探索，也觀察到學(xué)生有兩種不同的畫法，選兩位學(xué)生代表展示并敘述自己的畫法及理由.

學(xué)生7：（投屏，如圖5所示）

先畫出第一、三象限的角平分線MN，然后在反比例函數(shù)的圖象上任選一點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)A畫線段AD⊥MN，交反比例函數(shù)于點(diǎn)D，分別過(guò)點(diǎn)A，D畫線段AB⊥AD，CD⊥AD，與反比例函數(shù)的另一個(gè)分支交于點(diǎn)B，C，連接BC.理由：有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形.

學(xué)生8：（投屏，如圖6所示）在反比例函數(shù)的圖象上任選一點(diǎn)A，連接AO，以O(shè)為圓心、AO為半徑作圓，交反比例函數(shù)圖象于點(diǎn)B，C，D，順次連接A，B，C，D四點(diǎn)即可.理由是：對(duì)角線互相平分且相等的四邊形是矩形.

追問(wèn)7：這樣的矩形可以作幾個(gè)？它們?cè)谖恢蒙嫌惺裁搓P(guān)系呢？

總結(jié)語(yǔ) 矩形與反比例函數(shù)的圖象不僅是中心對(duì)稱圖形還都是軸對(duì)稱圖形，利用它們的軸對(duì)稱性解決問(wèn)題也是一種比較好的方法;中心對(duì)稱性是平行四邊形和所有特殊平行四邊形共同的性質(zhì)，中心對(duì)稱性的體現(xiàn)就在于對(duì)角線互相平分.因此，利用與對(duì)角線有關(guān)的判定方法來(lái)判定特殊的平行四邊形應(yīng)該是更便捷的方法.

設(shè)計(jì)說(shuō)明 活動(dòng)2引發(fā)大部分學(xué)生深度學(xué)習(xí)，學(xué)生在動(dòng)手畫圖的過(guò)程中深刻體會(huì)反比例函數(shù)的中心對(duì)稱性和軸對(duì)稱在解題中的作用.同時(shí)，追問(wèn)7可以引發(fā)學(xué)生深度思考.

追問(wèn)8：請(qǐng)大家思考，能否在反比例函數(shù)y=12x的圖象上找出四點(diǎn)A，B，C，D，畫出菱形、正方形呢？請(qǐng)說(shuō)明理由.

設(shè)計(jì)說(shuō)明 有了活動(dòng)1和活動(dòng)2的畫圖經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生可以在原有圖象的基礎(chǔ)上進(jìn)行邏輯推理，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象能力.

過(guò)渡語(yǔ) 我們學(xué)習(xí)了利用反比例函數(shù)圖象構(gòu)造平行四邊形以及特殊的平行四邊形，又回顧了中心對(duì)稱圖形的性質(zhì)，請(qǐng)大家來(lái)解決下面類比遷移中的問(wèn)題.

環(huán)節(jié)3 類比遷移，解決問(wèn)題

1.我們?nèi)菀装l(fā)現(xiàn)：反比例函數(shù)的圖象是一個(gè)中心對(duì)稱圖形.你可以利用這一結(jié)論解決問(wèn)題.

如圖7，在同一直角坐標(biāo)系中，正比例函數(shù)的圖象可以看作是：將x軸所在的直線繞著原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α度角后的圖形.若它與反比例函數(shù)y=3x的圖象分別交于第一、三象限的點(diǎn)B，D，已知點(diǎn)A（-m，0）、C（m，0）.

（1）直接判斷并填寫：不論α取何值，四邊形ABCD的形狀一定是________;

（2）①當(dāng)α=30°，四邊形ABCD是矩形時(shí)，試求B點(diǎn)坐標(biāo)和m的值;

②觀察猜想：對(duì)①中的m值，能使四邊形ABCD為矩形的點(diǎn)B共有幾個(gè)？請(qǐng)求出它們的坐標(biāo).

（3）探究：四邊形ABCD能不能是菱形？若能，直接寫出B點(diǎn)的坐標(biāo)，若不能，說(shuō)明理由.

設(shè)計(jì)說(shuō)明 本題首先應(yīng)用了平行四邊形的中心對(duì)稱性，而后再利用在活動(dòng)2中體驗(yàn)到的方法構(gòu)造特殊的平行四邊形——矩形，構(gòu)造方法與活動(dòng)2既有聯(lián)系又有區(qū)別;同時(shí)，在求點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)還利用了方程思想、矩形的軸對(duì)稱性，鍛煉學(xué)生的直觀想象能力;在解題過(guò)程中鼓勵(lì)學(xué)生大膽發(fā)表自己的看法，培養(yǎng)學(xué)生綜合應(yīng)用相關(guān)知識(shí)解決具體問(wèn)題的能力.

2.如圖8，在矩形ABCD中，M，N，P，Q分別為邊AB，BC，CD，DA上的點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合）.對(duì)于任意矩形ABCD，下面四個(gè)結(jié)論中：

①存在無(wú)數(shù)個(gè)四邊形MNPQ是平行四邊形;

②存在無(wú)數(shù)個(gè)四邊形MNPQ是矩形;

③存在無(wú)數(shù)個(gè)四邊形MNPQ是菱形;

④至少存在一個(gè)四邊形MNPQ是正方形.

