鄭燕紅

摘? 要：方程和不等式是對含有字母符號的兩個(gè)代數(shù)式表示量的大小關(guān)系的進(jìn)一步研究，是初中代數(shù)領(lǐng)域中符號抽象、運(yùn)算和推理基本思想的具體化，也是代數(shù)式研究的基本思想的進(jìn)一步發(fā)展. 以解決問題為出發(fā)點(diǎn)，設(shè)計(jì)適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)活動(dòng)，引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷用方程和不等式解決問題過程中符號抽象、運(yùn)算和推理思想的操作體會、概括提煉、遷移應(yīng)用、聯(lián)系發(fā)展等過程，促進(jìn)學(xué)生建立方程、不等式與代數(shù)式之間的知識及思想方法關(guān)聯(lián)，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理等素養(yǎng)及問題解決能力.

關(guān)鍵詞：方程不等式;專題復(fù)習(xí)教學(xué);核心素養(yǎng)

方程和不等式是數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域的核心內(nèi)容之一，它既是數(shù)與代數(shù)式研究的自然發(fā)展，又與函數(shù)內(nèi)容有著緊密的聯(lián)系. 方程和不等式是初中數(shù)學(xué)最典型的模型之一，承載著數(shù)學(xué)建模解決現(xiàn)實(shí)問題能力的育人價(jià)值. 同時(shí)，方程和不等式又是教學(xué)中的重、難點(diǎn)，特別是難以根據(jù)問題情境建立方程和不等式模型. 用“符號抽象、推理和運(yùn)算”這一“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域的“大觀念”引領(lǐng)，開展聚焦數(shù)學(xué)建模思想及符號抽象、推理和運(yùn)算等關(guān)鍵能力的專題復(fù)習(xí)教學(xué)，對發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模等素養(yǎng)具有重要意義.

一、內(nèi)容和內(nèi)容解析

1. 內(nèi)容

本節(jié)課是“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域的專題復(fù)習(xí)，是聚焦用方程解決問題的符號抽象、推理和運(yùn)算這一核心思想的概括提煉和遷移應(yīng)用——通過符號抽象建立方程、不等式模型，用符號推理、運(yùn)算解方程和不等式，并解決相關(guān)的實(shí)際問題.

2. 內(nèi)容解析

在“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域，首先通過字母表示數(shù)、列代數(shù)式表示數(shù)量與數(shù)量之間的關(guān)系，在此基礎(chǔ)上研究兩個(gè)代數(shù)式之間的大小關(guān)系，這是從代數(shù)式到方程、不等式發(fā)展的數(shù)學(xué)內(nèi)在邏輯. 方程和不等式的學(xué)習(xí)，既是數(shù)與代數(shù)式學(xué)習(xí)的發(fā)展，也是函數(shù)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ).

史寧中教授認(rèn)為，抽象、推理和模型是三種最為基本的數(shù)學(xué)思想. 通過抽象把外部世界引入數(shù)學(xué)，形成數(shù)學(xué)的研究對象;通過推理，得到數(shù)學(xué)的命題和計(jì)算方法，促進(jìn)數(shù)學(xué)內(nèi)部的發(fā)展;通過模型，搭建數(shù)學(xué)與外部世界的橋梁. 數(shù)學(xué)抽象、推理和模型這三種數(shù)學(xué)基本思想在函數(shù)、方程和不等式中顯得非常典型和連貫. 在實(shí)際問題中，有些數(shù)據(jù)不能通過直接測量確定，需要尋找相等或不等的數(shù)量關(guān)系，抽象出符號、建立已知數(shù)與未知數(shù)之間的聯(lián)系，構(gòu)建方程或不等式模型，借助運(yùn)算和推理間接地得到數(shù)據(jù)，進(jìn)而解決問題. 這是方程和不等式在解決問題中的獨(dú)特作用，也是用方程和不等式解決問題的基本思想.

基于上述分析，確定本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)為：以解決問題為載體，概括用方程和不等式解決問題的基本思想——符號抽象、推理和運(yùn)算. 這與基礎(chǔ)復(fù)習(xí)課中的“方程與不等式”復(fù)習(xí)教學(xué)的重點(diǎn)明顯不同.

