裘一能 裘迪波

【摘要】本文以特級(jí)教師葉柱《數(shù)與形》教學(xué)片段賞析為例，論述引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)與形之間感悟數(shù)學(xué)思想的策略，將數(shù)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成形的問(wèn)題，從直觀的圖形表征中尋找計(jì)算方法;通過(guò)數(shù)與形之間的相互轉(zhuǎn)換，讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)與形都是表征問(wèn)題的方式，由此打通形象思維與抽象思維之間的通道。

【關(guān)鍵詞】《數(shù)與形》 數(shù)學(xué)思想 教學(xué)片段

【中圖分類(lèi)號(hào)】G 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

【文章編號(hào)】0450-9889（2021）29-0082-02

人教版數(shù)學(xué)六年級(jí)上冊(cè)教材將“數(shù)學(xué)廣角”中的《數(shù)與形》單獨(dú)列為一個(gè)主題單元，目的是引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想的直觀性，培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、推理以及解決問(wèn)題的能力。但在學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，數(shù)是數(shù)、形是形，兩者難以和諧統(tǒng)一。如何將數(shù)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成形的問(wèn)題呢？教師應(yīng)當(dāng)從直觀的圖形表征中尋找計(jì)算方法，通過(guò)數(shù)與形之間的相互轉(zhuǎn)換，讓學(xué)生從中體會(huì)數(shù)與形都是表征問(wèn)題的方式，由此打通形象思維與抽象思維之間的通道。溝通數(shù)與形之間的聯(lián)系，可促使學(xué)生將知識(shí)內(nèi)化于心、外化于形，使深度學(xué)習(xí)真正發(fā)生。下面，以特級(jí)教師葉柱執(zhí)教的六年級(jí)上冊(cè)《數(shù)與形》為例，探索以“數(shù)形結(jié)合”為基石，讓學(xué)生在解決問(wèn)題中真正體會(huì)到“寓數(shù)于形”“以形解數(shù)”“數(shù)形互補(bǔ)”的數(shù)與形之間的聯(lián)系、發(fā)展與變化，促使學(xué)生在數(shù)與形之間的相互轉(zhuǎn)換中，感悟數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。

一、寓數(shù)于形

師：“1”這個(gè)數(shù)可以用哪一種“形”來(lái)表示？

生1：長(zhǎng)方形、三角形。

生2：“1”可以表示一個(gè)圓形、正方形、平行四邊形等。

師：你用了“等”字表示“1”，這表示還可以有很多不同的圖形，那我們就選擇其中一個(gè)代表吧，假如“1”用一個(gè)正方形來(lái)表示，那么“2”應(yīng)該怎么表示？“4”怎么表示？“99”呢？

生3：“2”表示2個(gè)正方形，“4”表示4個(gè)正方形，“99”表示99個(gè)正方形。

師：同學(xué)們都知道不同的數(shù)字可以表示不同個(gè)數(shù)的正方形，那么，“1+3+5”這個(gè)算式可以用什么圖形表示呢？請(qǐng)你將想到的圖形在本子上畫(huà)下來(lái)。

（圖形展示如圖1、圖2、圖3）

生4：我畫(huà)了1個(gè)加3個(gè)、加5個(gè)小正方形。（如圖1）

生5：因?yàn)?+3+5是一個(gè)等差數(shù)列，我就想到了可以用“金字塔”的圖形。（如圖2）

生6：我發(fā)現(xiàn)“1”是一個(gè)正方形，加上3個(gè)會(huì)組成一個(gè)更大的正方形，加上5個(gè)就會(huì)得到更大更大的一個(gè)正方形。（如圖3）

師：從這三個(gè)圖形中，我們發(fā)現(xiàn)了一個(gè)固定的算式，如果采用形來(lái)表示，可以有多種不同的表示方法。圖3這樣組成的圖形與前面兩種比較，好處在哪里呢？

生7：組成的圖形是一個(gè)大正方形，很容易知道一共有3×3=9個(gè)，9=32。

師：那如果是1+3呢？1+3+5+7呢？請(qǐng)直接說(shuō)出答案。

生8：1+3=4，1+3+5+7=16。

師：這里只有1+3+5的圖形，你覺(jué)得加7，添上7個(gè)小正方形應(yīng)該添在哪里呢？

[ ][ ][ ][ ][1=12][1+3=22][1+3+5=32][1+3+5+7=42]

生9：我認(rèn)為上面加一排，右邊加一排，可以組成一個(gè)更大的正方形。

生10：像他這樣拼，可以拼成一個(gè)邊長(zhǎng)為4×4的正方形。

師：如果是1+3+5+7+9+11+13，請(qǐng)你計(jì)算一下答案。誰(shuí)能用簡(jiǎn)潔的語(yǔ)言解釋一下為什么是這個(gè)答案？

