【摘要】本文論述小學高段數(shù)學合情推理教學策略：在概念與規(guī)則學習中滲透合情推理方法、利用數(shù)學建模訓練合情推理能力、設計多元化立足點推動合情推理教學。

【關鍵詞】小學數(shù)學 高段 合情推理 教學策略

【中圖分類號】G 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2021）29-0139-02

演繹推理和合情推理是數(shù)學推理應用中兩種較為普遍的推理形式，而合情推理在小學階段應用更多。所謂“合情推理”，是學生在學習過程中根據(jù)已具備的經(jīng)驗，利用觀察、歸納、類比、聯(lián)想、實驗等多種非演繹的思維形式，獲得猜測結果或推斷出某些結論。小學高段學生已積累一定的生活經(jīng)驗，對周圍事物形成一定的認知，思維能力也在逐漸增強，能夠利用已有經(jīng)驗對新接觸的事物進行歸納和類比，為自己的猜測提供依據(jù)。因此，小學高段是學生數(shù)學合情推理能力發(fā)展的關鍵時期。自新課改實施以來，小學生數(shù)學合情推理能力培養(yǎng)逐漸被重視，但受到培養(yǎng)策略及途徑的局限，每當遇到不依靠精算解決的問題或以邏輯思維無法推測出結論的問題時，學生往往不能主動采用直觀思維進行合情推理?？梢姡瑢W生合情推理能力的培養(yǎng)沒有有效落實到小學數(shù)學教學中。以下，筆者結合自身的教學實踐，從幾個方面談談在小學高段實施數(shù)學合情推理教學的策略。

一、學習概念與規(guī)則，滲透合情推理方法

合情推理可分為歸納推理和類比推理兩種方式。其中，歸納推理是由某類事物中部分對象具有的屬性，推測出此類事物全部對象都具有這些屬性的推理，是由部分向整體、個別向一般的推理過程;類比推理則是根據(jù)事物間某些相似或相同的屬性，通過比較推斷出它們在其他屬性上也相同的推理過程，是由特殊向特殊的推理過程。概念和規(guī)則是小學數(shù)學基礎教學內(nèi)容之一，旨在指導學生對大量同類事物進行觀察、比較、分析、歸納，從中概括出此類事物的共同特征，學生在這一過程中可以嘗試識別規(guī)律，形成初步的猜想，并設法驗證猜想的正確性。這一內(nèi)容的教學，對提升學生的歸納推理能力具有重要意義。此外，學生在嘗試形成概念和規(guī)則時，往往偏向比較相似之處、搜索可類比對象、采用屬性推理等方式，這些推理活動可視為類比推理的過程。因此，教師在進行概念與規(guī)則教學時，應當注重將合情推理的每一種方式落實到教學設計中，將合情推理能力訓練滲透在課程之中。

例如，在教學人教版數(shù)學五年級下冊《分數(shù)的意義和性質(zhì)》一課時，在導入環(huán)節(jié)筆者提出一個問題：“150÷50的商是多少？如果把150和50同時擴大2倍，那么相除的結果會有變化嗎？同時縮小10倍呢？”引導學生回憶四年級時學過的“商不變的性質(zhì)”相關內(nèi)容。隨后筆者將問題內(nèi)的除式改寫為另一種形式：150÷50=[（? ? ? ? ? ? ）（? ? ? ? ? ? ）]和（150×2）÷（50×2）=[（? ? ? ? ? ? ）×（? ? ? ? ? ? ）（? ? ? ? ? ? ）×（? ? ? ? ? ? ）]=[（? ? ? ? ? ? ）（? ? ? ? ? ? ）]，再次向學生提問：“既然分數(shù)與除法有著明顯的相似之處，在整數(shù)除法中存在商不變的性質(zhì)，那在分數(shù)中會不會也有類似的性質(zhì)呢？”此處筆者用“那在分數(shù)中會不會也有類似的性質(zhì)”這樣的問題引發(fā)學生猜測，正是滲透類比推理的過程。學生在這一過程中嘗試用整數(shù)除法中“商不變”的屬性來推理分數(shù)中的類似屬性，從中發(fā)現(xiàn)分數(shù)的性質(zhì)。