二、目標(biāo)和目標(biāo)解析

1. 目標(biāo)

（1）通過具體問題解決及反思總結(jié)，能提煉出方程和不等式建模的基本思想和操作步驟.

（2）通過對解決問題過程的反思總結(jié)，提煉方程、不等式建模中的思想實(shí)質(zhì)，即符號抽象、推理和運(yùn)算，并總結(jié)其作用、操作步驟和要點(diǎn).

（3）能應(yīng)用提煉出的思想方法解決新情境中的問題.

2. 目標(biāo)解析

達(dá)成目標(biāo)（1）的標(biāo)志：能用方程和不等式解決簡單的實(shí)際問題，通過對解題過程的反思總結(jié)得到方程和不等式建模的思考框圖和步驟要點(diǎn).

達(dá)成目標(biāo)（2）的標(biāo)志：能發(fā)現(xiàn)建立方程、不等式模型思考過程的共性，通過歸納得到用方程、不等式解決問題的符號抽象、推理和運(yùn)算的作用、步驟和要點(diǎn).

達(dá)成目標(biāo)（3）的標(biāo)志：能在提煉出的思想和方法指導(dǎo)下解決新情境中的問題.

三、教學(xué)問題診斷分析

在基礎(chǔ)復(fù)習(xí)階段，數(shù)與式、方程與不等式復(fù)習(xí)的重點(diǎn)是：用數(shù)系擴(kuò)充思想整理數(shù)的發(fā)展過程及相關(guān)知識;理解數(shù)的有關(guān)概念和法則;訓(xùn)練數(shù)學(xué)運(yùn)算技能;用代數(shù)式表示數(shù)量關(guān)系;代數(shù)式的運(yùn)算;方程和不等式模型的建立和解法. 學(xué)生會解方程，也會用方程或不等式解決簡單的問題. 但學(xué)生還沒有從“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域的整體視野認(rèn)識方程和不等式，理解其基本思想的一致性. 學(xué)習(xí)本課之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了數(shù)學(xué)思想方法之符號抽象、運(yùn)算與推理第1課時(shí)——數(shù)與式. 學(xué)生對這些數(shù)學(xué)思想方法已經(jīng)不陌生，對符號抽象、推理與運(yùn)算思想方法也已經(jīng)有了初步的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn).

數(shù)學(xué)思想方法很抽象，學(xué)生更多的還是停留在只能意會不能言傳的階段. 本節(jié)課教學(xué)主要的困難體現(xiàn)在以下兩個(gè)方面：一是在現(xiàn)實(shí)情境中如何抽象出符號，建立方程或不等式模型;二是總結(jié)符號抽象、推理與運(yùn)算這種思想在應(yīng)用方程或不等式解決問題過程中的作用、操作步驟和要點(diǎn).

在解決實(shí)際問題時(shí)，列出方程和不等式既是重點(diǎn)也是難點(diǎn). 例如，找等量或不等量關(guān)系對學(xué)生來說比較困難. 如果題目中已經(jīng)說明，可以通過劃關(guān)鍵詞的方式在題目中找等量關(guān)系或不等關(guān)系;此外，有的相等或不等關(guān)系需要從現(xiàn)實(shí)生活中抽象、從科學(xué)情境中獲悉、從數(shù)學(xué)公式中確定，這需要教師在教學(xué)中通過精選典型例題幫助學(xué)生積累經(jīng)驗(yàn). 再如，在找到等量關(guān)系后，怎樣把這種等量關(guān)系轉(zhuǎn)譯成方程或不等式？這需要通過合理設(shè)未知數(shù)，用含有未知數(shù)的不同的代數(shù)式分別表示具有相等或不等關(guān)系的兩個(gè)量. 這一表示過程中，首先要確定設(shè)什么量為未知數(shù)，其次要確定用哪些運(yùn)算建立已知量和未知量之間的聯(lián)系，列出代數(shù)式. 這需要對找到的相等或不等的兩個(gè)量的組成結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析，用代數(shù)運(yùn)算加以表達(dá)，確定決定這兩個(gè)量的構(gòu)成要素是什么量，這個(gè)量就可以設(shè)為未知數(shù)，而構(gòu)成的運(yùn)算關(guān)系可以用來列代數(shù)式.

