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        在數(shù)與形之間感悟數(shù)學思想

        2021-10-25 11:19:57裘一能裘迪波
        廣西教育·A版 2021年8期
        關鍵詞:數(shù)與形數(shù)學思想

        裘一能 裘迪波

        【摘要】本文以特級教師葉柱《數(shù)與形》教學片段賞析為例,論述引導學生在數(shù)與形之間感悟數(shù)學思想的策略,將數(shù)的問題轉(zhuǎn)化成形的問題,從直觀的圖形表征中尋找計算方法;通過數(shù)與形之間的相互轉(zhuǎn)換,讓學生體會到數(shù)與形都是表征問題的方式,由此打通形象思維與抽象思維之間的通道。

        【關鍵詞】《數(shù)與形》 數(shù)學思想 教學片段

        【中圖分類號】G 【文獻標識碼】A

        【文章編號】0450-9889(2021)29-0082-02

        人教版數(shù)學六年級上冊教材將“數(shù)學廣角”中的《數(shù)與形》單獨列為一個主題單元,目的是引導學生體會數(shù)形結(jié)合思想的直觀性,培養(yǎng)學生觀察、分析、推理以及解決問題的能力。但在學生的認知結(jié)構中,數(shù)是數(shù)、形是形,兩者難以和諧統(tǒng)一。如何將數(shù)的問題轉(zhuǎn)化成形的問題呢?教師應當從直觀的圖形表征中尋找計算方法,通過數(shù)與形之間的相互轉(zhuǎn)換,讓學生從中體會數(shù)與形都是表征問題的方式,由此打通形象思維與抽象思維之間的通道。溝通數(shù)與形之間的聯(lián)系,可促使學生將知識內(nèi)化于心、外化于形,使深度學習真正發(fā)生。下面,以特級教師葉柱執(zhí)教的六年級上冊《數(shù)與形》為例,探索以“數(shù)形結(jié)合”為基石,讓學生在解決問題中真正體會到“寓數(shù)于形”“以形解數(shù)”“數(shù)形互補”的數(shù)與形之間的聯(lián)系、發(fā)展與變化,促使學生在數(shù)與形之間的相互轉(zhuǎn)換中,感悟數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想。

        一、寓數(shù)于形

        師:“1”這個數(shù)可以用哪一種“形”來表示?

        生1:長方形、三角形。

        生2:“1”可以表示一個圓形、正方形、平行四邊形等。

        師:你用了“等”字表示“1”,這表示還可以有很多不同的圖形,那我們就選擇其中一個代表吧,假如“1”用一個正方形來表示,那么“2”應該怎么表示?“4”怎么表示?“99”呢?

        生3:“2”表示2個正方形,“4”表示4個正方形,“99”表示99個正方形。

        師:同學們都知道不同的數(shù)字可以表示不同個數(shù)的正方形,那么,“1+3+5”這個算式可以用什么圖形表示呢?請你將想到的圖形在本子上畫下來。

        (圖形展示如圖1、圖2、圖3)

        生4:我畫了1個加3個、加5個小正方形。(如圖1)

        生5:因為1+3+5是一個等差數(shù)列,我就想到了可以用“金字塔”的圖形。(如圖2)

        生6:我發(fā)現(xiàn)“1”是一個正方形,加上3個會組成一個更大的正方形,加上5個就會得到更大更大的一個正方形。(如圖3)

        師:從這三個圖形中,我們發(fā)現(xiàn)了一個固定的算式,如果采用形來表示,可以有多種不同的表示方法。圖3這樣組成的圖形與前面兩種比較,好處在哪里呢?

        生7:組成的圖形是一個大正方形,很容易知道一共有3×3=9個,9=32。

        師:那如果是1+3呢?1+3+5+7呢?請直接說出答案。

        生8:1+3=4,1+3+5+7=16。

        師:這里只有1+3+5的圖形,你覺得加7,添上7個小正方形應該添在哪里呢?

