童富清

[摘 要]教學(xué)的序，是在明確教材的序和學(xué)生認(rèn)知的序的基礎(chǔ)上形成的教學(xué)之路。教師應(yīng)該遵循教材知識的序，尊重學(xué)生認(rèn)知的序，一步步幫助學(xué)生解決問題。文章通過分析“打電話”一課的教材內(nèi)容和學(xué)生的學(xué)情，重構(gòu)了教學(xué)的序，重新鋪就一條學(xué)生構(gòu)建知識、形成能力的教學(xué)路徑，為建立數(shù)學(xué)模型，提升數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)鋪就扎實(shí)的“明理”之路。

[關(guān)鍵詞]學(xué)情分析;改序;立型

[中圖分類號] G623.5[文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A[文章編號] 1007-9068（2021）29-0025-03

一、學(xué)情分析

“優(yōu)化”是很重要的數(shù)學(xué)思想，人教版數(shù)學(xué)教材非常注重結(jié)合具體教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行“優(yōu)化”思想的滲透。四年級上冊“數(shù)學(xué)廣角——優(yōu)化”借助烙餅、沏茶等簡單事例，讓學(xué)生嘗試在多種方案中尋找最優(yōu)方案。五年級教材中“打電話”雖然隸屬“綜合與實(shí)踐”領(lǐng)域，但目的也是讓學(xué)生進(jìn)一步體會“優(yōu)化”思想在生活中的應(yīng)用。

那么，教材安排了怎樣的序呢？教材在呈現(xiàn)了打電話的問題情境后，讓學(xué)生探究交流、反饋，再發(fā)現(xiàn)規(guī)律、應(yīng)用規(guī)律。筆者嘗試用教材教學(xué)的序——例題、預(yù)設(shè)以及教學(xué)參考書中提供的探究表格展開教學(xué)。

1.研讀教材的序，厘清教學(xué)邏輯的序

（1）材料呈現(xiàn)重學(xué)生的原認(rèn)知。

教材呈現(xiàn)問題情境：一個(gè)合唱隊(duì)共有15人，暑假期間有一個(gè)緊急演出， 老師需要盡快通知到每一個(gè)隊(duì)員。如果用打電話的方式，每分鐘通知1人，請幫助老師設(shè)計(jì)一個(gè)打電話的方案。

以文字描述創(chuàng)設(shè)情境，引導(dǎo)學(xué)生用自己喜歡的方式記錄下來，這樣的材料呈現(xiàn)重視學(xué)生的原認(rèn)知，有利于學(xué)生形成表征，進(jìn)行探究。

（2）問題推進(jìn)重?cái)?shù)學(xué)方式表征。

在反饋時(shí)，教材又安排了用怎樣的序推進(jìn)教學(xué)呢？首先反饋一個(gè)一個(gè)通知的方案（如圖1），然后反饋分組通知的方案（如圖2），最后反饋?zhàn)顑?yōu)的通知方案（如圖3）。

教材呈現(xiàn)了符號化表征，通過交流不同的記錄方式，有利于學(xué)生獲取數(shù)學(xué)表征的方法。

（3）規(guī)律探究重?cái)?shù)學(xué)模型優(yōu)化。

在學(xué)生找到最優(yōu)通知方案后，教師引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、交流，去發(fā)現(xiàn)這種方案中隱含的規(guī)律，并用表格的方式來表示發(fā)現(xiàn)的規(guī)律。表格主要統(tǒng)計(jì)了三項(xiàng)內(nèi)容：第幾分鐘后新接到通知的隊(duì)員人數(shù)，第幾分鐘后所有接到通知的隊(duì)員和老師的總?cè)藬?shù)，第幾分鐘后所有接到通知的隊(duì)員總?cè)藬?shù)。這三項(xiàng)內(nèi)容呈現(xiàn)了解決問題過程中的幾個(gè)關(guān)鍵數(shù)據(jù)，如果學(xué)生能夠完成這個(gè)表格，數(shù)學(xué)模型的建立就變得簡單了。