基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)為：理解設(shè)未知數(shù)、列方程與不等式過程中的要素分析和符號抽象方法.

四、教學(xué)過程設(shè)計(jì)

課前測試1：95%的酒精可用于擦拭紫外線燈;70% ～ 75%的酒精可用于消毒;40% ～ 50%的酒精可預(yù)防褥瘡;25% ～ 50%的酒精可用于物理退熱.

（1）現(xiàn)把75%的酒精與25%的酒精各取一部分進(jìn)行混合，得到的酒精濃度范圍是? ? ? ? ;

（2）如果要得到45%的酒精500 ml，則需要75%的酒精? ? ? ? ml，25%的酒精? ? ? ? ml;

（3）如果要得到40% ～ 50%的酒精100 ml，需要75%的酒精最多? ? ? ? ml，最少? ? ? ? ml.

答案與思路：（1）直觀判斷：濃度大于25%小于75%，這與“湯的濃度”問題相同;

（2）列一元一次方程或二元一次方程組，解得需要75%的酒精200 ml，25%的酒精300 ml;

（3）列不等式組可得需要75%的酒精最多50 ml，最少30 ml.

這三道小題反映了從粗略到精細(xì)的問題研究發(fā)展過程.

課前測試2：如圖1，圖1（1）的等臂天平呈平衡狀態(tài)，其中左側(cè)秤盤有一袋石頭，右側(cè)秤盤有一袋石頭和2個(gè)質(zhì)量為10 g的砝碼. 將左側(cè)袋中的一顆石頭移至右側(cè)秤盤，并拿走右側(cè)秤盤的1個(gè)砝碼后，天平仍呈平衡狀態(tài)，如圖1（2）所示. 被移動(dòng)石頭的質(zhì)量為? ? ? ? .

答案與思路：列二元一次方程組或一元一次方程，解得被移動(dòng)石頭的質(zhì)量為5 g.

課前測試3：某地豬肉的月平均價(jià)格從4月的50元 / kg漲到6月的60.5元 / kg，則平均每月漲價(jià)的百分比是? ? ? ? ? .

答案與思路：列一元二次方程，解得平均每月漲價(jià)10%.

1. 解決問題，感悟總結(jié)

前面我們學(xué)習(xí)過，通過字母表示數(shù)，列代數(shù)式及代數(shù)式的運(yùn)算，可以解決課前測試1的第（1）小題. 我們接著進(jìn)行思考.

問題1：課前測試1的第（2）小題是怎樣解的？

師生活動(dòng)：學(xué)生在平板電腦上遞交解答過程，教師呈現(xiàn)學(xué)生的不同解法.

等量關(guān)系：混合前溶質(zhì)的質(zhì)量 = 混合后溶質(zhì)的質(zhì)量，混合前溶液的質(zhì)量 = 混合后溶液的質(zhì)量，質(zhì)量分?jǐn)?shù) = [溶質(zhì)的質(zhì)量溶液的質(zhì)量.]

追問1：為什么想到用方程解決問題？用方程解決問題的一般步驟有哪些？

追問2：用方程解決實(shí)際問題時(shí)，你是怎樣想的？

追問3：需要怎樣列方程？能與列代數(shù)式的過程進(jìn)行比較，說一說列方程的思考步驟嗎？

師生活動(dòng)：通過師生之間的相互交流，總結(jié)列方程解決問題的一般步驟為“審、設(shè)、列、解、驗(yàn)、答”，概括出用方程解決問題的一般思路如圖2所示，總結(jié)出方程建模的作用、步驟和要點(diǎn)如表1所示.

