焦歡歡?黃德忠

【摘 要】支點，在物理學(xué)中是指杠桿發(fā)生作用時起支撐作用、固定不動的一點。教學(xué)中，支點是指能引起學(xué)生高效學(xué)習(xí)的關(guān)鍵點。本文以“認(rèn)識百分?jǐn)?shù)”一課為例，以比較為支點，通過比較不同情境的共同點，形成對百分?jǐn)?shù)表示“關(guān)系”的認(rèn)識;比較數(shù)形結(jié)合點，深化對百分?jǐn)?shù)表示“倍比關(guān)系”的認(rèn)識;比較應(yīng)用范圍的不同點，完善對百分?jǐn)?shù)表示“何種倍比關(guān)系”的認(rèn)識;比較新舊知的異同點，構(gòu)建完整的“倍比關(guān)系”的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

【關(guān)鍵詞】比較 支點 認(rèn)知結(jié)構(gòu) 百分?jǐn)?shù)

教學(xué)中，支點是指能引起學(xué)生真正學(xué)習(xí)、高效學(xué)習(xí)的關(guān)鍵點。在認(rèn)知領(lǐng)域中，可以通過支點，起到牽一發(fā)而動全身之效，幫助學(xué)生形成完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。認(rèn)知結(jié)構(gòu)是學(xué)習(xí)者頭腦中的知識結(jié)構(gòu)。就數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)來說，認(rèn)知結(jié)構(gòu)是數(shù)學(xué)知識在學(xué)生頭腦里按照他自己的理解深度、廣度，結(jié)合個人感知、記憶、思維、聯(lián)想的特點，組合成的心理結(jié)構(gòu)。筆者倡導(dǎo)以比較為支點，通過比較，讓學(xué)生在“不同”中看到“聯(lián)系”，在“解構(gòu)”中進行“建構(gòu)”，有利于學(xué)生構(gòu)建認(rèn)知結(jié)構(gòu)。在教學(xué)中，不少教師都有意識地引導(dǎo)學(xué)生進行比較，但在何處比較，比較到何種程度，不少教師難以準(zhǔn)確把握。例如：“百分?jǐn)?shù)認(rèn)識”這節(jié)課，不少教師只是引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識了百分?jǐn)?shù)的概念，鮮有從“倍比關(guān)系”角度幫助學(xué)生建立完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。因此，筆者以“認(rèn)識百分?jǐn)?shù)”一課為例，闡述如何以比較為支點，構(gòu)建學(xué)生完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

一、比較不同情境的共同點，形成對百分?jǐn)?shù)表示“關(guān)系”的認(rèn)識

概念學(xué)習(xí)，需要學(xué)生在不同情境中去除概念非本質(zhì)特征，抽取出相同的特征，形成對概念本質(zhì)的認(rèn)識。百分?jǐn)?shù)，在不同情境中都有所運用，這需要學(xué)生在眾多情境中，能比較出不同情境的共同點，挖掘出百分?jǐn)?shù)最本質(zhì)的特征，形成對百分?jǐn)?shù)表示兩個數(shù)量之間“關(guān)系”的認(rèn)識。筆者因此展開以下教學(xué)：

師：我們看這幅圖上寫著“已充電98%”，你怎么理解這里的98%？

生1：就是把總?cè)萘靠醋鲉挝弧?”，平均分成了100份，已充電是這樣的98份。

生2：已充電量和總?cè)萘康谋仁?8 ：100。

生3：就是已充電量是總?cè)萘康?8/100 。

師：看來98%不表示具體充了多少毫安電，而是表示已充電量是總?cè)萘康?8/100 。

師：那25%呢？

生：把垃圾總量看作單位“1”，平均分成100份，可回收物占其中的25份，也就是可回收物占垃圾總量的25/100 。

師：100%羊毛？

生1：純羊毛，整件衣服都是羊毛做的。

生2：羊毛含量是整件衣服的100/100 。

師：百分?jǐn)?shù)真神奇，一個百分?jǐn)?shù)里藏著兩個數(shù)量，帶著這樣的新眼光，再看你課前搜集的百分?jǐn)?shù)，它究竟表示什么意思？