        [ ][ ][ ][ ][1=12][1+3=22][1+3+5=32][1+3+5+7=42]

        生9:我認為上面加一排,右邊加一排,可以組成一個更大的正方形。

        生10:像他這樣拼,可以拼成一個邊長為4×4的正方形。

        師:如果是1+3+5+7+9+11+13,請你計算一下答案。誰能用簡潔的語言解釋一下為什么是這個答案?

        生11:答案是7的平方。因為按照這樣的規(guī)律,2個數(shù)相加是2的平方,3個數(shù)相加是3的平方,以此類推,7個數(shù)相加就是7的平方。

        師:你還能聯(lián)系上面4×4的圖形,推理得出1+3+5+7+9+11+13的圖形嗎?

        【賞析】要實現(xiàn)數(shù)形結(jié)合,就要完成從數(shù)到形的轉(zhuǎn)化,打通從數(shù)到形的“隔斷墻”。先通過簡單的數(shù)字“1”引導學生思考用哪一個形來表示,還有2,4,99呢?學生初步感知數(shù)與形的對應關系。接著引導學生思考,并畫一畫1+3+5這個算式可以用怎樣的圖形來表示,讓學生構造形,體會形雖然有多種,但數(shù)與形卻一一對應,感悟同樣的形可以產(chǎn)生不同的計算方法,用不同的方式計算同一個幾何量,達到用“數(shù)”來表示“形”,用“形”來理解“數(shù)”,感受數(shù)與形之間的聯(lián)系、發(fā)展與變化。最后,引導學生聯(lián)系圖形推理1+3+5+7+9+11+13,想一想算式的結(jié)果和組成的圖形之間的聯(lián)系,進一步激發(fā)他們探究規(guī)律的欲望。從數(shù)到式、從獨立的形到組合的形,從多樣化的形到呈正方形,層層遞進、深入思考,學生體會到了“數(shù)中有形”,更加深入地感悟“形中有數(shù)”。

        二、以形解數(shù)

        師:這個“形”中還隱藏著其他的數(shù)的運算規(guī)律嗎?(如下圖形所示)口算:42-32等于幾?

        [ ][42-32=7 (4+3)? 22-12=3 (2+1)

        32-22=5 (3+2)? 52-42=9 (5+4)]

        生1:42-32=7。

        師:請你對照圖形觀察,4的平方,3的平方,7分別對應什么圖形?

        生2:4的平方對應整個大正方形的個數(shù),3的平方對應除了外面一圈小正方形,里面所有小正方形的個數(shù),7指的是最外面一圈正方形的個數(shù)。

        師:請繼續(xù)計算:32-22,22-12。

        生3:32-22=5,22-12=3。

        師:那么52-42呢?請問這個圖上有“5的平方”和“4的平方”嗎?你能想象出算式與圖形之間的聯(lián)系嗎?

        生4(上臺手指圖形):增加了大正方形外面的一圈,正方形的個數(shù)表示5的平方;原來大正方形內(nèi)正方形的個數(shù),表示4的平方;外面一圈正方形個數(shù)表示9個。

        師:看看這四道算式,你有沒有發(fā)現(xiàn)其中存在著什么規(guī)律?

        生5:42-32=7,7=(4+3);32-22=5,5=(3+2);22-12=3,3=(2+1)。

        師:你能指一指4+3,3+2,2+1各表示哪里的圖形嗎?

        (生5上臺指4+3,3+2,2+1所表示的圖形,其余學生也用手書空比劃)

        師:根據(jù)這一規(guī)律,你能計算1002-992等于幾,并想象算式與圖形之間的聯(lián)系嗎?

