曹美娟

說到比較，在各科教學中都很常見。著名教育家烏申斯基就說過：“比較是一切理解和思維的基礎，我們正是通過比較來了解世界上的一切的?！薄冬F代漢語詞典》對“比較”的解釋是：“就兩種或兩種以上同類的事物辨別異同或高下。”布魯姆等人確定的認知目標領域中，比較是“理解”“分析”“評價”水平上的具體行為動詞，也就是說，比較是理性思維在具體學習行為上的“投射”。那么，如何運用比較來積累數學思維活動經驗呢？結合教學實例，我從以下幾方面進行了探究。

一、“求同”，積累歸納的經驗

（一）“異”中求“同”

數學知識中有很多內容都有緊密的聯(lián)系，許多知識內容看似基本上沒有任何聯(lián)系，但是對題目進行仔細分析后，反而能發(fā)掘出其中的共同特性，而掌握這些特性就能積累更多數學的經驗，有效歸納數學知識，領悟數學思維邏輯。因此，在教學中，教師要有意識地引導學生對一些貌似迥異的數學材料進行分析，讓學生比較隱藏其中的共性特性，進而歸納出該知識的本質特點，讓學生經歷從“眼前之竹”的“異”升華到“胸中之竹”的“同”。

在教學蘇教版教材“分數的認識”一課時，學生通過“折一折”“涂一涂”表示出一張長方形紙的“二分之一”。當學生展示各不相同的作品時（有的橫著對折，有的豎著對折，還有的斜著對折，得到的形狀有長方形、三角形等），教師拋出問題：分的結果不同，為什么涂色部分都是長方形的二分之一呢？引發(fā)學生對這些作品進行比較，透過表面的“異”發(fā)現這些作品內蘊的“同”：都是把長方形平均分成兩份，涂色的是其中的一份。在這里，操作是為比較提供素材，而“異中求同”則是為了突出了分數的本質特征，當學生找到了其間的共性時，“二分之一”這個分數的意義也就呼之欲出了。

（二）“變”中求“同”

數學理論知識內容的起源其實都是從生活實踐中變化而來的，這也是數學的魅力，也是因為有變化，所以才會出現多樣、復雜的數學公式和理論，但是其中也有很多的共同點，因為對于作答相同的題目，利用經過不同變化的理論，反而會得出同樣的答案。因此，變化是永恒的，從“變”的角度發(fā)現“同”，也就是函數思想的運用。在蘇教版教材小學數學的各個階段，均有函數思想的滲透，積累這樣的思維經驗，能為今后進一步學習奠定思維基礎。

在蘇教版教材“多邊形的內角和”一課中，學生探索多邊形內角和計算方法時，他們已有知識基礎是“三角形的內角和為180度”。教師可依次呈現四邊形、五邊形、六邊形，讓學生動手分一分，感受可分成的三角形個數的變化規(guī)律：四邊形可分成兩個三角形，五邊形可分成三個三角形……隨著邊數的增加，可分成的三角形個數也相應增加。在此基礎上，讓學生說說有沒有發(fā)現什么規(guī)律。學生很快就能發(fā)現，三角形的個數總是比邊數少2，也就是說，不斷變化的三角形的個數和多邊形的邊數之間存在一定的數量關系。至此，學生得出數量關系式：三角形的個數=多邊形的邊數-2。從“變化”中尋求“不變”，逐步揭示了變化中蘊含的恒定規(guī)律，這正是數學思維的魅力所在。

二、“辨異”，積累分析的經驗

（一）執(zhí)果索“異”

結果往往是學習中學生最能直觀感受數學邏輯的材料。前面講到，數學理論源自生活實際的推導，但是當用數學理論推導生活實際中的事物時，往往會產生不同種類、形式的結果，這也體現了數學理論概念的靈活性，體現了結果中的“異”。學生懂得了執(zhí)果索“異”，那么在解決數學問題的過程中，就會形成多樣的方法，從而有效培養(yǎng)學生的發(fā)散思維。因此，數學學習中，對同一問題的不同探究結果進行比較，進而抽絲剝繭，推究差異產生的原因，是形成分析能力的重要途徑。

教學蘇教版教材“分數的認識”一課時，學生用形狀、大小不同的紙表示出了“四分之一”，教師引導學生比較：既然都表示同一個分數，為什么會大小不同呢？大小不同的物體能用同一個分數表示嗎？通過對實物“四分之一”意義的溯源，推出原因：第一，被平均分的紙張大小不一樣，也就是“單位‘1”不同，分得的部分也就不同；第二，它們都是把“單位‘1”平均分成了4份，表示其中的1份，所以都可以用“四分之一”表示。從而進一步理解分數的意義：分數是基于“單位‘1”比較所得到的結果，體現的是兩者之間的關系。