2.剖析認(rèn)知的序，厘清自主建構(gòu)方式

筆者嚴(yán)格按照教材和教師參考用書上的材料、教學(xué)之序進(jìn)行教學(xué)，但是發(fā)現(xiàn)其與學(xué)生認(rèn)知的序不相匹配，主要問題有三個(gè)。

（1）怎樣的素材呈現(xiàn)更有利于學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的發(fā)生？

打電話通知15人的數(shù)據(jù)太大，學(xué)生表征過程非常困難，即使能夠完成表征，也會因?yàn)閳D示雜亂，影響了學(xué)生的觀察和思考。

比如，圖4的方案，這位學(xué)生顯然知道最優(yōu)方案是接到電話的每個(gè)人都不能空閑，可惜他的圖畫得不夠有序、清楚，導(dǎo)致有個(gè)別人空閑了;圖5的方案，這位學(xué)生能正確地表示出打電話的過程，但看上去仍舊比較亂。究其原因，是因?yàn)槔}中的數(shù)據(jù)過大，影響了學(xué)生的表征過程。

（2）怎樣的問題推進(jìn)更有利于學(xué)生數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)的積累？

圍繞例題，學(xué)生一般都會得出如教材列舉的三種打電話的方案。從理論上說，選擇這三種方案的人數(shù)應(yīng)該是從多到少的，因此教材也按照此序列進(jìn)行反饋。但實(shí)際情況完全出乎預(yù)料，根據(jù)試教班級的統(tǒng)計(jì)（全班45人），結(jié)果如圖6。

學(xué)生已經(jīng)有了“優(yōu)化”的經(jīng)驗(yàn)，全班只有1人用“逐個(gè)通知”方案，雖然還有很多學(xué)生不能找到“最優(yōu)通知”方案，但還是清楚接到電話后要馬上通知其他人。

（3）怎樣的模型構(gòu)建更有利于學(xué)生數(shù)學(xué)模型的優(yōu)化？

表格里的三項(xiàng)內(nèi)容呈現(xiàn)了幾個(gè)關(guān)鍵數(shù)據(jù)，但小學(xué)生思考問題的視角是比較單一的，他們擅長解決簡單、表述清楚的問題，三項(xiàng)復(fù)雜的統(tǒng)計(jì)直接讓探究后找規(guī)律的錯(cuò)誤率上升到了60%左右（如圖7）。

筆者發(fā)現(xiàn)學(xué)生認(rèn)知的序和教材的序兩者不相匹配，需要進(jìn)行調(diào)整，學(xué)生模型的建立需要依賴符合認(rèn)知規(guī)律的序。

二、設(shè)計(jì)思考

正是基于以上的學(xué)情分析，筆者認(rèn)為有必要重新調(diào)整設(shè)計(jì)思路，改變教學(xué)的序，主要考慮以下三個(gè)方面。

1.讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)真實(shí)、有效發(fā)生

教材的問題情境中，教師要通知15人，因?yàn)閿?shù)據(jù)過大，對學(xué)生畫圖及嘗試不同的解決方案都有一定的困難。把要通知的學(xué)生人數(shù)改成7人，這樣一來，大部分學(xué)生都能正確、清楚地表示出打電話的過程。材料的選擇要有助于學(xué)生的表征順利展開，讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有效發(fā)生。

2.讓數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)合理、合情發(fā)展

從統(tǒng)計(jì)結(jié)果看，選擇“逐個(gè)通知”方案的學(xué)生只有1人，更多的是選擇了“分組通知”與“最優(yōu)通知”方案。基于學(xué)情，教師可以改變反饋的序，從反饋“最優(yōu)通知”方案入手，把最主要的方法在第一時(shí)間夯實(shí)，另外兩種方案在比較中帶過即可。學(xué)生已經(jīng)有了優(yōu)化的經(jīng)驗(yàn)，改變了反饋的序，學(xué)生的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)就能合理、合情的發(fā)展。

