胡冬梅

摘 要：高中數(shù)學教學中“以學為主”，充分尊重學生在學習中的主體地位，有助于營造良好的課堂氛圍，調動學生學習的積極性，挖掘學生的學習潛力。為獲得預期的教學目標，“以學為主”教學活動中，應認真研究學生學習內容，做好課堂教學設計，采取針對性授課策略，保證學生能夠深入理解，牢固掌握所學知識。本文以“三角恒等變換”教學為例進行探討。

關鍵詞：高中數(shù)學;以學為主;教學

“三角恒等變換”是高中數(shù)學的重要知識點。該部分涵蓋很多公式，部分公式較為相近，需要學生牢固記憶。為避免學生學習過程中產生枯燥感，幫助其構建系統(tǒng)的知識網絡，使其在解題中正確、靈活運用相關公式，應結合自身授課經驗，認真開展“以學為主”教學活動。

一、預留時間，鼓勵自學

教學中為給學生留下深刻印象，使其搞清楚“三角恒等變換”公式之間的區(qū)別與聯(lián)系，應做好教學環(huán)節(jié)的合理設計，尤其應注重給學生預留空白時間，要求學生先進行“三角恒等變換”公式的學習并嘗試著進行推導，更好地把握“三角恒等變換”公式的本質。同時，為避免學生將相關的公式記混淆，可對相關的公式分門別類并運用多媒體屏幕進行展示，引導學生觀察公式的細微區(qū)別，必要情況下要求學生運用思維導圖、列表格等方法進行對比記憶。另外，自學的過程中引導學生通過解答相關習題檢驗自學成果，以暴露出自學的薄弱點，及時加以彌補。如課堂上可要求學生解答如下習題：

已知α∈（0，），2sin2α-1=cos2α，則cosα（ ）

A. B. C. D.

該習題難度不大，只要能夠牢固記憶“三角恒等變化”公式，利用sin2α+cos2α=1，這一隱含條件不難作答。

∵2sin2α-1=cos2α，∴4sinαcosα-1=2cos2α-1，可得2sinαcosα=cos2α，即，2sinα=cosα，sinα=cosα。

又∵sin2α+cos2α=（cosα）2+cos2α=1，∴cos2α=1，又∵α∈（0，），∴cosα>0，即，cosα=，選擇D項。

二、講解例題，鼓勵反思

“三角恒等變換”教學中，開展“以學為主”教學活動時，不能對學生放任不管，仍應注重講解相關例題，只不過需要把握例題講解時間，不能占用太多時間，鍛煉學生思維的靈活性。教學實踐表明，一些學生往往善于運用“三角恒等變換”公式進行正向的推理，而在逆向推理上較為薄弱。針對這一現(xiàn)象，應在例題的篩選上多下功夫，注重選擇代表性較強的例題，為學生展示“三角恒等變換”公式的逆向運用。如在課堂上為學生講解如下例題：

已知x∈（0，），y∈（0，），=，則（ ）

A.y-x= B.2y-x= C.y-x= D.2y-x=

該題難度一般，考查“兩角和與差”公式的逆向應用。課堂上講解該例題，能使學生體會“兩角和與差”公式逆向推理過程，又能使其更加牢固的掌握這一公式，使其在以后遇到類似問題，能夠迅速地找到破題思路。

∵cos2y=（1-sin2y），=

∴==，

即，cosy（cosx+sinx）=siny（cosx-sinx），

cosycosx+cosysinx=sinycosx-sinysinx，cosxcosy+sinxsiny=sinycosx-cosysinx，∴cos（x-y）=sin（y-x），∵x∈（0，），y∈（0，），∴y-x=