正式進入課程內(nèi)容后，筆者利用課件展示三個完全一樣的正方形，將其分別平均分為2份、4份和8份，將其中的1部分、2部分和4部分涂黑，并用分數(shù)形式[12]、[24]、[48]來表示（見圖1），然后讓學生根據(jù)圖示和分數(shù)的意義思考這三個分數(shù)的變化規(guī)律。學生仔細觀察之后，認為[12]是把一個正方形平均分為2份并取其中1份，而將其中1份再平均分為2份，便能獲得1×2=2份。此時如果想取得和之前一樣多的數(shù)量，那么必須取2份，由[12][×2]=[24]得到第二個分數(shù)[24]，可見[12]和[24]的大小是相等的。同樣道理，[24]與[48]也是相等的，因此可以認定[12]=[24]=[48]。當學生明確這一結論之后，筆者讓他們舉出幾個類似的例子，并引導他們嘗試識別其中的規(guī)律，利用歸納推理提出猜想，再用實例來驗證猜想。整堂課有效地滲透了類比推理和歸納推理的方法，讓學生在主動猜想中完整地經(jīng)歷推理過程，高質(zhì)量地完成合情推理的訓練。

二、建立數(shù)學模型，訓練合情推理能力

數(shù)學模型是一種運用數(shù)理邏輯方法和數(shù)學語言構建的抽象而簡化的結構，通常是為了反應部分現(xiàn)實世界或為實現(xiàn)某種特殊目的、解決實際問題而建。學生學習概念、推導公式及探索數(shù)量關系的過程，實際上是建構數(shù)學模型解決實際問題的過程。探索未知的世界離不開猜測和推理，所以建構數(shù)學模型也離不開合情推理的輔助。教師指導學生利用數(shù)學模型解決實際問題，應同時注重學生合情推理能力的訓練。

例如，在教學人教版數(shù)學五年級上冊“植樹問題”時，筆者為幫助學生發(fā)現(xiàn)“兩端都種”的規(guī)律，創(chuàng)設了一個具體情境：在校園的主路上種植美人蕉，全長40米，每隔2米種一棵，要求兩端都種，請問一共需要多少棵美人蕉？面對這一問題，筆者要求學生先利用以往經(jīng)驗做一個大致數(shù)量的猜測。許多學生表示40米的路程太長，且每2米種一棵美人蕉，比較難完成猜測的構想，而且兩端都種的要求也不利于用除法進行精確計算。在此情形下，筆者提示學生用一條等比例縮小的線段模擬這條主路。受此啟發(fā)學生畫了一條40cm的線段作為學校主路，并在線段上每隔2cm畫上一個圓點表示美人蕉。但在實踐過程中，學生發(fā)現(xiàn)即使將實物縮小成線段模型，在計算圓點的數(shù)量時仍然繁瑣且費時費力。于是，筆者又啟發(fā)學生取40cm線段其中一小段，再按比例畫圓點。有學生取了8cm，圓點之間的間隔距離仍為2cm。圖示畫出之后，該生發(fā)現(xiàn)8cm的線段，間隔數(shù)為4，圓點數(shù)為5，則表示當路長為8米時，間隔數(shù)為4，棵數(shù)為5。由此推出，當路長為16米時，間隔為8，棵數(shù)為9;當路長為32米時，間隔數(shù)為16，棵數(shù)為17。這一過程意在引導學生利用多種簡化實例進行歸納識別，從中總結規(guī)律。在本道植樹題目中，學生經(jīng)過簡化實例后發(fā)現(xiàn)規(guī)律：間隔數(shù)=總距離÷間隔距離，棵數(shù)=間隔數(shù)+1，于是利用這一規(guī)律計算題目：40÷2=20，20+1=21，共計需要21棵美人蕉。

可見，建構數(shù)學模型是解決數(shù)學問題的有效途徑，而建構模型時可以充分借助合情推理的各種方式，通過推理歸納出規(guī)律，再將規(guī)律用于題目的計算，最終得出計算結果。學生在建立數(shù)學模型過程中，經(jīng)歷的猜測、類比、歸納，實際上是對他們合情推理能力的一種訓練、鞏固、提升。