3.讓數(shù)學(xué)模型適度、適時(shí)建立

既然表格中的三項(xiàng)內(nèi)容已經(jīng)影響到學(xué)生的觀察和歸納，筆者就試著精簡其中的內(nèi)容，改為“知道消息的總?cè)藬?shù)”一項(xiàng)內(nèi)容。簡化后的表格更有利于學(xué)生去探究規(guī)律、發(fā)現(xiàn)規(guī)律，數(shù)學(xué)模型就能適度、適時(shí)地建立。

三、教學(xué)設(shè)計(jì)

1.呈現(xiàn)素材，多元探究

（1）學(xué)習(xí)材料：一個(gè)合唱隊(duì)共有7人，暑假期間有一個(gè)緊急演出，老師需要盡快通知到每一個(gè)隊(duì)員?，F(xiàn)在只能用打電話的方式，每分鐘通知1人，所有隊(duì)員接到通知至少需要幾分鐘？

（2）學(xué)生讀題。

（3）嘗試解答。

（4）整體反饋：教師課件展示“最優(yōu)通知”方案的思考過程（如圖8）。

（5）體會方法：“最優(yōu)通知”方案與“逐個(gè)通知”“分組通知”這兩種方案相比，為什么用時(shí)更少？

【設(shè)計(jì)意圖：改變教材預(yù)設(shè)的教序，從相互轉(zhuǎn)告的“最優(yōu)通知”到“逐個(gè)通知”“分組通知”，讓學(xué)生在列舉和比較多種方案中強(qiáng)化最優(yōu)的方案?！?/p>

2.啟發(fā)質(zhì)疑，引發(fā)思考

（1）啟發(fā)質(zhì)疑：剛才，同學(xué)們用畫圖的方法成功解決了一個(gè)打電話的問題，這樣的思考方式到底有什么價(jià)值呢？

（2）引發(fā)思考：如果需要通知的人數(shù)是8人、10人，甚至更多人時(shí)，你有什么想法？

（3）達(dá)成共識：在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，我們可以從一道題入手，猜想這一類題背后是否隱藏著一定的規(guī)律。

【設(shè)計(jì)意圖：通過一道題的研究，引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用類似的方法去探究一類題背后隱藏的規(guī)律，在幫助學(xué)生解決一類問題的同時(shí)，使學(xué)生的思維走向深入。】

3.方法應(yīng)用，提煉模型

（1）自主探究：如果要通知8人、9人或更多人時(shí)，至少需要幾分鐘？如果給你4分鐘、5分鐘或更多時(shí)間，最多可以通知幾人？

（2）整體反饋：把探究的結(jié)果整理成表格。

[第幾分鐘后 1 2 3 4 5 6 … n 知道消息的總?cè)藬?shù) 2 4 8 16 32 64 … 2n ]

（3）提煉模型：通過剛才的研究，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？1分鐘后，知道消息的總?cè)藬?shù)是2，只有1個(gè)2;2分鐘后，知道消息的總?cè)藬?shù)是2×2;3分鐘后，知道消息的總?cè)藬?shù)是2×2×2……n分鐘后，知道消息的總?cè)藬?shù)是n個(gè)2相乘，記作2的n次方。

（4）嘗試應(yīng)用模型：根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，10分鐘最多可以通知多少人？我們班有50人，最少在幾分鐘里就能通知完全班同學(xué)？

【設(shè)計(jì)意圖：用表格的形式，讓學(xué)生觀察、分析，抓住內(nèi)在規(guī)律和本質(zhì)特點(diǎn)，建立數(shù)學(xué)模型，再利用算式、圖形進(jìn)一步理解規(guī)律，最后嘗試用規(guī)律解決打電話的實(shí)際問題，進(jìn)一步體會優(yōu)化思想，鞏固建模?！?/p>

4.應(yīng)用模型，解決問題

練習(xí)1：1棵浮萍漂流到一個(gè)池塘里，1天后變成2棵，2天后變成4棵……40天后就長滿了整個(gè)池塘。5天后池塘里有幾棵浮萍？

練習(xí)2：有人說“將一張足夠大的紙連續(xù)對折30次，折出的紙的高度將超過珠穆朗瑪峰的海拔高度”，這是真的嗎？

【設(shè)計(jì)意圖：在練習(xí)中進(jìn)一步運(yùn)用規(guī)律解決生活中的實(shí)際問題，鞏固模型，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識。】