[表1][作用 操作步驟 核心要點(diǎn) 根據(jù)基本的數(shù)量關(guān)系，建立已知數(shù)與未知數(shù)之間的聯(lián)系，間接地求得未知數(shù)的值 找等量關(guān)系：找到相等的量，確定基本數(shù)量關(guān)系 符號表示 設(shè)未知數(shù)：分析相等的兩個(gè)量的決定要素，用字母表示 列方程：用不同的代數(shù)式分別表示兩個(gè)相等的量，用等號連接 解方程：依據(jù)等式性質(zhì)及代數(shù)式的運(yùn)算法則進(jìn)行推理和運(yùn)算 推理運(yùn)算 答：檢驗(yàn)結(jié)果，解釋實(shí)際意義，得到問題的解 意義解釋 ]

【設(shè)計(jì)意圖】通過用方程解決實(shí)際問題，讓學(xué)生經(jīng)歷符號抽象、推理和運(yùn)算過程，總結(jié)列方程解決問題的作用、步驟和要點(diǎn).

問題2：課前測試1的第（3）小題是怎樣解的？

師生活動(dòng)：學(xué)生在平板電腦上遞交解答過程，教師呈現(xiàn)學(xué)生的解法.

不等關(guān)系：40% ≤ 混合后的酒精質(zhì)量分?jǐn)?shù) ≤ 50%.

解：設(shè)需要75%的酒精x ml，則需要25%的酒精[100-x] ml.

答：需要75%的酒精最多50 ml，最少30 ml.

追問1：怎么想到用不等式解決問題？

追問2：用不等式解決問題時(shí)，你是怎樣想的？

追問3：怎樣列不等式，能與列代數(shù)式的過程進(jìn)行比較，說一說列不等式的思考步驟嗎？

師生活動(dòng)：通過相互交流，總結(jié)列不等式解決問題的一般步驟為“審、設(shè)、列、解、驗(yàn)、答”，概括用不等式解決問題的一般思路如圖3所示，總結(jié)不等式建模的作用、步驟和要點(diǎn)如表2所示.

[實(shí)際問題的解][實(shí)際問題][找不等關(guān)系][設(shè)未知數(shù)，列不等式][不等式問題][解不等式][? ? 依據(jù)不等式性質(zhì)進(jìn)行推理，用代數(shù)式的運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算][不等式的解] [符合實(shí)際] [（解釋實(shí)際意義）][圖3]

[表2][作用 操作步驟 核心要點(diǎn) 根據(jù)基本的數(shù)量關(guān)系，建立已知數(shù)與未知數(shù)之間的聯(lián)系，間接地求得未知數(shù)的取值范圍 ? ? 找不等量關(guān)系：找到不等的量，確定基本數(shù)量關(guān)系 符號表示 ? ? 設(shè)未知數(shù)：分析不等的兩個(gè)量的決定要素，用字母表示 ? ? 列不等式：用不同的代數(shù)式分別表示兩個(gè)不等的量，用不等號連接 ? ? 解不等式：依據(jù)不等式的性質(zhì)及代數(shù)式的運(yùn)算法則進(jìn)行推理和運(yùn)算 推理運(yùn)算 ? ? 答：檢驗(yàn)結(jié)果，解釋實(shí)際意義，得到問題的解 意義解釋 ]

【設(shè)計(jì)意圖】類似于方程，通過用不等式解決實(shí)際問題，讓學(xué)生經(jīng)歷符號抽象、推理和運(yùn)算過程，總結(jié)列不等式解決問題的作用、步驟和要點(diǎn)，體會方程和不等式研究思想方法的相似性——符號抽象、推理和運(yùn)算.

2. 歸納提煉，形成思想

問題3：通過前面兩個(gè)問題的解決，能總結(jié)出用方程和不等式解決問題方法的共性嗎？用方程和不等式解決問題的關(guān)鍵步驟有哪些？它和用代數(shù)式解決問題有什么聯(lián)系？

師生活動(dòng)：學(xué)生先獨(dú)立思考，再小組合作，相互補(bǔ)充與完善. 教師小組內(nèi)傾聽，引導(dǎo)學(xué)生從方程和不等式有什么用、操作步驟是怎樣的、核心要點(diǎn)是什么這三個(gè)方面歸納共性.

師生共同歸納得到如圖4所示的框圖和如表3所示的操作要領(lǐng).

