費 峣 水菊芳

一、教學緣起

“刁尼秀斯之耳”講述的是橢圓巖洞監(jiān)獄中，犯人在焦點處（A點）的越獄謀劃總會被位于另一焦點的守衛(wèi)（B點）監(jiān)聽的故事。（圖1）故事中的曲面反射現(xiàn)象是17世紀倒逼數(shù)學家研究曲線切線的重要問題之一，該現(xiàn)象的解決需要運用物理光學與數(shù)學知識，這決定了該故事中的現(xiàn)象有著較高的教學價值。然而，不少教師僅將其用于引入橢圓的概念，意在以故事的趣味性激發(fā)學生的學習興趣。筆者以為，這種做法只提供了橢圓的“形”，卻未能揭示橢圓的“理”，無法促成個體對現(xiàn)象的充分理解，也就無法創(chuàng)設利于數(shù)學核心素養(yǎng)生成的良好條件。由此，筆者想深度挖掘此教學素材，談談自己的教學探索。

圖1 刁尼秀斯之耳

這里需要說明的是，以下的教學探索源于“現(xiàn)象教學”的理念，即依據(jù)真實現(xiàn)象，確定一些學習或研究的話題，并將之融入新的課程模塊的教學。其教學要點在于提出某個現(xiàn)象，在教學中去探究它，并由此獲得認識。基于此理念的教學更加凸顯、關聯(lián)真實世界，也更益于學生數(shù)學素養(yǎng)的生成。［1］

回到本教學內(nèi)容，按照教材模塊的編排順序，學生在學習圓錐曲線時尚未學習導數(shù)的幾何意義，對圓錐曲線的切線認識難觸及實質(zhì)。故此處教學定位為“圓錐曲線上某點處切線”的專題探究課，計劃為兩課時，分別設置導數(shù)幾何意義（代數(shù)與圖象）、橢圓光學性質(zhì)（解析幾何）兩個探究話題，以實現(xiàn)跨模塊知識融合縱深。以下為兩個課時的主要教學內(nèi)容。

二、導數(shù)幾何意義

1.課時分析。

（1）教學內(nèi)容分析：導數(shù)的幾何意義是指曲線某點處切線的斜率。學生已經(jīng)學習了平均變化率及其幾何意義。此課時的目標是以此為生長點，從割線出發(fā)，用“無限逼近”的動態(tài)過程實現(xiàn)“局部以直代曲”，從而獲得導數(shù)的幾何意義。

（2）學情分析：初中階段將“經(jīng)過半徑的一端（非圓心），且垂直于這條半徑的直線”稱為圓的切線。高中階段則從幾何與代數(shù)兩個維度分別規(guī)定了直線與圓相切的位置關系，即“圓心到直線的距離等于半徑”“直線方程與曲線方程聯(lián)立有且只有一組解”。上述切線的靜態(tài)理解可能形成思維定勢，影響學生以直代曲思想的形成。

（3）教學重難點：初步的極限思想與局部以直代曲思想的生成。

（4）教學策略：利用信息技術動態(tài)演示，強化直觀感知，以最原始客觀的材料引導學生深入體會“無限逼近”與“量變到質(zhì)變”，領悟“近似于精確”的哲學原理。

2.幾何直觀，按圖索驥。

現(xiàn)象教學強調(diào)由直觀感知到意義生成的學習過程，將之用于曲線切線的學習即為“建立形與數(shù)的聯(lián)系，利用幾何圖形描述問題，借助幾何直觀理解問題，運用空間想象認識事物”。［2］學生對于切線斜率概念的完善、錯誤觀念的矯正可以立足于小步調(diào)，由淺及深。

（1）鼓勵想象：光線經(jīng)橢圓一點反射與光線經(jīng)直線上一點反射效果等價。

（2）模型優(yōu)化：發(fā)動小組討論得出（1）中所指的直線大概率為橢圓切線。

（3）概念蘊生：（1）中的“點”為切點，讓學生隱約得到“橢圓上某點處切線”的初步感受，為導數(shù)幾何意義的順利發(fā)生做鋪墊。

（4）試誤與強化：教學中展示下列圖象（圖2），設計問題“下列圖象中直線為曲線切線的是？”

（圖2）

學生利用已有知識經(jīng)驗能成功做出A、B中直線為曲線切線的判定，對C則會猶豫但最終也會做出是切線的判斷。但對于D則少有認可者，這就促使學生再度聚焦“刁尼秀斯之耳”的現(xiàn)象本身，明晰“曲線某點處切線”的數(shù)學嚴謹性，從而判定該圖符合曲線切線特征。

【設計意圖】本環(huán)節(jié)為現(xiàn)實情境的數(shù)學抽象，其抽象物為曲線切線，整個抽象過程需要學生逐步舍棄具體現(xiàn)象中的一切表象，學生借助空間想象，抽離出曲線切線在空間形式上的本質(zhì)屬性，主要培養(yǎng)學生直觀想象與數(shù)學抽象的素養(yǎng)。

3.動態(tài)捕捉，數(shù)學實驗。

教師充分肯定學生在上一環(huán)節(jié)中的表現(xiàn)，同時引導學生提出新問題，即“如何用數(shù)學刻畫切線？”此問題的目的在于引導學生回顧“解析幾何初步”一章直線的相關知識，進而想到用一個“點”與“傾斜程度”來刻畫切線，以自我喚醒并強化舊知的方式，實現(xiàn)對所學內(nèi)容的靈活運用。

此環(huán)節(jié)為“局部以直代曲”的教學，教師不應急切地給出形式化的定義，而應自然適度地提出問題，為學生提供問題解決的必要支持，如提示學生平均變化率及其幾何意義，并以此為生長點，引導學生嘗試對切線斜率進行深度思考。

