王建龍

[摘 要]在一年級剛接觸應(yīng)用題時，學(xué)生分析數(shù)量關(guān)系往往缺乏邏輯性，習(xí)慣于順著問題情境中事件的發(fā)展順序?qū)懗鏊闶?，然后在算式中想加做減或想減做加，因此有時就會出現(xiàn)“因果顛倒”的算式，這樣有爭議的算式引發(fā)了教師的不同教學(xué)策略。

[關(guān)鍵詞]辯論;教學(xué)策略;因果顛倒

[中圖分類號] G623.5[文獻標(biāo)識碼] A[文章編號] 1007-9068（2021）23-0033-02

有這樣一道應(yīng)用題：池塘里有一些青蛙，有5只跳上岸，還剩23只青蛙，問：池塘里原來有多少只青蛙？學(xué)生列式：28-5=23。這樣的列式，讓教師犯難——說它錯，可明明已經(jīng)算出青蛙的總數(shù)是28，而且成功地用青蛙總數(shù)減去跳上岸的青蛙數(shù)等于池塘中剩下的青蛙數(shù)，無論是給出的總數(shù)還是算式推導(dǎo)過程，都符合實情;但是，說它對，又好像說不過去，因為無論過程多么完美，結(jié)果多么正確，總歸是答非所問，因為題目問的是池塘里原來有多少只青蛙，計算的結(jié)果卻是池塘中剩下的青蛙數(shù)。此為其一，其二是犯下“因果顛倒”的錯誤，青蛙總數(shù)由未知變成已知，而池塘中剩下的青蛙數(shù)明明是已知，卻莫名其妙變成未知，因果顛倒，本末倒置。這就是不可寬縱姑息的錯誤，判對很難服眾。那么，究竟如何決斷呢？教師間展開了激烈的辯論。

一、正方觀點

正方的論據(jù)有三：一是根據(jù)答題情況反饋，學(xué)生已經(jīng)掌握了加減法數(shù)量關(guān)系的推導(dǎo)和整理，并會運用加減法的運算意義來對照分析實際問題中的各項條件，并且掌握了“總數(shù)-減少數(shù)量=剩下數(shù)量”的公式，而且學(xué)生已經(jīng)解決了問題。因為當(dāng)問學(xué)生池塘里的青蛙總數(shù)是多少時，學(xué)生能夠快速準(zhǔn)確地說出“28”。二是根據(jù)等式的性質(zhì)1（等式兩邊同時加上或減去同一個數(shù)，結(jié)果仍相等）可知，28-5=23和28=5+23等價，再根據(jù)等式左右兩邊的對等性，28=5+23和5+23=28等價，于是推理出28-5=23這個算式也可行，唯一的區(qū)別就是將運算結(jié)果放到了算式的左邊，這只是一個習(xí)慣問題，因為等號沒有方向性，也就意味著等號左右兩邊是平等的，所以從右邊看向左邊也未嘗不可。三是如此表達，更符合用方程解決問題的解題思路。假設(shè)池塘里原有的青蛙總數(shù)是x只，那么依據(jù)題意列方程就得到x-5=23，運用“想加做減”可以得出方程的解為x=28，而根據(jù)方程的解的定義——能使方程成立的未知數(shù)的值是原方程的解，那么將x=28代入原方程檢驗，就得到28-5=23，正好這個檢驗式就是學(xué)生所列算式，這恰好證明了學(xué)生的列式暗合了方程解法的檢驗式。

以上教師的爭論和新奇觀點給筆者帶來了啟示，順著他們的指引，筆者展開新的研究，并另辟蹊徑，借助方程思想來解析這個問題。例如這一題中，分析問題時不直接用方程，而是用小括號來代替未知數(shù)x，如：（）-5=23，這種形式的作業(yè)在想加做減（或想減做加）時經(jīng)常碰到，因為這種算術(shù)法有一個好處，那就是可以完全按照題目陳述事情的發(fā)展順序來寫出算式。

“（）-5=23”這樣的題目，學(xué)生司空見慣，在沒有學(xué)習(xí)等式的性質(zhì)和移項之前，這種填空式的題目，不僅有利于學(xué)生掌握加減法之間的逆運算關(guān)系，還避免了分析數(shù)量關(guān)系時復(fù)雜的逆推，可按照事情發(fā)展順序?qū)⑺闶綄懴聛?，便于學(xué)生理解、接受和應(yīng)用。特別值得指出的是，如果將算式里的括號替換成“x”，就變成一個標(biāo)準(zhǔn)的方程式。方程思想的早期萌芽就此產(chǎn)生。

二、反方論調(diào)