[實(shí)際問題的解][實(shí)際問題][找相等或不等關(guān)系][設(shè)未知數(shù)，列不等式][方程或不等式問題][解方程或不等式][? ? 依據(jù)等式或不等式性質(zhì)進(jìn)行推理，用代數(shù)式的運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算][方程或不等式的解] [符合實(shí)際] [（解釋實(shí)際意義）][圖4]

[表3][作用 操作步驟 核心要點(diǎn) ? ? 根據(jù)基本的數(shù)量關(guān)系，建立已知數(shù)與未知數(shù)之間的聯(lián)系，間接地求得未知數(shù)的值或取值范圍 ? ? 找相等或不等關(guān)系：找到相等或不等的量，確定基本數(shù)量關(guān)系 符號表示 ? ? 設(shè)未知數(shù)：分析相等或不等的兩個(gè)量的決定要素，用字母表示 ? ? 列方程、不等式：用不同的代數(shù)式分別表示兩個(gè)相等或不等的量，用等號或不等號連接 ? ? 解方程、不等式：依據(jù)等式性質(zhì)或不等式性質(zhì)及代數(shù)式的運(yùn)算法則進(jìn)行推理和運(yùn)算 推理運(yùn)算 ? ? 答：檢驗(yàn)結(jié)果，解釋實(shí)際意義，得到問題的解 意義解釋 ]

【設(shè)計(jì)意圖】通過兩個(gè)不同背景的例子，分析解題過程，歸納解題過程中的共性和其中蘊(yùn)涵的共同思想，發(fā)展學(xué)生的抽象、推理和運(yùn)算能力;體會用方程或不等式解決實(shí)際問題的基本過程：基于用字母表示數(shù)，以代數(shù)式為工具，研究兩個(gè)量之間的相等或不等關(guān)系. 這是從具體到抽象再到具體的過程，體會其中的關(guān)鍵是符號抽象、推理和運(yùn)算，建立代數(shù)式、方程、不等式知識之間的關(guān)聯(lián)性和基本思想的一致性.

3. 遷移應(yīng)用，積累經(jīng)驗(yàn)

問題4：課前測試2是怎么解的？

師生活動(dòng)：學(xué)生先闡述自己的解題思路，教師觀察學(xué)生的解題思路中是否用到了數(shù)學(xué)符號語言表達(dá)，是否有邏輯的運(yùn)算，并進(jìn)行適當(dāng)?shù)匾龑?dǎo).

思路1：確定等量關(guān)系——左側(cè)天平的增加量 = 右側(cè)天平的增加量.

設(shè)被移動(dòng)石頭的質(zhì)量為x g，則-x = -10 + x. 解得x = 5.

思路2：確定等量關(guān)系——左側(cè)天平的質(zhì)量 = 右側(cè)天平的質(zhì)量.

（1）設(shè)圖1（1）左側(cè)天平的一袋石頭重a g，則右側(cè)天平的一袋石頭重[a-20] g. 設(shè)被移動(dòng)石頭的質(zhì)量為x g. 由題意，得[a-x=a-20+10+x.] 解得x = 5.

（2）設(shè)圖1（1）左側(cè)天平的一袋石頭重a g，右側(cè)天平的一袋石頭重b g，被移動(dòng)石頭的質(zhì)量為x g.

【設(shè)計(jì)意圖】此題著重引導(dǎo)學(xué)生通過要素分析合理地設(shè)未知數(shù). 設(shè)未知數(shù)時(shí)，要分析具有相等關(guān)系的兩個(gè)量各自的決定要素，用字母表示這個(gè)決定要素，在此基礎(chǔ)上用不同的代數(shù)式分別表示這兩個(gè)量，用等式表示兩個(gè)量之間的相等關(guān)系.

4. 拓展提升，發(fā)展能力

例? 洗一件衣服分去污和清洗兩個(gè)階段. 去污階段：先把衣物放在含洗衣液的水中去污，讓衣服中的污物充分溶解形成污水，擰干后衣服中還殘留污水800 ml. 清洗階段：加入若干清水清洗，充分混合后形成清洗水，再把清洗水?dāng)Q干;再次加入清水清洗后又?jǐn)Q干;反復(fù)這樣清洗，直到清洗干凈（污水在清洗水中所占百分比為5%以下）. 假設(shè)清洗階段每次加入等量的清水，且每次擰干后衣服中殘留清洗水800 ml.