5.比較異同，明晰主旨

這節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容是打電話，為什么練習(xí)的習(xí)題卻是和打電話無關(guān)的問題？

【設(shè)計(jì)意圖：通過比較、溝通后，讓學(xué)生知道打電話不是一道題，而是一種解決問題的思路和方法，讓學(xué)生真正從解題的技能走向解題的模型?！?/p>

四、課后反思

通過“打電話”的“綜合與實(shí)踐”課，學(xué)生不但增長了知識，更學(xué)習(xí)了解決問題的方法。通過教學(xué)，筆者有如下三點(diǎn)思考。

1.“循”知識之序，螺旋上升

數(shù)學(xué)知識一般是由易到難，呈螺旋上升的。知識之間有橫向與縱向聯(lián)系，教師要讀懂聯(lián)系，從立體宏觀上看知識，厘清知識的序列，促進(jìn)學(xué)生知識的建構(gòu)。

這節(jié)課從打電話盡快通知7人的最優(yōu)方案開始，激發(fā)了學(xué)生的探索欲望，讓學(xué)生在觀察、分析和歸納中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，進(jìn)而應(yīng)用規(guī)律解決問題，最終促進(jìn)學(xué)生知識的內(nèi)化。

2.“詢”認(rèn)知之序，問題引領(lǐng)

奧蘇伯爾曾說：“教育心理學(xué)用一句話概括，就是知道兒童已經(jīng)知道了什么。”教師可以通過前測、問卷或當(dāng)堂詢問，明白學(xué)生“已知”的，提煉學(xué)生“未知、想知”的，再以大問題引領(lǐng)，層層探究剖析，建構(gòu)新知。

在學(xué)生讀懂題目意思，明白學(xué)習(xí)要求后，讓學(xué)生用自己喜歡的方式表示出來，不論是分組通知，還是最優(yōu)方案，鼓勵(lì)學(xué)生大膽地運(yùn)用文字、符號、算式或圖示等不同的方式來表征自己的思維過程。在反饋的過程中，組織學(xué)生進(jìn)行展示和交流：你是怎樣設(shè)計(jì)的？你們有沒有更好的建議？這些表示方式有什么不同？在交流的過程中逐步明晰最優(yōu)化的表示方式，幫助學(xué)生形成有序、全面思考問題的好習(xí)慣。

3.“尋”教學(xué)之序，深度學(xué)習(xí)

理想的課堂應(yīng)是教材的序和學(xué)生認(rèn)知的序相結(jié)合，進(jìn)行統(tǒng)籌思考和預(yù)設(shè)，探尋正確的教學(xué)之序，將學(xué)習(xí)引向深度。

在解決“一個(gè)老師通知7個(gè)學(xué)生至少要幾分鐘”的問題后，教師引導(dǎo)學(xué)生將規(guī)律和方法內(nèi)化為活動經(jīng)驗(yàn)，并按照“模式”重復(fù)運(yùn)用這種經(jīng)驗(yàn)，讓學(xué)生自己舉例“如果要通知8人、9人或更多人時(shí)，至少需要幾分鐘？如果給你4分鐘、5分鐘或更多時(shí)間，最多可以通知幾人？”在數(shù)據(jù)較大時(shí)，圖示法顯然不是最佳方案，這時(shí)就需要學(xué)生在理解規(guī)律的基礎(chǔ)上利用表格、算式或圖示來解決，促進(jìn)學(xué)生思維向更高層次發(fā)展。

教師“教”的主旨是為了更好地促進(jìn)學(xué)生的“學(xué)”，在以“學(xué)為中心”教學(xué)觀的指引下，以合理的學(xué)習(xí)之序?yàn)樗{(lán)本，恰當(dāng)?shù)亟M合相關(guān)的學(xué)習(xí)素材，方能演繹出精彩的課堂，提升學(xué)生的核心素養(yǎng)。

（責(zé)編 李琪琦）