（圖3）

（表1）

【設計意圖】本環(huán)節(jié)的目的在于促使學生通過對實驗數(shù)據(jù)的分析，探尋客觀現(xiàn)象的一般規(guī)律，在感悟數(shù)學推理規(guī)則的基礎上提出有價值的數(shù)學結(jié)論，主要培養(yǎng)學生數(shù)據(jù)分析與邏輯推理的數(shù)學素養(yǎng)。

三、橢圓光學性質(zhì)

1.課時分析。

（1）教學內(nèi)容分析：橢圓光學性質(zhì)指“從橢圓一個焦點發(fā)出的光線，經(jīng)過橢圓反射，反射光線經(jīng)過橢圓另一焦點”。該內(nèi)容一般被視為閱讀材料出現(xiàn)在各教材中，有益于學生綜合運用數(shù)學知識認知客觀世界，在高考考查中也有體現(xiàn)（如2013年山東理科卷題22）。

（2）學情分析：課時1的內(nèi)容可以為本話題教學提供必要的知識儲備，但由于考試導向、數(shù)學文化教育缺失、教師學科知識欠缺等因素，教材中閱讀材料不被重視，學生鮮有機會對數(shù)學在實際問題中的應用做研究。

（3）教學重難點：現(xiàn)象的數(shù)學解釋與推理論證。

（4）教學策略：精心組織探究教學，鼓勵學生嘗試多種信息渠道獲得必要的研究資料、理論依據(jù)、工具手段，引導學生用數(shù)學方法解決物理問題，體驗探究樂趣。

2.有據(jù)推理，現(xiàn)象釋因。

（圖4）

現(xiàn)象的解釋需要規(guī)范的表達，并以此實現(xiàn)知識整體的結(jié)構(gòu)化。探究“刁尼秀斯之耳”的光學性質(zhì)需要相當?shù)臄?shù)學推理、演繹能力。教師可以根據(jù)所教學生的基礎，酌情設計學生活動，實現(xiàn)不同學生數(shù)學能力的不同發(fā)展。

（1）方案設計，模型生成。學生借助平面直角坐標系，用解析幾何模型來刻畫現(xiàn)象，嘗試表達數(shù)學問題，經(jīng)歷自然語言向符號語言發(fā)展的過程。此過程中，學生根據(jù)圖4可以提出以下三種解決問題的方案：

（圖5）

【設計意圖】此處學生根據(jù)先前的分析構(gòu)建數(shù)學模型并給出解決方案，采用數(shù)學運算的方式驗證結(jié)果并評估建模的可行性，最終實現(xiàn)對現(xiàn)象的解釋。本環(huán)節(jié)培養(yǎng)學生的數(shù)學建模與數(shù)學運算能力。

3.寓知于行，現(xiàn)象延伸。

利用網(wǎng)絡、書籍等媒介帶領學生回顧數(shù)學發(fā)展過程當中“無限逼近，以直代曲”思想的重要進程及典型案例，使學生置身于知識發(fā)生與發(fā)展的過程中，感受數(shù)學的人文情懷，實現(xiàn)學生的品格教育，踐行立德樹人的根本要求。讓學生經(jīng)受數(shù)學文化的熏陶、領悟數(shù)學美學價值的同時也務必警醒，數(shù)學文化在現(xiàn)象教學中的滲透不是點綴和花絮，需要在日常的教學中制定考察的方案、評價的標準。比如，學生通過橢圓曲面反射現(xiàn)象資料的研讀，嘗試撰寫小論文、數(shù)學周記；再比如利用所學手段推導拋物線的光學性質(zhì)，以數(shù)學沙龍的形式與同學分享成果。要讓學生反思初窺數(shù)學現(xiàn)象時的不足，包括問題提出、數(shù)學猜想、方案設計、數(shù)學實驗、合作探究等諸多方面的不足，也要讓學生意識到自身的進步，意識到自身面對陌生的數(shù)學現(xiàn)象有勇攀高峰的可能，要讓高遠的數(shù)學觀念與數(shù)學思想在學生看來“跳一跳，夠得到”。

【設計意圖】強化學生數(shù)學閱讀，促進學生主動汲取知識，發(fā)展數(shù)學思維，培養(yǎng)學生終生學習的能力，實現(xiàn)數(shù)學文化的有效學習。

四、結(jié)束語

數(shù)學“形”與“理”的教學力求既能分析其代數(shù)意義，又能揭示其幾何直觀。此內(nèi)容教學中，情境往往更直觀，較為好用。但教師若錯將重心放在情境創(chuàng)設的新、奇、巧、妙上，而對情境中與教學實質(zhì)相關的內(nèi)容不加挖掘，這就與數(shù)學教學的主旨謬之千里了。由此可見，情境不可能是世界本身，現(xiàn)象更接近于世界本身。［3］現(xiàn)象教學的理念否定了“情境引入”加“孤立于情境的教學”簡單拼接的課堂教學模式，呼吁“回到問題本身”，既實現(xiàn)了學科價值的引領，又促進了學生理性思維的養(yǎng)成。

當然，現(xiàn)象教學在我國剛剛起步，仍有很多基礎理論、實踐案例有待研究。教師在教學中也不能崇拜模式，須知教無定法，貴在得法。教師在教學中應當批判吸收有助數(shù)學教學內(nèi)容生長的材料，強化自身用好教學材料的能力，進而幫助學生構(gòu)建更為科學的學科體系，提升學生的數(shù)學素養(yǎng)。