陳淑玲

【摘要】“數(shù)學運算”是指在解題過程中，對運算的對象、法則、思路、方法的理解、掌握、探究和選擇.本文從“數(shù)學運算”核心素養(yǎng)的內(nèi)涵出發(fā)，結(jié)合高中生運算水平現(xiàn)狀，從解析幾何的運算談如何優(yōu)化運算.

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學;數(shù)學運算;內(nèi)涵;現(xiàn)狀;優(yōu)化運算

【基金項目】本文系福建省教育科學“十三五”規(guī)劃2020年度課題“靈動課堂理念下的高中數(shù)學教學研究與實踐”（項目編號：FJJKXB20-870）的研究成果

“數(shù)學運算”并不是簡單的數(shù)學計算能力，它反映了一名學生的綜合能力.“數(shù)學運算”是數(shù)學學科核心素養(yǎng)的六個構(gòu)成要素之一，它幾乎貫串其他五個數(shù)學核心素養(yǎng)中，是高考中考查比例最大的一個核心素養(yǎng).

一、“數(shù)學運算”核心素養(yǎng)的內(nèi)涵

“數(shù)學運算”意味著在解決問題的過程中，選擇適當?shù)乃惴▉斫鉀Q數(shù)學問題的核心水平.它主要包含：清晰計算對象，了解操作算法，利用運算思想，確定操作方法，設(shè)計計算過程，找到操作的結(jié)果.高中數(shù)學課程旨在從多角度標準化中培養(yǎng)學生的數(shù)學思維，并可以有效解決實際問題.“數(shù)學運算”是解決數(shù)學問題的基本途徑.因此，在教學中，教師應(yīng)該注意如何更好地提高學生的“數(shù)學運算”素養(yǎng).

二、高中生運算水平現(xiàn)狀

部分學生在學習數(shù)學時對數(shù)學運算不重視，只注重解題思路方法的探索.比如，解析幾何中的求圓錐曲線的弦長，有些學生思路會了就放棄具體運算，結(jié)果到了真正運算時，往往因為弦長運算公式的選取缺乏合理性導致計算量偏大，還有些學生因為一個符號或坐標的出錯，導致整道題算錯.久而久之，很多學生出現(xiàn)解題思路清晰，解題時過多地依賴口算、心算，不愿意在草紙上動筆，結(jié)果極容易失誤.一旦遇到解析幾何中運算量比較大的復雜運算，就產(chǎn)生畏懼心理和不自信心理，經(jīng)常是一個題目拿到手，不知從何入手開始運算，于是開始依賴計算器和“小猿搜題”等軟件，圖省事、求快速，不愿自己動腦動手.在數(shù)學解題中，有些學生在解題時稍微遇到難一點的運算就沒勇氣往下算，還有些學生在運算過程中，書寫潦草，導致運算出錯，運算結(jié)束后，缺乏對運算結(jié)果的檢查、檢驗過程，導致不能及時發(fā)現(xiàn)并改正錯誤.解題后，學生不善于歸納、總結(jié)、反思解題運算的方法技巧，沒有思維的發(fā)散性，對于能一題多解的問題，只能找到比較常規(guī)的解法，沒法尋求更簡便的運算途徑，不去選取更合理的運算策略，運算過程煩瑣笨拙，從而導致運算失誤或緩慢，必然導致正確率下降，進而打擊了學習的積極性.

由于高中數(shù)學內(nèi)容多、課時少，導致教學任務(wù)繁重，部分教師對數(shù)學運算的理解不到位，在課堂上只注重解題思路和方法的探求，忽視對具體運算過程的示范、引領(lǐng)、指導和要求，很少給學生預留當堂完成運算求解的時間和機會，這就不能及時發(fā)現(xiàn)并指正學生的運算錯誤.而對于學生作業(yè)和考試中的運算錯誤，由于教師缺乏重視，只是讓學生自己核對答案并訂正，很多學生忙于完成大量的作業(yè)，并沒有真正將訂正落實到位，學生的運算能力自然下降.

