張小川 石寶明
【摘 要】 從數(shù)學(xué)抽象、問(wèn)題提出兩個(gè)方面解讀了2021重慶中考數(shù)學(xué)壓軸題.中考原題從數(shù)學(xué)抽象的角度給讀者展示了一種提出新問(wèn)題的思路.此問(wèn)題給讀者帶來(lái)的教學(xué)啟發(fā)是教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生提出問(wèn)題的能力和養(yǎng)成題后反思的習(xí)慣.
【關(guān)鍵詞】 數(shù)學(xué)抽象;問(wèn)題提出;解題策略
1 中考原題
(2021重慶中考數(shù)學(xué)壓軸題)在△ABC中,AB=AC,D是邊BC上一動(dòng)點(diǎn),連接AD,將AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至AE的位置,使得∠DAE+∠BAC=180°.
(1)如圖1,當(dāng)∠BAC=90°時(shí),連接BE,交AC于F.若BE平分∠ABC,BD=2,求AF的長(zhǎng);
(2)如圖2,連接BE,取BE的中點(diǎn)G,連接AG.猜想AG與CD存在的數(shù)量關(guān)系,并證明你的猜想.
2 特色解讀
2.1 立足數(shù)學(xué)抽象,示范問(wèn)題提出
本壓軸題首先在角度為特殊值的背景下,探索線段的長(zhǎng)度,繼而舍去角度的特殊值,在一般性的情況中,探索兩條線段之間的數(shù)量關(guān)系.將問(wèn)題一般化,讓學(xué)生通過(guò)抽象和概括去認(rèn)識(shí)問(wèn)題的數(shù)學(xué)本質(zhì),這是培養(yǎng)學(xué)生形成理性思維的重要思想方法,這樣的探索,容易找出問(wèn)題的本質(zhì)特征,養(yǎng)成一般性思考問(wèn)題的習(xí)慣.并且,本壓軸題從第(1)題到第(2)題的變化,展示了一個(gè)提出新問(wèn)題的思路,那就是將問(wèn)題進(jìn)行一般化處理,改變問(wèn)題的條件,探索新的結(jié)論.教育部頒布的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》和《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(大綱)》(1996年、2003年、2001年、2012年、2017年)也均提到了“……發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和提出問(wèn)題……從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)并提出問(wèn)題”[1].文獻(xiàn)[2][3][4]表明在教學(xué)活動(dòng)中融入問(wèn)題提出對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)有積極的作用,有利于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維.對(duì)于如何提出新問(wèn)題,大多數(shù)學(xué)生只能憑感覺模仿,沒(méi)有形成行之有效的提出問(wèn)題方法,本壓軸題給讀者提供了一個(gè)良好的示范.
2.2 開放解題入口,領(lǐng)會(huì)解題策略
第(2)題在第(1)題共頂點(diǎn)兩個(gè)等腰三角形的基礎(chǔ)上,給出線段的中點(diǎn),探索兩條線段之間的數(shù)量關(guān)系.通過(guò)對(duì)多種基本圖形的組合形成新問(wèn)題,因?yàn)榛緢D形的多樣性,解答的切入點(diǎn)較多,可以有多種思路,解題思路主要有:構(gòu)造中位線解答、倍長(zhǎng)中線(補(bǔ)短)解答、可以構(gòu)造中線(截長(zhǎng))解答……通過(guò)分析這些解題思路的過(guò)程,感悟問(wèn)題的多種解題思路的區(qū)別,在解決問(wèn)題時(shí),欲尋找問(wèn)題解法突破點(diǎn),可以從知識(shí)探源的角度,運(yùn)用波利亞解題表的提示語(yǔ)進(jìn)行自我提問(wèn),探索解答思路.