反方則給出了這樣的理由：學(xué)生列出這種算式，表面看是表達式的問題，往深里說，其實深刻揭露學(xué)生對加減法意義理解出現(xiàn)偏差。在一年級，這樣的習(xí)題屢見不鮮，這樣的式子再也正常不過。例如畫圖表示“3+5”，學(xué)生經(jīng)常會這樣表示（如圖1）：

雖然教師一再強調(diào)“加法表示合并起來”，圖中要表示出3個和5個合并起來的意義，而不是將8個分成3個和5個，但是學(xué)生置若罔聞，仍然在圖上先畫出8個圓圈，然后再畫分隔號。對此題，筆者有一次在黑板上示范畫圖，畫完圖之后，事有湊巧，正好黑板寫滿了，為了與黑板上的其他內(nèi)容隔開，筆者將這部分板書“圈”起來（滲透集合思想）。打那以后，讓學(xué)生圖示加法算式時，許多學(xué)生就會有樣學(xué)樣地給圖示畫一個圈，而且固執(zhí)地認(rèn)為如果不加圓圈就是不規(guī)范的。筆者深究原因時，他們卻說不出個所以然。綜合分析學(xué)生上述反常表現(xiàn)，可以看出一些端倪，因為知識儲量、認(rèn)知經(jīng)驗、邏輯素養(yǎng)等多方面的缺失，一年級學(xué)生還不善于從數(shù)學(xué)視角看待和分析問題。相對而言，他們分析數(shù)學(xué)問題時更多依賴的是生活經(jīng)驗和慣性思維，非數(shù)學(xué)因素的影響占了上風(fēng)。教師經(jīng)常在課堂上追問學(xué)生采用加（減）法的原因，學(xué)生的回答質(zhì)樸天真：“因為是跳走了，所以用減法。”“因為跑來了，所以用加法?！边@些說明學(xué)生是按照生活事理來理解問題的，而不是從嚴(yán)密的算術(shù)邏輯上來考量的。換言之，學(xué)生對于解答方法的選擇，是基于對生活事件和情境的直觀認(rèn)知，而不是從加減法的意義去思考的。

三、求同存異

這樣的心理走向，折射出學(xué)生的學(xué)習(xí)短板，在這道題中，已知跳走的青蛙只數(shù)和剩下的青蛙只數(shù)，求原有的青蛙總數(shù)，自然是按照加法的意義來推導(dǎo)，將“跳走的”和“剩下的”兩個部分合起來，就得到總數(shù)。在實際的調(diào)查中發(fā)現(xiàn)，部分學(xué)生的確是憑直覺心算出23+5=28，而后受到“跳走了”這樣的動詞暗示，習(xí)慣性地按照事情的發(fā)展順序來寫算式，不由自主地將解答算式寫成“28-5=23”。由此可見，學(xué)生對加減法運算意義的理解不夠牢固，尤其是加法中的“被加數(shù)+加數(shù)=和”，可以在不同情境中賦予三個元素不同的物理含義，以及對算式的不同算術(shù)表達，如“被加數(shù)+加數(shù)=和”可以轉(zhuǎn)換成“一堆+一堆=總數(shù)”，也可以轉(zhuǎn)換成“拿走的+剩下的=原數(shù)”……不一而足。這些都說明學(xué)生在加減法模型構(gòu)建上的不足。

那么，如何引導(dǎo)學(xué)生深入理解加減法意義，學(xué)會從算術(shù)的運行原理上分析問題，而盡量減少非數(shù)學(xué)因素的影響呢？一方面，要完善分析數(shù)量關(guān)系過程的訓(xùn)練，堅持讓學(xué)生圈畫出數(shù)學(xué)信息，厘清哪些是已知，哪些是未知，選用合適的衍生公式計算，保證結(jié)果指向未知;另一方面，可激活學(xué)生的“畫圖”的經(jīng)驗。運用畫圖策略，將題目進行科學(xué)圖示（如圖2），從而指導(dǎo)學(xué)生進一步領(lǐng)會加法的意義，構(gòu)建加法模型。

至此，正反雙方達成共識，求同存異，對于學(xué)生的列式，支持的教師可以趁機滲透方程思想，反對的教師則以此為反例，加強對加減法意義的講解和算術(shù)模型的構(gòu)建，至于孰是孰非已經(jīng)不重要，一場紛爭轉(zhuǎn)化為對教學(xué)規(guī)律與方法的爭鳴與研討。不同的教師，面對同樣的問題，因為思考的角度不同，運用的數(shù)學(xué)思想不同，指導(dǎo)方向取向不同，于是，教學(xué)策略就有了差異，于是教學(xué)才會百花齊放、五彩繽紛。

（責(zé)編 黃春香）