所有正確結(jié)論的序號(hào)是________.

設(shè)計(jì)說(shuō)明 該題是2019年北京市中考試題，為填空題的最后一道，當(dāng)時(shí)中考試題解讀時(shí)是用幾何畫板演示做的說(shuō)明.其實(shí)利用圖形的中心對(duì)稱性來(lái)解決本題比較方便，如果本節(jié)課學(xué)生實(shí)現(xiàn)了深度學(xué)習(xí)，那么他會(huì)畫出與矩形ABCD對(duì)角線交點(diǎn)互相重合的四邊形MNPQ，如圖8所示，進(jìn)而利用與對(duì)角線有關(guān)的判定方法對(duì)四邊形MNPQ的形狀做出判斷.

環(huán)節(jié)4 回顧反思，歸納總結(jié)

問(wèn)題：通過(guò)這節(jié)課的學(xué)習(xí)，我們對(duì)反比例函數(shù)和平行四邊形應(yīng)該又有了新的認(rèn)識(shí)，你有哪些收獲想跟同伴分享？還有哪些感悟？

設(shè)計(jì)說(shuō)明 培養(yǎng)學(xué)生養(yǎng)成及時(shí)歸納反思的良好學(xué)習(xí)習(xí)慣.

4 思考與感悟

4.1 有效的問(wèn)題串激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣

蘇霍姆林斯基曾說(shuō)：“學(xué)習(xí)如果具有思想、感情、創(chuàng)造、美和游戲的鮮艷色彩，那它就能成為孩子們深感興趣和富有吸引力的事情.”[3]本節(jié)課從反比例函數(shù)圖象和平行四邊形一個(gè)共同性質(zhì)——中心對(duì)稱性入手，找到了二者一個(gè)很好的結(jié)合點(diǎn)，建立了二者之間的聯(lián)系，讓學(xué)生感受了中心對(duì)稱性的美妙之處.而貫穿本節(jié)課始終的問(wèn)題串的推進(jìn)，極大的激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情.本節(jié)雖然是復(fù)習(xí)課，但不是知識(shí)的機(jī)械重復(fù)，是讓學(xué)生在已有知識(shí)的基礎(chǔ)上有了新的發(fā)現(xiàn)和感悟.因此，學(xué)生有較強(qiáng)的好奇心和求知欲，在探究過(guò)程中始終能夠積極參與，勇于質(zhì)疑并發(fā)表自己的觀點(diǎn).

4.2 學(xué)生真正成為“活動(dòng)與體驗(yàn)”的主體

活動(dòng)與體驗(yàn)是深度學(xué)習(xí)的核心特征.本節(jié)課活動(dòng)1和活動(dòng)2的設(shè)置，增強(qiáng)了學(xué)習(xí)過(guò)程的體驗(yàn)性、互動(dòng)性和生成性，整個(gè)活動(dòng)過(guò)程學(xué)生都能全身心地投入，真正成為了教學(xué)活動(dòng)的主體.并且在系列化問(wèn)題解決過(guò)程中，學(xué)生能逐步發(fā)現(xiàn)解決問(wèn)題的方法，感受到圖形中心對(duì)稱性的作用無(wú)處不在，也感受到了數(shù)形結(jié)合的奇妙之處，更好地發(fā)展了學(xué)生的核心素養(yǎng).

4.3 “遷移與應(yīng)用”得以有效落實(shí)

“遷移與應(yīng)用”需要學(xué)生有綜合的能力、創(chuàng)新的意識(shí).本節(jié)課的學(xué)習(xí)，滲透了數(shù)形結(jié)合思想、方程思想，培養(yǎng)了學(xué)生的直觀想象能力.而類比遷移中兩個(gè)問(wèn)題的設(shè)置，更增加了本節(jié)課內(nèi)容的深刻性與豐富性，整個(gè)學(xué)習(xí)過(guò)程，學(xué)生都能主動(dòng)參與探究活動(dòng)，學(xué)習(xí)的主動(dòng)性、自覺性都得以加強(qiáng)，學(xué)生的理論知識(shí)與實(shí)踐應(yīng)用得到有效整合，學(xué)科能力和學(xué)科素養(yǎng)均得到有效提升，最終達(dá)到了深度學(xué)習(xí)的目的.

參考文獻(xiàn)

[1]郭華.深度學(xué)習(xí)及其意義[J].課程·教材·教法，2016，36（11）：25-32.

[2]劉月霞，郭華.深度學(xué)習(xí)：走向核心素養(yǎng)[M].北京：教育科學(xué)出版社，2018：72.

[3]蘇霍姆林斯基.把整個(gè)心靈獻(xiàn)給孩子[M].唐其慈，畢淑芝，趙瑋，譯.天津：天津人民出版社，1981：154.

作者簡(jiǎn)介 程霞（1975—），女，河北石家莊人，中學(xué)高級(jí)教師，區(qū)級(jí)學(xué)科帶頭人.主要研究數(shù)學(xué)教育，曾榮獲首都勞動(dòng)獎(jiǎng)?wù)?、師德榜樣等榮譽(yù)稱號(hào)，發(fā)表論文7篇.