陳暢

摘 要：2016-2020年全國高考數(shù)學(xué)解析幾何題發(fā)現(xiàn)，注重考查邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析等三大數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，而培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的主陣地就是課堂教學(xué)。注重培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維能力，提升學(xué)生解題能力。

關(guān)鍵詞：高效課堂;解題能力;核心素養(yǎng)

筆者研究2016-2020年高考數(shù)學(xué)全國卷發(fā)現(xiàn)，重視考查學(xué)生邏輯推理，對(duì)第21題的解析幾何甚至有“重思維，輕運(yùn)算”的趨勢(shì)。本文筆者通過一個(gè)課例片段，旨在探究數(shù)學(xué)課堂中解題教學(xué)如何幫助學(xué)生在解題過程中不斷總結(jié)經(jīng)驗(yàn)，積累解題思維方法，促進(jìn)數(shù)學(xué)思維能力有效的提高。而遇到難度較大的數(shù)學(xué)題我們應(yīng)該如何處理才能讓學(xué)生能解決問題呢？

一、課例呈現(xiàn)，引證思源

本課是在對(duì)直線與圓錐曲線第二輪復(fù)習(xí)結(jié)束之后，針對(duì)第21題是解析幾何題學(xué)生反饋出的問題后一節(jié)講評(píng)課的片段：

問題：設(shè)拋物線C的方程為x2=4y，M為直線l：y=-m（m>0）上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)M作拋物線C的兩條切線MA，MB，切點(diǎn)分別為A，B。

（Ⅰ）當(dāng)M的坐標(biāo)為（0，-1），時(shí)，求過M，A，B三點(diǎn)的圓的方程，并判斷直線l與此圓的位置關(guān)系;

（Ⅱ）討論直線AB是否經(jīng)過定點(diǎn)，若是，寫出定點(diǎn)的坐標(biāo)，若不是，說明理由。

第（Ⅰ）問中點(diǎn)M的坐標(biāo)已給出來，入手容易。學(xué)生由切線，從而求出切點(diǎn)A，B，再利用三點(diǎn)求出圓的方程：x2+（y-1）2=4，最后，利用圓心到直線距離可以判斷直線l與此圓的位置關(guān)系是相切的。筆者對(duì)求解過程“設(shè)、列、化簡”進(jìn)行小結(jié)，學(xué)生整理、規(guī)范自己的答題，得到如下規(guī)范的解答過程，易知該圓與直線l：y=-1相切。

而第（Ⅱ）問學(xué)生感覺不陌生，是判斷直線過定點(diǎn)問題，但此題只有拋物線C的方程是已知的，其他無論是直線l，還是點(diǎn)M，A，B都未知。要怎么求直線AB呢？

師：答卷昨天已發(fā)回給大家，同學(xué)們有沒有想辦法解決這種個(gè)問題？請(qǐng)哪位同學(xué)談?wù)劊?/p>

（環(huán)顧課堂，已有幾個(gè)學(xué)生舉手，我示意學(xué)生發(fā)言。）

學(xué)生1：我沒想到怎么做，但我覺得應(yīng)該是先設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）。把切線方程寫出，從而得到直線AB的方程。

師：很好，思維嚴(yán)密。解析幾何綜合性問題求解的第一步是“設(shè)”，即引進(jìn)適當(dāng)?shù)淖兞?，但引進(jìn)的變量是否合理，我們應(yīng)事先做出判斷，而判斷的標(biāo)準(zhǔn)是，所給的幾何條件能否用引進(jìn)的變量代數(shù)化。

師：這位同學(xué)設(shè)出來的量應(yīng)該是有效的，那么又有哪位同學(xué)有勇氣把切線方程寫出從而得到直線AB的方程呢？大家可以互相討論。

師：有哪位同學(xué)來說一下？

學(xué)生2：我是這樣做的。

設(shè)過拋物線上點(diǎn)A的切線方程為（y-y1）=k1 （x-x1），代入x2=4y，

整理得

又因?yàn)閤12=4y1，?? 所以

從而拋物線上點(diǎn)A（x1，y1）的切線方程為： （y-y1）=（x-x1），即

又設(shè)過拋物線上點(diǎn)B的切線方程為（y-y2）=k2 （x-x2），代入x2=4y，

整理得

又因?yàn)閤22=4y2，?? 所以

從而拋物線上點(diǎn)B（x2，y2）的切線方程為： （y-y2）=（x-x2），即

（這時(shí)有學(xué)生舉手要求發(fā)言，我就放開了讓同學(xué)們說自己的想法）

學(xué)生3：求拋物線上點(diǎn)B（x2，y2）的切線方程其實(shí)不用再求一次，因?yàn)樗母袷脚c點(diǎn)A是相似的，所以直接同理得拋物線上點(diǎn)B（x2，y2）的切線方程為：就可以快很多了。但是把兩切線方程求出來之后，下一步怎么做我就不知道了。