三、注重訓練，鼓勵交流

“以學為主”下進行“三角恒等變換”教學時，為使學生積累相關的解題經驗，提高解題能力，應注重鼓勵學生做好日常的訓練活動，尤其為獲得良好的訓練效果，要求學生認真落實以下內容：其一，高中數(shù)學學習時間緊，因此在訓練時應提高訓練效率，避免題海戰(zhàn)術，應結合自身實際做好訓練習題的挑選，注重將重點放在鞏固記憶不牢固的知識上;其二，端正訓練態(tài)度。訓練的過程中不能簡單地追求得出正確答案，應要求學生多進行反思與交流。其中反思的內容包括習題考查了哪些知識點、設計的是否有陷阱、怎樣快速的尋找到解題思路等。同時，與多與其他學生交流學習心得，多借鑒他人高效的解題方法。如輔助角是“三角恒等變換”部分的重要內容，為更好地掌握該內容，要求學生多做相關的訓練習題，如下題：

已知函數(shù)f（x）=（3sinx-4cosx）|cosx|在x=x0處取得最大值，則sin2x0的值為（）

A. B. C.- D.-

該習題考查的知識點較多，主要有分類討論、輔助角等，是一道優(yōu)秀的習題。訓練中要求學生認真對待，詳細寫出解題過程。

∵cosx的正負未知，因此，需要進行分類討論。

①當cosx≥0，則f（x）=（3sinx-4cosx）cosx=3sinxcosx-4cos2x=sin2x-2cos2x-2=sin（2x-φ）-2，f（x）max=-2=;

②當cosx<0，f（x）=（3sinx-4cosx）（-cosx）=-3sinxcosx+4cos2x=-sin2x+2cos2x+2=cos（2x+φ）+2，此時cosφ=，sinφ=，此時f（x）max=+2=;此時2x0+φ=2kπ，2x0=2kπ-φ，∴sin2x0=sin（2kπ-φ）=sin（2kπ-φ）=-sinφ=-，選擇D項。

四、拓展能力，鼓勵總結

“以學為主”下的“三角恒等變換”教學中，為避免學生學習的過程中淺嘗輒止，應注重引導學生進行有針對性的學習，并鼓勵其做好學習的總結。學生自學的過程中往往進行訓練以達到鞏固學生所學，提高學以致用能力的目的，但是為了更好地拓展解題能力，訓練時應引導學生不能滿足于已取得的成績，要求在訓練的過程中做一些有難度的習題，拓展自身視野。同時，認真總結相關習題特點、習題“難”在何處以及相關的破題思路，從而對所學知識有個更為全面、清晰的認識。如為拓展學生能力，可要求學生解答如下習題：

已知α=1°，β=61°，γ=121°，則以下結論正確的是（ ）

（1）tanαtanβ+tanβtanγ+tanγtanα=3;

（2）tanαtanβ+tanβtanγ+tanγtanα=-3;

（3）=3;

（4）=-3;

A.（1）（3）B.（1）（4）C.（2）（3）D.（2）（4）

該習題具有一定難度，需要學生積極聯(lián)系所學，把握角度之間的內在關系，運用“三角恒等變換”公式加以巧妙的變形、求解。

∵α=1°，β=61°，γ=121°，∴tan（β-α）=tan60°=，tan（γ-β）=tan60°=，tan（α-γ）=tan（-120°）=。

∴tanβ-tanα=（1+tanαtanβ）①，tanγ-tanβ=（1+tanβtanγ）②，tanα-tanγ=（1+tanγtanα）③。

①+②+③得：（3+tanαtanβ+tanβtanγ+tanβtanγ）=0

∴tanαtanβ+tanβtanγ+tanβtanγ=-3，（2）正確。

將①×tanγ，②×tanα，③×tanβ分別得到：

tanβtanγ-tanαtanγ=（tanγ+tanαtanβtanγ）

tanγtanα-tanβtanα=（tanα+tanαtanβtanγ）

tanαtanβ-tanγtanβ=（tanβ+tanαtanβtanγ）

以上各式相加得到：tanα+tanβ+tanγ+3tanαtanβtanγ=0，

∴=-3，（4）正確。綜上正確答案為D項。

結束語

在“以學為主”的背景下開展“三角恒等變換”教學活動時，應將更多的時間留給學生，自己則扮演好“領路人”的角色，讓學生自己學習、思考、總結并給予學生學習上的指引，使其在訓練中犯錯、糾錯，如此既能營造活潑的數(shù)學課堂氛圍，又能更好地加深學生印象，提升學生的學習體驗，使其更加愿意學，積極地學。

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