        【賞析】要實現(xiàn)數(shù)形結(jié)合,還要完成形對數(shù)的反哺,搭建從形到數(shù)的“玄關墻”?!皵?shù)”引導學生去探索規(guī)律,而“形”的出現(xiàn)提高了學生探索規(guī)律的效率。先讓學生計算42-32,32-22,22-12分別等于幾,并找一找所有數(shù)字分別對應什么圖形,巧妙借助圖形幫助學生理解算式中數(shù)的含義,為探索“數(shù)”的規(guī)律做好“形”的鋪墊;接著學生找一找四道算式的規(guī)律,指一指“數(shù)”規(guī)律背后隱藏的圖形,借助圖形的直觀性將抽象的數(shù)規(guī)律具體形象化,數(shù)形對照,算式與圖形一一對應,培養(yǎng)學生尋找數(shù)與形的對應能力。如此教學,學生體會“數(shù)中思形”,更加深刻地感悟“以形解數(shù)”,再根據(jù)算式發(fā)現(xiàn)規(guī)律,并用圖形來表達、驗證規(guī)律,有利于學生反思建構,實現(xiàn)形象思維和抽象思維的互助互補、相輔相成。

        三、數(shù)形互補

        師:這個圖形的涂色部分占整個正方形的幾分之幾?請用算式表示。(出示圖4)

        生1:[12]+[14]=[34],涂色部分占整個正方形的[34]。

        師:這里通過簡單的計算就能得出結(jié)果,如果再加一塊涂色部分呢?請你用一道算式來表示,并計算出結(jié)果。(出示圖5)

        生2:[12]+[14]+[18]=[78],涂色部分占整個正方形的[78]。

        師:這個[12]+[14]+[18],能通過計算得到[78],那么,你能聯(lián)系圖形,通過其他更簡單的方法來說一說嗎?

        生3:將整個圖形設為“1”,這個空白部分表示[18],涂色部分也可以表示1-[18]=[78],因此:[12]+[14]+[18]=1-[18]=[78]。

        師:這位同學通過聯(lián)系圖形,從不同的視角解釋計算的結(jié)果,想法更加巧妙。如果這個圖形不斷增加,你能寫出一個算式,并很快得出計算結(jié)果嗎?請試著寫一寫。(出示圖6)

        生4:[12]+[14]+[18]+[116]+[132]+[164]=[6364]。

        師:你是如何快速知道計算結(jié)果是[6364]?

        生4:因為最后的一塊空白部分為[164],那么,涂色部分只要1-[163]=[6364]就是各個涂色部分之和。

        【賞析】數(shù)的運算離不開形的支撐,形的存在是讓學生更加理解數(shù)的規(guī)則與運算方法。如果說“寓數(shù)于形”是順向思維,那么“以形解數(shù)”就是逆向思維。在這一教學環(huán)節(jié)中,學生通過觀察圖形列出算式并計算結(jié)果,即把形的直觀描述與數(shù)的精確刻畫相結(jié)合體現(xiàn)“形中有數(shù)”,再利用計算結(jié)果聯(lián)系圖形找到更簡潔的計算方法,發(fā)展到了“以數(shù)釋形”。通過圖形不斷增加,設置“你能寫出一個算式,并比較快地得到計算結(jié)果嗎?你是如何快速知道計算結(jié)果是[6364]”這幾個問題,讓學生反思數(shù)與形的關系,進而在發(fā)現(xiàn)規(guī)律的過程中體會到:如果沒有直觀圖形作思考的載體,學生很難發(fā)現(xiàn)和理解規(guī)律;只通過圖形,不借助算式也難以建立計算結(jié)果與算式之間的聯(lián)系,從而在形對數(shù)的直觀性、數(shù)對形的深刻性兩方面,構筑起數(shù)形結(jié)合的“承重墻”,發(fā)揮了數(shù)形互補的作用。

        【作者簡介】裘一能(2002— ),男,漢族,浙江嵊州人,現(xiàn)就讀于紹興文理學院,小教專業(yè);裘迪波(1977— ),男,漢族,浙江嵊州人,現(xiàn)就職于浙江省嵊州市教育體育局教研室。

        (責編 楊 春)

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