在清洗階段，如果想通過第二次加清水清洗后，使污水在清洗水中所占百分比在第一次基礎(chǔ)上減少60%，每次應(yīng)加入多少清水？

追問1：在解題的過程中，你會思考哪些問題幫助自己解決問題？

追問2：反思自己的解題過程，解決問題的關(guān)鍵步驟有哪些？

師生活動(dòng)：學(xué)生先獨(dú)立思考，遇到不理解的問題可前后桌之間相互解答，教師及時(shí)予以輔導(dǎo).

基本的數(shù)量關(guān)系：質(zhì)量分?jǐn)?shù) =[溶質(zhì)質(zhì)量溶液質(zhì)量，] 溶液 = 溶質(zhì) + 溶劑.

第二次清洗后，原污水質(zhì)量分?jǐn)?shù) =[1-60%]× 第一次清洗后原污水的質(zhì)量分?jǐn)?shù).

設(shè)每次加清水x ml，則數(shù)量關(guān)系如表4所示.

經(jīng)檢驗(yàn)，[x=1 200]是原方程的解.

答：每次加入清水1 200 ml.

【設(shè)計(jì)意圖】用學(xué)到的符號抽象、推理和運(yùn)算思想建立模型，解決等量關(guān)系比較隱蔽的問題，深化學(xué)生對符號抽象、推理和運(yùn)算等思想方法的認(rèn)識，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)建模的能力.

5. 課堂小結(jié)，深化理解

（1）在用方程或不等式解決實(shí)際問題時(shí)，你是怎樣想的？

（2）列方程或不等式時(shí)，有哪些思考步驟？

（3）解方程或不等式時(shí)是怎樣想的？

（4）列方程或不等式的思考過程與列代數(shù)式有什么不同？有哪些聯(lián)系？

師生活動(dòng)：先由學(xué)生相互交流，再由師生共同歸納得到框圖4和表3.

【設(shè)計(jì)意圖】通過思考（1）引導(dǎo)學(xué)生整體回顧把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為方程或不等式問題的整個(gè)建模過程. 通過思考（2）引導(dǎo)學(xué)生概括列方程或不等式的操作步驟，體會其中的符號抽象意識. 通過思考（3）使學(xué)生明確解方程或不等式，是依據(jù)等式或不等式的性質(zhì)進(jìn)行推理，用代數(shù)式的運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算，這也是演繹推理的過程. 通過思考（4）讓學(xué)生體會方程或不等式是以代數(shù)式為工具，研究兩個(gè)量的相等或不等關(guān)系，是從具體到抽象再到具體的過程，而代數(shù)式是借助字母表示數(shù)，從特殊推廣到一般的思考過程，建立數(shù)、代數(shù)式、方程、不等式之間聯(lián)系，建構(gòu)有序、多級的知識體系.

6. 課后目標(biāo)檢測

（1）甲、乙兩人在廣場上繞水池邊散步. 如圖5，已知該正方形水池的周長為400米，他們在相鄰的兩個(gè)角上同時(shí)沿池邊逆時(shí)針行走，乙在甲后，甲每分鐘走50米，乙每分鐘走44米，那么甲乙二人自出發(fā)后到初次在同一邊上行走所需要的時(shí)間是（? ? ）.