3 解法
思路一 構(gòu)造三角形中位線
方法1 如圖3,因?yàn)辄c(diǎn)G是BE的中點(diǎn),可以過(guò)點(diǎn)E作AG的平行線,交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,則AB=AF,EF=2AG,再證明EF=CD即可.證明兩條線段相等常用的方法有:三角形全等、角平分線的性質(zhì)、垂直平分線的性質(zhì)、平行四邊形對(duì)邊相等、平行四邊形對(duì)角互相平分、等弧所對(duì)的弦、垂徑定理……結(jié)合本題給出的條件,可以選擇用三角形全等解答,也就是證明△ADC≌△AEF.現(xiàn)在分析這兩個(gè)三角形全等的條件,因?yàn)锳B=AC,AB=AF,所以AC=AF;原題中有AD=AE,只需要再證明∠DAC=∠EAF即可.根據(jù)原題給出的條件∠DAE+∠BAC=180°,所以(∠DAC+∠CAE)+∠BAC=180°,又(∠EAF+∠CAE)+∠BAC=180°,所以∠DAC=∠EAF.得出△ADC≌△AEF后有EF=CD,因?yàn)镋F=2AG所以,CD=2AG.
方法2 如圖4,過(guò)點(diǎn)B作AG的平行線交EA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,則AE=AF=AD,BF=2AG.再證明BF=CD,也就是證明△ABF≌△ACD.現(xiàn)在三角形全等的條件已經(jīng)有AB=AC,AF=AD,只需要證明∠FAB=∠DAC即可.而∠FAB+∠BAE=180°,有∠FAB+(∠BAC+∠CAE)=180°;因?yàn)椤螪AE+∠BAC=180°,所以(∠DAC+∠CAE)+∠BAC=180°.所以∠FAB=∠DAC.得出△ABF≌△ACD后就有BF=CD,所以CD=2AG.思路二 倍長(zhǎng)中線
方法3 如圖5,因?yàn)镚是BE的中點(diǎn),延長(zhǎng)AG到F使得AG=GF,連接BF,則有△AEG≌△FBG,所以BF=AE,AG=GF,得出AF=2AG.再證明AF=CD即可.
而證明AF=CD可通過(guò)證明△ABF≌CAD實(shí)現(xiàn),現(xiàn)在已經(jīng)有AB=AC,BF=AE=AD,只要再證明∠ABF=∠CAD即可.
因?yàn)锽F∥AE,所以∠ABF+∠BAE=180°;因?yàn)椤螧AC+∠DAE=180°,所以∠BAC+(∠DAC+∠CAE)=180°,也就是(∠BAC+∠CAE)+∠DAC=180°,所以∠DAC+∠BAE=180°.得出∠ABF=∠DAC.剩下的部分與方法2類似,略.
方法4 如圖6,延長(zhǎng)AG到F使得AG=GF,連接EF,有△ABG≌△FEG.得出AB=EF=AC,AG=GF,從而有AF=2AG.要證明AF=CD,只需要證明△AEF≌△DAC即可.現(xiàn)在已經(jīng)有AE=AD,EF=AB=AC,只要再實(shí)現(xiàn)∠AEF=∠DAC即可.因?yàn)锳B∥EF,所以∠AEF+∠BAE=180°;因?yàn)椤螧AC+∠DAE=180°,所以∠BAC+(∠DAC+CAE)=180°,故(∠BAC+∠CAE)+∠DAC=180°,所以∠DAC+∠BAE=180°,所以∠AEF=∠DAC.剩下的證明過(guò)程,略.
思路三 平分線段CD
方法5 如圖7,找CD的中點(diǎn)H,連接AH并延長(zhǎng)使得AH=HF,連接DF,有△ACH≌△FDH,所以AC=AB=DF,DH=CH=12CD,DF∥AC.因?yàn)镈H是△ADF的中線,AG是△ABE的中線,只要證明△ADF≌△ABE就可證明出AG=DH.證明△ADF≌△ABE已經(jīng)具備的條件有AB=AC=DF,AE=AD,只要再探索出∠ADF=∠BAE即可.
中學(xué)數(shù)學(xué)雜志(初中版)2021年6期