生11：答案是7的平方。因?yàn)榘凑者@樣的規(guī)律，2個(gè)數(shù)相加是2的平方，3個(gè)數(shù)相加是3的平方，以此類(lèi)推，7個(gè)數(shù)相加就是7的平方。

師：你還能聯(lián)系上面4×4的圖形，推理得出1+3+5+7+9+11+13的圖形嗎？

【賞析】要實(shí)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合，就要完成從數(shù)到形的轉(zhuǎn)化，打通從數(shù)到形的“隔斷墻”。先通過(guò)簡(jiǎn)單的數(shù)字“1”引導(dǎo)學(xué)生思考用哪一個(gè)形來(lái)表示，還有2，4，99呢？學(xué)生初步感知數(shù)與形的對(duì)應(yīng)關(guān)系。接著引導(dǎo)學(xué)生思考，并畫(huà)一畫(huà)1+3+5這個(gè)算式可以用怎樣的圖形來(lái)表示，讓學(xué)生構(gòu)造形，體會(huì)形雖然有多種，但數(shù)與形卻一一對(duì)應(yīng)，感悟同樣的形可以產(chǎn)生不同的計(jì)算方法，用不同的方式計(jì)算同一個(gè)幾何量，達(dá)到用“數(shù)”來(lái)表示“形”，用“形”來(lái)理解“數(shù)”，感受數(shù)與形之間的聯(lián)系、發(fā)展與變化。最后，引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系圖形推理1+3+5+7+9+11+13，想一想算式的結(jié)果和組成的圖形之間的聯(lián)系，進(jìn)一步激發(fā)他們探究規(guī)律的欲望。從數(shù)到式、從獨(dú)立的形到組合的形，從多樣化的形到呈正方形，層層遞進(jìn)、深入思考，學(xué)生體會(huì)到了“數(shù)中有形”，更加深入地感悟“形中有數(shù)”。

二、以形解數(shù)

師：這個(gè)“形”中還隱藏著其他的數(shù)的運(yùn)算規(guī)律嗎？（如下圖形所示）口算：42-32等于幾？

[ ][42-32=7 （4+3）? 22-12=3 （2+1）

32-22=5 （3+2）? 52-42=9 （5+4）]

生1：42-32=7。

師：請(qǐng)你對(duì)照?qǐng)D形觀察，4的平方，3的平方，7分別對(duì)應(yīng)什么圖形？

生2：4的平方對(duì)應(yīng)整個(gè)大正方形的個(gè)數(shù)，3的平方對(duì)應(yīng)除了外面一圈小正方形，里面所有小正方形的個(gè)數(shù)，7指的是最外面一圈正方形的個(gè)數(shù)。

師：請(qǐng)繼續(xù)計(jì)算：32-22，22-12。

生3：32-22=5，22-12=3。

師：那么52-42呢？請(qǐng)問(wèn)這個(gè)圖上有“5的平方”和“4的平方”嗎？你能想象出算式與圖形之間的聯(lián)系嗎？

生4（上臺(tái)手指圖形）：增加了大正方形外面的一圈，正方形的個(gè)數(shù)表示5的平方;原來(lái)大正方形內(nèi)正方形的個(gè)數(shù)，表示4的平方;外面一圈正方形個(gè)數(shù)表示9個(gè)。