（A）14分鐘 （B）32分鐘

（C）34分鐘 （D）28分鐘

（2）某廣告公司招標(biāo)了一批燈箱加工工程，需要在規(guī)定時(shí)間內(nèi)加工1 400個(gè)燈箱，該公司按一定速度加工5天后，發(fā)現(xiàn)按此速度加工下去會延期10天完工，于是又抽調(diào)了一批工人投入燈箱加工，使工作效率提高了50%，結(jié)果如期完成工作. 求該公司前5天每天加工多少個(gè)燈箱？

（3）從盛滿20升純酒精的容器中倒出若干升，然后用水注滿，再倒出同樣升數(shù)的混合液后，這時(shí)容器里剩下約5升純酒精，問每次倒出多少升溶液？

（4）一個(gè)自行車的新輪胎，若把它安裝在前輪，則自行車行駛5 000千米后報(bào)廢;若把它安裝在后輪，則自行車行駛3 000千米后報(bào)廢. 行駛一定路程后可以交換前、后輪胎. 如果交換前、后輪胎，要使一輛自行車的一對新輪胎同時(shí)報(bào)廢，那么這輛車將能行駛多少千米？

五、教學(xué)設(shè)計(jì)中的若干思考

1. 用“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域的大觀念引領(lǐng)，聚焦核心思想進(jìn)行整體教學(xué)，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)

在初中數(shù)學(xué)課程中，“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”“統(tǒng)計(jì)與概率”等領(lǐng)域各有自身的大觀念和核心思想. “數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域的核心思想是符號抽象、推理與運(yùn)算，其大觀念是通過符號抽象，建立代數(shù)式、方程、不等式、函數(shù)模型，通過代數(shù)運(yùn)算和推理，研究數(shù)量的大小、數(shù)量關(guān)系及其規(guī)律（在運(yùn)算中的不變性）. 抓住這一核心思想組織本領(lǐng)域的專題復(fù)習(xí)教學(xué)，可以促進(jìn)學(xué)生體會本領(lǐng)域的大觀念，領(lǐng)會本領(lǐng)域蘊(yùn)涵的核心思想和方法，用整體視角建立起本領(lǐng)域有序、多級的知識體系，實(shí)現(xiàn)“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域發(fā)展學(xué)生的符號抽象及其推理和運(yùn)算等關(guān)鍵能力的育人價(jià)值.

本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)中，課前測試1的第（1）小題是銜接上一節(jié)課“符號抽象、推理和運(yùn)算（1）——數(shù)與式”專題復(fù)習(xí)的，通過對濃度的簡單混合到定量混合得到目標(biāo)濃度的問題深化研究，引導(dǎo)學(xué)生從代數(shù)式研究過渡到方程與不等式的復(fù)習(xí)，體會方程與不等式是基于大小關(guān)系研究到代數(shù)式研究的自然發(fā)展，暗示學(xué)生本節(jié)課同樣要用“符號抽象、推理和運(yùn)算”復(fù)習(xí)用方程與不等式解決問題的思想和方法.

2. 遵循數(shù)學(xué)思想方法和活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的學(xué)習(xí)規(guī)律，設(shè)計(jì)操作體會、反思總結(jié)、遷移應(yīng)用等教學(xué)環(huán)節(jié)

數(shù)學(xué)思想方法和活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的學(xué)習(xí)需要經(jīng)歷操作體會、明朗化、遷移應(yīng)用和聯(lián)系發(fā)展等階段. 本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)了“解決問題、感悟總結(jié);歸納提煉、形成思想;遷移應(yīng)用、積累經(jīng)驗(yàn);拓展提升、發(fā)展能力;課堂小結(jié)、深化理解”等教學(xué)環(huán)節(jié)，以具體、典型的問題解決為載體，抓住反思總結(jié)這一關(guān)鍵，遵循數(shù)學(xué)思想方法和活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的學(xué)習(xí)規(guī)律進(jìn)行教學(xué)，教學(xué)活動(dòng)和教學(xué)內(nèi)容與教學(xué)目標(biāo)相匹配，與學(xué)生的學(xué)習(xí)規(guī)律相適應(yīng)，從學(xué)生的課堂反映也可以看出學(xué)生的思考和表達(dá)是有序發(fā)展的.

3. 設(shè)計(jì)有針對性的問題，形成可操作的方法，幫助學(xué)生突破難點(diǎn)

在列方程和不等式解決問題的過程中，難點(diǎn)是“列”，列方程和不等式難在哪里？難點(diǎn)主要有兩個(gè)方面：一是找不到相等或不等關(guān)系;二是即使找到了相等或不等關(guān)系，卻難以將其轉(zhuǎn)化為方程或不等式.