三、提高高中生數(shù)學運算能力的具體實踐

無算不成數(shù)學題，要有不怕算的思想.高中生的數(shù)學計算能力就是能夠按照題目的條件、待求等，探求與設(shè)計合理的運算路徑，在兼顧計算方法的技巧性和計算速度的快捷性的同時，保證計算結(jié)果的準確性.算理就是計算過程中的原理，是解決為何這樣算的問題.比如，有的同學看到二次方程就用韋達定理，但是沒有判別式作保證，算理不對就會使計算結(jié)果失去意義.當然，我們還希望簡捷，能兩步求解就不要搞成三步、四步，多想少算、優(yōu)算肯定是上策，在運算以前盡量考慮多種可能的方案，比較彼此的優(yōu)劣，像下圍棋一樣，走一步要想好后面的幾步，所謂“磨刀不誤砍柴工”，這就需要解法的設(shè)計.拿到題后沒有斟酌直接計算，很容易誤入歧途，特別是運算比較復雜的問題，運算在求解解析幾何問題中的地位大家都是清楚的，那么該如何優(yōu)化運算呢？

1.優(yōu)化常規(guī)動作

例1 已知點P是圓Q：（x+2）2+y2=32上任意一點，定點R（2，0），線段PR的中垂線與半徑PQ相交于M點，點P在圓周上運動時，設(shè)點M的運動軌跡為E.若點N在雙曲線x24-y22=1（頂點除外）上運動，過點N，R的直線與曲線E相交于A，B，過點N，Q的直線與曲線E相交于C，D，請問：|AB|+|CD|是否為定值（說明理由）？

問題分析：這是一道常規(guī)的涉及圓錐曲線的弦長的問題，學生基本上按部就班求解即可.易求點M的運動軌跡方程為x28+y24=1①，設(shè)直線AB的方程為y=k1（x-2）=2②，聯(lián)立①②消元得（2k21+1）x2-8k21x+8k21-8=0，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2=8k212k21+1，x1x2=8k21-82k21+1，可以求出

AB= 1+k21· x1+x22-4x1x2

= 1+k21· 8k212k21+12-4·8k21-82k21+1=42（k21+1）2k21+1.（*）

然而，在許多情況下，聯(lián)立圓錐曲線方程與直線方程消元后得到的一元二次方程的系數(shù)都含有參數(shù)，利用韋達定理求弦長，計算量都不小.如果用AB= 1+k21 Δa= 1+k21 -8k212-4（2k21+1）8k21-82k21+1=42（k21+1）2k21+1求解，可以發(fā)現(xiàn)利用韋達定理實實在在是繞了一大圈，前面寫出的韋達定理沒有任何作用，這個步驟的優(yōu)化，可以減少含參數(shù)的式子的化簡，減少出錯的概率.

例2 在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C的中心在原點O，焦點在x軸上，短軸長為2，離心率為22，過左頂點A的直線l與橢圓交于另一點B.若|AB|=43，求直線l的傾斜角.

問題分析：這個問題也與弦長問題有關(guān)，容易求得橢圓方程為x22+y2=1.很多學生設(shè)直線l的方程為y=kx+2，代入橢圓方程，得到（2k2+1）x2+42k2x+4k2-2=0，不管是直接用韋達定理代入弦長公式AB= 1+k2· x1+x22-4x1x2，或是利用公式AB=1+k2Δa求解，計算量都不小，但是，如果能發(fā)現(xiàn)本題中一元二次方程中有一個根是-2，則有-2+xB=-42k22k2+1，就容易求得另外一個根為xB=2-22k22k2+1，則AB= 1+k2xA-xB=1+k2·222k2+1=43，這樣運算就可以減少計算量.這就需要學生突破常規(guī)，在熟練運算中養(yǎng)成“常規(guī)動作”的好習慣，靈活選取最適合的弦長公式解題，優(yōu)化步驟才能保證解題質(zhì)量.又如，設(shè)直線方程時方程形式的選取，不同形式的直線方程直接關(guān)系到計算量的大小.若直線經(jīng)過的定點在縱軸上，一般設(shè)為斜截式方程y=kx+b便于運算，即“定點落在縱軸上，斜截式幫大忙”;若直線經(jīng)過的定點在橫軸上，一般設(shè)為x=my+n可以減小運算量，即“直線定點落橫軸，斜率倒數(shù)作參數(shù)”.