師：看看這四道算式，你有沒(méi)有發(fā)現(xiàn)其中存在著什么規(guī)律？

生5：42-32=7，7=（4+3）;32-22=5，5=（3+2）;22-12=3，3=（2+1）。

師：你能指一指4+3，3+2，2+1各表示哪里的圖形嗎？

（生5上臺(tái)指4+3，3+2，2+1所表示的圖形，其余學(xué)生也用手書(shū)空比劃）

師：根據(jù)這一規(guī)律，你能計(jì)算1002-992等于幾，并想象算式與圖形之間的聯(lián)系嗎？

【賞析】要實(shí)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合，還要完成形對(duì)數(shù)的反哺，搭建從形到數(shù)的“玄關(guān)墻”?！皵?shù)”引導(dǎo)學(xué)生去探索規(guī)律，而“形”的出現(xiàn)提高了學(xué)生探索規(guī)律的效率。先讓學(xué)生計(jì)算42-32，32-22，22-12分別等于幾，并找一找所有數(shù)字分別對(duì)應(yīng)什么圖形，巧妙借助圖形幫助學(xué)生理解算式中數(shù)的含義，為探索“數(shù)”的規(guī)律做好“形”的鋪墊;接著學(xué)生找一找四道算式的規(guī)律，指一指“數(shù)”規(guī)律背后隱藏的圖形，借助圖形的直觀性將抽象的數(shù)規(guī)律具體形象化，數(shù)形對(duì)照，算式與圖形一一對(duì)應(yīng)，培養(yǎng)學(xué)生尋找數(shù)與形的對(duì)應(yīng)能力。如此教學(xué)，學(xué)生體會(huì)“數(shù)中思形”，更加深刻地感悟“以形解數(shù)”，再根據(jù)算式發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并用圖形來(lái)表達(dá)、驗(yàn)證規(guī)律，有利于學(xué)生反思建構(gòu)，實(shí)現(xiàn)形象思維和抽象思維的互助互補(bǔ)、相輔相成。

三、數(shù)形互補(bǔ)

師：這個(gè)圖形的涂色部分占整個(gè)正方形的幾分之幾？請(qǐng)用算式表示。（出示圖4）

生1：[12]+[14]=[34]，涂色部分占整個(gè)正方形的[34]。

師：這里通過(guò)簡(jiǎn)單的計(jì)算就能得出結(jié)果，如果再加一塊涂色部分呢？請(qǐng)你用一道算式來(lái)表示，并計(jì)算出結(jié)果。（出示圖5）

生2：[12]+[14]+[18]=[78]，涂色部分占整個(gè)正方形的[78]。

師：這個(gè)[12]+[14]+[18]，能通過(guò)計(jì)算得到[78]，那么，你能聯(lián)系圖形，通過(guò)其他更簡(jiǎn)單的方法來(lái)說(shuō)一說(shuō)嗎？

生3：將整個(gè)圖形設(shè)為“1”，這個(gè)空白部分表示[18]，涂色部分也可以表示1-[18]=[78]，因此：[12]+[14]+[18]=1-[18]=[78]。

師：這位同學(xué)通過(guò)聯(lián)系圖形，從不同的視角解釋計(jì)算的結(jié)果，想法更加巧妙。如果這個(gè)圖形不斷增加，你能寫(xiě)出一個(gè)算式，并很快得出計(jì)算結(jié)果嗎？請(qǐng)?jiān)囍鴮?xiě)一寫(xiě)。（出示圖6）

生4：[12]+[14]+[18]+[116]+[132]+[164]=[6364]。

師：你是如何快速知道計(jì)算結(jié)果是[6364]？

生4：因?yàn)樽詈蟮囊粔K空白部分為[164]，那么，涂色部分只要1-[163]=[6364]就是各個(gè)涂色部分之和。

【賞析】數(shù)的運(yùn)算離不開(kāi)形的支撐，形的存在是讓學(xué)生更加理解數(shù)的規(guī)則與運(yùn)算方法。如果說(shuō)“寓數(shù)于形”是順向思維，那么“以形解數(shù)”就是逆向思維。在這一教學(xué)環(huán)節(jié)中，學(xué)生通過(guò)觀察圖形列出算式并計(jì)算結(jié)果，即把形的直觀描述與數(shù)的精確刻畫(huà)相結(jié)合體現(xiàn)“形中有數(shù)”，再利用計(jì)算結(jié)果聯(lián)系圖形找到更簡(jiǎn)潔的計(jì)算方法，發(fā)展到了“以數(shù)釋形”。通過(guò)圖形不斷增加，設(shè)置“你能寫(xiě)出一個(gè)算式，并比較快地得到計(jì)算結(jié)果嗎？你是如何快速知道計(jì)算結(jié)果是[6364]”這幾個(gè)問(wèn)題，讓學(xué)生反思數(shù)與形的關(guān)系，進(jìn)而在發(fā)現(xiàn)規(guī)律的過(guò)程中體會(huì)到：如果沒(méi)有直觀圖形作思考的載體，學(xué)生很難發(fā)現(xiàn)和理解規(guī)律;只通過(guò)圖形，不借助算式也難以建立計(jì)算結(jié)果與算式之間的聯(lián)系，從而在形對(duì)數(shù)的直觀性、數(shù)對(duì)形的深刻性?xún)煞矫?，?gòu)筑起數(shù)形結(jié)合的“承重墻”，發(fā)揮了數(shù)形互補(bǔ)的作用。

【作者簡(jiǎn)介】裘一能（2002— ），男，漢族，浙江嵊州人，現(xiàn)就讀于紹興文理學(xué)院，小教專(zhuān)業(yè);裘迪波（1977— ），男，漢族，浙江嵊州人，現(xiàn)就職于浙江省嵊州市教育體育局教研室。

（責(zé)編 楊 春）