三、設計多元立足點，推動合情推理教學

合情推理能力的培養(yǎng)需要緊密結合課型及教學目標，并立足學生的學習需求，設計多元化教學策略，如立足解決學生的認知困惑，以啟發(fā)性問題引導學生推理;立足學生的已有知識，引導學生進行自主化推理訓練等。在教學人教版數(shù)學五年級上冊《三角形的面積》一課時，筆者著眼不同立足點設計教學情境，以推動合情推理的教學。

（一）以啟發(fā)性問題引導推理

合情推理能力的培養(yǎng)需要學生產(chǎn)生邏輯思維的跳躍，這一過程通常建立在學生存在認知困惑的基礎上。當學生在學習過程中經(jīng)歷質(zhì)疑、解答、領悟，才能深刻理解所學內(nèi)容，對合情推理的應用產(chǎn)生深切的體會。因此，在教學中引導學生自主發(fā)現(xiàn)認知困惑，是開展合情推理訓練的重要步驟。而提出啟發(fā)性的問題，則是引導學生自主發(fā)現(xiàn)認知困惑的有效手段。

本課是教學三角形面積的計算，為了讓學生準確理解三角形面積計算公式是如何推導出來，筆者設計了一系列啟發(fā)性問題，首先展示兩個一樣的直角三角形，讓學生思考：用它們能拼成什么樣的圖形？有學生拼出平行四邊形，筆者就此提問：“大家認為每個直角三角形的面積與它們拼成的平行四邊形面積之間有什么聯(lián)系？”當學生完成討論后，筆者再依次展示兩個一樣的銳角三角形、兩個一樣的鈍角三角形，讓學生思考同樣的問題，并在此基礎上追問：“大家所拼成的圖形與三角形之間存在什么樣的關系？”這些啟發(fā)性的問題引發(fā)了學生的認知困惑，吸引著學生不斷思考，逐步進行合情推理，進而發(fā)現(xiàn)兩個完全一樣的三角形能夠拼成一個平行四邊形，且平行四邊形的底就是三角形的底，平行四邊形的高相當于三角形的高，一個三角形的面積相當于它們拼成的平行四邊形面積的一半，由此推導出三角形面積計算公式為S=a×h÷2。

（二）強調(diào)自主化推理

合情推理能力的培養(yǎng)要以自主體驗為基礎，學生只有親歷推理過程，才能夠真切感知合情推理的含義和價值。對此，教師在課堂教學中要盡可能為學生創(chuàng)造自主體驗的機會，強調(diào)通過動手實踐和操作完成猜測、比較、分析和驗證的過程，避免“人云亦云”，實現(xiàn)“知其然”又“知其所以然”，由此強化自主合情推理訓練。

在本節(jié)課中的操作環(huán)節(jié)，筆者讓學生帶著命題“用兩個相同的三角形能拼成什么樣的圖形”“每個三角形的面積與它們拼成的平行四邊形面積之間有什么樣的關系”，嘗試利用自制的三角形紙片學具進行操作。在操作過程中，學生發(fā)現(xiàn)兩個三角形能夠拼成一個平行四邊形這一事實，從而推測出三角形的面積應當是這一平行四邊形的一半。隨后，學生又利用不同的三角形繼續(xù)進行拼接實驗，驗證了以上的推測，最終歸納出三角形與平行四邊形之間的關系，推導出三角形的面積公式。動手操作的過程，就是自主體驗的過程。學生在自主體驗中，通過不斷嘗試、猜測、歸納、驗證，最終獲得結論，完成命題的合情推理過程，使認知獲得升華。

綜上所述，在小學高段實施數(shù)學合情推理教學，需要教師充分利用概念與規(guī)則的學習，積極進行合情推理方法的滲透，同時結合數(shù)學建模加強合情推理能力的訓練，并立足于學生多元化的學習需求，設計啟發(fā)性問題、鼓勵自主化推理，從多個層面提高學生數(shù)學合情推理能力培養(yǎng)的質(zhì)量。

【作者簡介】黃玉云（1978— ），漢族，福建上杭人，大學本科學歷，一級教師，現(xiàn)就職于福建省龍巖市上杭縣南陽中心小學，研究方向為小學數(shù)學教學。

（責編 黃健清）