學(xué)生4：我求拋物線上點(diǎn)A的切線方程的斜率k是用求導(dǎo)來做的，也是求得同樣的方程。下一步我不知道怎么做，所以就沒法繼續(xù)做了。

師：同學(xué)們對(duì)求切線方程這個(gè)問題解決得非常好，對(duì)斜率k的求法也能想到多種方法。特別是學(xué)生3同理類比的做法求點(diǎn)B（x2，y2）的切線方程，使得運(yùn)算量大大減少。但是，兩切線方程都已求出來了，為什么就做不下去呢？

學(xué)生：因?yàn)楹帜傅奈粗刻嗔恕?/p>

師：回到剛才的解法。半途而廢不是一個(gè)好的習(xí)慣，當(dāng)我們遇到挫折時(shí)，不要輕易對(duì)以前所做的全盤否定，也許我們只是有個(gè)別地方做得還不夠好，也可能是還有些地方因?yàn)樯钑簳r(shí)沒能想到。

師：大家注意我們的已知條件還有哪些沒用到？

學(xué)生1：（進(jìn)行實(shí)物投影）點(diǎn)M是在兩切線上的，可以設(shè)點(diǎn)M（x0， -m），

代入兩線方程得? 和

（同學(xué)們?cè)谛÷曌h論，似有所悟，但部分同學(xué)仍帶疑惑表情。）

師：學(xué)生1的審題觀察能力很好，突破口就在這點(diǎn)M上。

師：有誰愿意把你的答案投影出來？

學(xué)生5：可以設(shè)點(diǎn)M（x0，-m），由點(diǎn)M在兩切線上，

代入兩切線方程得? 和

即點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2）均滿足? 即x0x=2（y-m），

故直線AB的方程為：x0x=2（y-m）

所以x=0，y=m，從而直線AB恒過定點(diǎn)（0，m）

師：太妙了，對(duì)條件進(jìn)行有效的恒等變換后，利用等式優(yōu)美的結(jié)構(gòu)特征，把看似復(fù)雜的東西給人以簡潔及美的享受，這充分體現(xiàn)了解析幾何設(shè)而不求的解題策略，非常簡潔地解答了問題，這就是互相討論，互相學(xué)習(xí)的魅力所在。

二、課例反思，真知灼見

通過本節(jié)課，筆者發(fā)現(xiàn)課前的學(xué)生思考與課上老師的引導(dǎo)非常關(guān)鍵，掌握基本公式、基本方法、基本技能是基礎(chǔ)，在此之上通過不同情境的遷移應(yīng)用，再尋求解題的突破口。在講評(píng)課做好以下三點(diǎn)：

（一）在講評(píng)課的教學(xué)前，老師不要牽著學(xué)生的鼻子走，要幫助學(xué)生把例題解答過程中丟失的思維過程找回來，充分暴露解題思維，逐漸培養(yǎng)起分析問題的能力和積極思考的良好習(xí)慣。不能單純追求習(xí)題量的積累，要讓學(xué)生明白“怎樣解題”，解決學(xué)生“拿起題無從下手”的問題。

（二）在講評(píng)課的教學(xué)中，做到全面依靠學(xué)生和高度尊重學(xué)生，最大限度的提高學(xué)生在課堂中的學(xué)習(xí)積極性和主動(dòng)性，在教學(xué)過程中要有評(píng)價(jià)和激勵(lì)教師在教學(xué)活動(dòng)將結(jié)束時(shí)，要由小組代表或教師對(duì)本節(jié)重點(diǎn)知識(shí)進(jìn)行梳理，對(duì)學(xué)習(xí)情況進(jìn)行評(píng)議教師適時(shí)介入，提供方法、技巧，協(xié)助學(xué)生完成模型析出，模型應(yīng)用等一系列學(xué)習(xí)任務(wù)，從而達(dá)到培養(yǎng)、提高學(xué)生綜合能力的目的。

（三）在講評(píng)課的教學(xué)后，我們要學(xué)會(huì)解題反思，分析命題意圖，把脈出題方向，重點(diǎn)分析不會(huì)解的題到底是知識(shí)上還是方法上出了問題，只有對(duì)癥下藥才能找到問題歸因所在。當(dāng)然，還可以尋求其他解題方法一道數(shù)學(xué)題，擇其簡單快捷的方法進(jìn)行下階段的推廣應(yīng)用，找到解決此類問題的普遍結(jié)論與解題思路。

三、課例研究，師生共長

筆者嘗試以“直線與圓錐曲線”的這題作為重點(diǎn)內(nèi)容來進(jìn)行課例研究，充分挖掘例題的出題背景，讓學(xué)生把新知識(shí)合理地建構(gòu)在原有的知識(shí)體系上，在解題示范的過程中讓學(xué)生不斷地認(rèn)識(shí)逆向思維的過程和方法，把數(shù)學(xué)課堂變成培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的知識(shí)海洋。

參考文獻(xiàn)：

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[3] 金燁，基于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的課例研究.數(shù)學(xué)之友，2016，0（12）