生1：羽絨占80%，80%表示羽絨含量占整件衣服的80/100 。

生2：裝一批貨，已經(jīng)裝了75%，75%表示已經(jīng)裝的貨物占總貨物的75/100 。

生3：海洋面積占71%，71%表示海洋面積占地球總面積的71/100 。

師：觀察黑板上的百分?jǐn)?shù)和你搜集的百分?jǐn)?shù)，他們表示的意思有什么共同點呢？

生1：都是誰是誰的百分之幾。

生2：都是把兩個數(shù)進行比較。

生3：都是把單位“1”平均分成100份，其中一個物體占這樣的多少份。

師：是的，實際上就表示一個數(shù)是另一個數(shù)的百分之幾，表示兩個數(shù)之間的關(guān)系。

生4：分?jǐn)?shù)表示一個數(shù)是另一個數(shù)的幾分之幾，百分?jǐn)?shù)表示一個數(shù)是另一個數(shù)的百分之幾。

師：真好，你把分?jǐn)?shù)和百分?jǐn)?shù)聯(lián)系起來了！

本環(huán)節(jié)，教師通過舉例學(xué)生搜集的“已充電98%”，讓學(xué)生解釋98%的含義，并通過對“100%羊毛”“羽絨占80%”“海洋面積占71%”等例子中“百分?jǐn)?shù)的含義”的討論，讓學(xué)生感受到百分?jǐn)?shù)含義內(nèi)在的一致性。在學(xué)生充分感受的基礎(chǔ)上，教師進一步提問：“百分?jǐn)?shù)表示的意思有什么共同點？”學(xué)生將感性的認(rèn)識上升為理性的思考——“都是兩個數(shù)在比較”“都是誰是誰的百分之幾”，進而和分?jǐn)?shù)建立聯(lián)系，分?jǐn)?shù)表示一個數(shù)是另一個數(shù)的幾分之幾，百分?jǐn)?shù)表示一個數(shù)是另一個數(shù)的百分之幾，都代表了兩個數(shù)量之間的關(guān)系。教師讓學(xué)生比較不同情境的共同點，學(xué)生在比較的過程中形成了對百分?jǐn)?shù)表示“關(guān)系”的認(rèn)識。

二、比較數(shù)形結(jié)合點，深化對百分?jǐn)?shù)表示“倍比關(guān)系”的認(rèn)識

心理學(xué)家指出，學(xué)生學(xué)習(xí)的過程，也是一個編碼的過程。編碼分為語義編碼和形象編碼。研究表明，雙重編碼有助于學(xué)生更深入地理解所學(xué)內(nèi)容。語義編碼是以語言的方式理解、建構(gòu)知識，形象編碼是以畫圖等直觀形象的方式建構(gòu)知識。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)形結(jié)合是實現(xiàn)雙重編碼的有效途徑，將抽象的數(shù)與具體的形結(jié)合在一起，有助于深化學(xué)生對百分?jǐn)?shù)的認(rèn)識。因此，教師可以引導(dǎo)學(xué)生比較數(shù)形結(jié)合點，深化其對百分?jǐn)?shù)的認(rèn)識。

師：同學(xué)們，明白了百分?jǐn)?shù)的意義，老師還給大家?guī)砹税俑駡D，想看嗎？（出示百格圖，如圖1）

師：請你幫幫老師，涂色部分怎么表示？

生：30%，表示把一個大正方形看作單位“1”，平均分成100份，涂色部分是這樣的30份。

師：那現(xiàn)在呢？（出示圖2）

生：還是30%，3/10=30/100 =30%。

師：如果這樣呢？（出示圖3）

生：30%。

師：分得更多呢？（出示圖4）

生：還是30%。

師：變成正方體了呢？（出示圖5）

生：還是30%。

師：比較一下，不一樣的圖，為什么都表示了30%？

生：雖然圖不一樣，但通過約分或者通分，最后都變成了30/100。

生：最后涂色部分和整體的比都是30 ：100。

生：都可以變成平均分成100份，取30份。

師：是的，30%表示了涂色部分與整體的倍比關(guān)系，只要倍比關(guān)系不變，表示的百分?jǐn)?shù)就不變。

學(xué)生常會有這樣的誤區(qū)：百分?jǐn)?shù)就是分母為100的分?jǐn)?shù)。如何讓學(xué)生突破分母為100的認(rèn)識？筆者認(rèn)為，比較數(shù)形結(jié)合點是一種有效策略。通過數(shù)形結(jié)合，學(xué)生深刻意識到未必一定要分成100份，不管是分成10份、400份，還是1000份，只要涂色部分與整體的倍比關(guān)系不變，表示的百分?jǐn)?shù)就不變，從而深刻認(rèn)識到百分?jǐn)?shù)含義的本質(zhì)是表示兩個量之間的倍比關(guān)系。通過數(shù)形結(jié)合點的比較，學(xué)生頭腦中建立相應(yīng)的表象，從而實現(xiàn)形象與語義的雙重編碼，深化對百分?jǐn)?shù)表示的是“倍比關(guān)系”的認(rèn)識。

三、比較應(yīng)用范圍的不同點，完善對百分?jǐn)?shù)表示“何種倍比關(guān)系”的認(rèn)識

學(xué)生從最初認(rèn)識百分?jǐn)?shù)表示兩個數(shù)量的關(guān)系，再到表示倍比關(guān)系，學(xué)生的認(rèn)知逐步加深。在此基礎(chǔ)上，教師讓學(xué)生比較百分?jǐn)?shù)的應(yīng)用范圍，探究百分?jǐn)?shù)究竟表示何種量之間的倍比關(guān)系，完善對百分?jǐn)?shù)的認(rèn)識。

師：老師這里也有兩個百分?jǐn)?shù)（如圖6），你能幫我選一選嗎？

174.7% ? ? ? ? ?10%

1.已經(jīng)下載了整個文件（ ）。

2. 2015年，我國垃圾回收利用量是2006年的（ ）。

生：第一個是10%，表示已經(jīng)下載的是整個文件的10/100，第二個選174.7%，表示把2006年的垃圾回收利用量看作單位“1”，平均分成100份，2015年的相當(dāng)于這樣的174.7份。