對于難點(diǎn)一，考慮到等量關(guān)系存在的四種典型方式：（1）問題中直接給出;（2）從生活經(jīng)驗(yàn)中抽象;（3）從自然科學(xué)中獲悉;（4）從數(shù)學(xué)定理公式中提取，故對這個(gè)難點(diǎn)的突破是用典型例題來實(shí)現(xiàn)的. 例如，課前測試的三道小題可以根據(jù)科學(xué)原理找等量關(guān)系，例題是根據(jù)生活經(jīng)驗(yàn)結(jié)合科學(xué)原理找等量關(guān)系. 由于教學(xué)時(shí)間的限制，沒有設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)內(nèi)部用方程和不等式解決的問題，這是今后教學(xué)中要改進(jìn)的.

對于難點(diǎn)二，通過引導(dǎo)學(xué)生對相等或不等的兩個(gè)量的組成進(jìn)行分析，分析其決定和構(gòu)成要素，用未知數(shù)表示構(gòu)成要素，通過已知數(shù)和未知數(shù)間的代數(shù)運(yùn)算，建立不同的代數(shù)式分別表示相等或不等的兩個(gè)量，最后用等號或不等號連接表示這兩個(gè)量的代數(shù)式，得到方程或不等式，這一過程是以要素分析為基礎(chǔ)，抽象出符號的過程. 而后面的解方程或解不等式，則是依據(jù)等式或不等式的性質(zhì)、代數(shù)式的運(yùn)算法則進(jìn)行推理和運(yùn)算的過程. 通過這種突破難點(diǎn)的教學(xué)設(shè)計(jì)，把“符號抽象”的過程體現(xiàn)得更加具體、深刻，也使突破難點(diǎn)有了可操作、有針對性的方法，還可以讓學(xué)生理解“列方程以列代數(shù)式為基礎(chǔ)”的含義. 本節(jié)課中，是在用方程或不等式解決問題后及歸納提煉中，用追問“怎樣列方程（不等式），能比較列代數(shù)式說說列方程（不等式）的思考步驟嗎？”來實(shí)現(xiàn)的.

4. 基于測評進(jìn)行教學(xué)

上述教學(xué)設(shè)計(jì)還體現(xiàn)了基于測評進(jìn)行教學(xué)的思想. 通過課前測試了解學(xué)情，提出本節(jié)課的教學(xué)問題，基于學(xué)情進(jìn)行適當(dāng)教學(xué)，通過課后測試評價(jià)教學(xué)效果. 例如，根據(jù)課前測試2的反饋，發(fā)現(xiàn)多數(shù)學(xué)生是用文字語言表述自己判斷的過程，如10 g砝碼就是被移動(dòng)的石塊的質(zhì)量2倍;左側(cè)天平減少的量就是被移動(dòng)的石塊的質(zhì)量，右側(cè)天平減少的量是10 g砝碼的質(zhì)量減去被移動(dòng)的石塊的質(zhì)量等. 學(xué)生缺乏自覺應(yīng)用符號進(jìn)行推理的意識. 在課堂教學(xué)中，教師有針對性地進(jìn)行點(diǎn)撥與提升，引導(dǎo)學(xué)生反思自己的思考過程，在與同伴的交流中，形成多樣的符號表達(dá)，發(fā)展符號意識.

總之，只有遵循知識發(fā)展的邏輯規(guī)律，合理構(gòu)建知識體系，精心選題，通過對不同背景的問題進(jìn)行分析，提煉解決問題的一般規(guī)律，讓學(xué)生學(xué)會洞察本質(zhì)的一致性，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法，并用學(xué)到的思想方法解決問題，發(fā)展問題解決能力，才能真正落實(shí)“四基”、發(fā)展“四能”. 這就要求我們深入研究和理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生、理解技術(shù)、理解教學(xué)，通過適當(dāng)?shù)脑O(shè)問，用程序步驟等形式，把數(shù)學(xué)基本思想、活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)等進(jìn)行顯性化呈現(xiàn)，讓學(xué)生學(xué)會思考問題，形成解決問題的策略和方法.

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