師：比較一下這兩個百分?jǐn)?shù)，你覺得位置能交換一下嗎？

生：不行，第一個最多是全部下載完，最多是100%，不可能超過100%。

生：第二個2015年的我國垃圾回收利用量是可以超過2006年的，可以大于100%，這說明2015年我國垃圾回收利用量超過2006年的垃圾回收利用量。

師：看來，已經(jīng)下載的是整個文件的一部分，是不能超過100%，而2016年和2005年的垃圾回收利用量是兩個獨立的量，是可以超過100%，看來，在表示部分與整體的倍比關(guān)系時，百分?jǐn)?shù)不能超過100%，而在表示兩個獨立的量的倍比關(guān)系時，不受100%的限制，是可以超過100%的。

在以往教學(xué)中，學(xué)生對超過100%的百分?jǐn)?shù)感到困惑，不少教師只是一帶而過，而沒有充分重視。百分?jǐn)?shù)是否超過100%，這和百分?jǐn)?shù)表示何種倍比關(guān)系有關(guān)。因此本環(huán)節(jié)，筆者通過比較兩種情境下，174.7%和10%這兩個百分?jǐn)?shù)能否互換，讓學(xué)生意識到：在表示已經(jīng)下載和整個文件這樣部分與整體的倍比關(guān)系時，百分?jǐn)?shù)不能超過100%，而在表示兩個獨立的量的倍比關(guān)系時，是可以超過100%的。通過比較應(yīng)用范圍不同點，學(xué)生對百分?jǐn)?shù)的認(rèn)識更加完善、全面。

四、比較新舊知的異同點，構(gòu)建完整的“倍比關(guān)系”的認(rèn)知結(jié)構(gòu)

教育心理學(xué)家皮亞杰提出，人的認(rèn)知學(xué)習(xí)過程分為同化和順應(yīng)兩種。同化是指新知識可以內(nèi)化到已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，而順應(yīng)是指學(xué)習(xí)者需要改變認(rèn)知結(jié)構(gòu)以此來適應(yīng)新知。在教學(xué)中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生比較新舊知識的異同點，讓學(xué)生的認(rèn)知進行同化和順應(yīng)的過程，擴充并改組原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。如教師展開以下的教學(xué)，幫助學(xué)生形成完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

師：接下來哪些分?jǐn)?shù)能改寫成百分?jǐn)?shù)，哪些不能？（出示圖7）

生1：第一題的第一個分?jǐn)?shù)不能，因為后面有單位，表示具體的數(shù)量，而75/100后面沒有單位，表示原來是100份，運走的是這樣的75份，表示一種關(guān)系，而百分?jǐn)?shù)也表示關(guān)系，所以75/100可以寫成百分?jǐn)?shù)，即75%。

生2：第二題前兩個分?jǐn)?shù)后面都有單位，表示具體的數(shù)量，不能改寫成百分?jǐn)?shù)，最后的50/100表示23/100米是46/100米的100份中的50份，是表示關(guān)系，可以改寫成百分?jǐn)?shù)。

師：看來，只有表示關(guān)系的分率才可以改寫成百分?jǐn)?shù)，百分?jǐn)?shù)又叫作百分率，百分?jǐn)?shù)還和比有關(guān)，你能把百分?jǐn)?shù)化成比嗎？

師：將以前學(xué)的分率和比與今天學(xué)習(xí)的百分?jǐn)?shù)進行比較，你有什么想說的？

生3：我們學(xué)的分率和比是表示兩個數(shù)之間的倍比關(guān)系。今天學(xué)習(xí)的百分?jǐn)?shù)，它不是表示具體的數(shù)量，也是表示兩個數(shù)之間的倍比關(guān)系。

師：你把新舊知進行了比較，發(fā)現(xiàn)不管分率、比、百分?jǐn)?shù)，實際上都表示了兩個數(shù)之間的倍比關(guān)系，真好！

教師通過引導(dǎo)學(xué)生比較新舊知識的異同點，發(fā)現(xiàn)百分?jǐn)?shù)就是百分率，同化于原有分率的認(rèn)知下，再通過將百分?jǐn)?shù)與分率、比進行縱向聯(lián)系，在認(rèn)知中形成“倍比關(guān)系”這樣更上位的結(jié)構(gòu)，從而讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)，不管分率、比、百分?jǐn)?shù)，實際上都表示了兩個數(shù)之間的倍比關(guān)系。教師將倍比關(guān)系作為分率、比、百分?jǐn)?shù)的“根”與“魂”，進行縱向聯(lián)系，同時通過橫向聯(lián)系，讓學(xué)生認(rèn)識到百分?jǐn)?shù)的讀寫、作用、意義、范圍，通過橫向、縱向的聯(lián)系，形成結(jié)構(gòu)化的板書，幫助學(xué)生形成完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

注：本文系江蘇省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃2020年度課題“指向課堂核心關(guān)切的支點式學(xué)習(xí)研究”（立項批準(zhǔn)號：Xc-c/2020/08）的階段性研究成果。