（二）由因導“異”

不同的條件從不同的角度看待會產生不同的思路和看法。對于數學學習中的題目，當給的條件相同，但是所問的內容不同時，我們進行對比就會發(fā)現，數學理論對結果的導向性存在較大的矛盾，而這也是數學思維本身的一大特質，學生要懂得根據所問內容的區(qū)別來掌握相同理論的運用方法，根據“因”求證“異”，促進數學邏輯思維的發(fā)展。數學中有很多容易混淆的知識，究其原因，還是沒有清晰地認識其間的區(qū)別。若能抓住“對立之處”，也就是“混淆點”的形成過程進行動態(tài)比較，就能形成深刻的認識。

如教學蘇教版教材四年級“找規(guī)律”一課時，對于“首尾相同”和“首尾不同”兩種情況，盡管都講解了，但學生在實際解決問題過程中往往難以區(qū)分。在教學實踐中，可以運用動態(tài)比較理清過程：讓學生通過分別“擺一擺”“畫一畫”得到“首尾不同”和“首尾相同”兩種情況，并根據圖進一步觀察并比較這兩種情況在操作過程中的異同點。學生逐步從具體形象思維到抽象思維明晰“混淆點”，發(fā)現算理：“首尾不同”時，兩種物體一一對應，所以它們的數量相等；而“首尾相同”時，兩種物體一一對應后必定有一種物體還余1，所以在首尾位置上的物體要多1。

三、“聯(lián)系”，積累構建的經驗

（一）新舊鏈接

布魯納說：無論我們選教什么學科，務必使學生理解該學科的知識結構。教學中，要用聯(lián)系的觀點進行新知識和舊知識的鏈接，把數學知識結構轉化為學生的認知結構，使學生自覺嘗試從舊知到新知的生長。如蘇教版教材六年級“百分數的認識”一課，本課的生長點是“分數的意義”。教師引導學生解決“誰投球最準”的問題，讓學生經歷了“比較投球命中率”的過程，也就是將分數“進化”成百分數的過程，幫助學生借助“分數的意義”自主理解“百分數的意義”，實現從分數到百分數的遷移生長。

（二）方法融會

在解決數學問題的過程中，學生會產生不同的解法。對于這些解法，如能引導學生融會貫通，發(fā)現其“殊途同歸”的實質，則有利于學生形成會變通的思維。例如，在推導梯形面積計算公式時，有的學生用兩個完全相同的梯形拼成平行四邊形，得到：（上底+下底）×高÷2；有的學生將梯形分成兩個三角形，得到：上底×高÷2+下底×高÷2；也有的學生把梯形沿著中線剪開，再拼成一個平行四邊形，得到：（上底+下底）×（高÷2）。將這些貌似不同的方法進行比較整理，發(fā)現都可以表達為：（上底+下底）×高÷2。在數形結合的探索和各種思路的碰撞中，學生的思維得到拓展和發(fā)散，最終發(fā)現“萬變不離其宗”，所有思路全部落實到“轉化”這一核心策略，所有算式也全部歸于梯形面積計算公式，從而獲得變通的思維經驗。

（三）正誤對話

大哲學家黑格爾說：“錯誤本身乃是達到真理的一個必然環(huán)節(jié)?！睌祵W課堂上，“正”“誤”往往同時發(fā)生，這兩者都真實地反映著學生的思維活動、心理活動和學習情況。例如，在教學兩位數加一位數的筆算時，學生嘗試計算6+48，出現了正、誤兩種豎式，教師請學生對比評述。有的學生指出：這個豎式把6和十位對齊了。有的學生接著補充：6在個位上，應該和8對齊。還有的學生進一步提出：這個算式等于48+6，可以列成48+6的豎式嗎？在層層深入的對話中，學生對“誤”進行了剖析，對“正”（數位對齊）有了更準確、深刻的認識，獲得了反思能力的提升。

綜上所述，要想學生能學習更深層次的數學知識，探究更深奧的數學世界，學生就必須探究數學理論中蘊含的聯(lián)系，堅定地追求數學公式的本質，經過一步步的探究了解數學思維的起源，從而奠定良好的數學思維能力。學生的數學思維活動雖然比較隱秘，但它是學生發(fā)展數學學科核心素養(yǎng)的基礎和元動力。若能恰當運用比較的方法，從學生的知識和心理起點出發(fā)，精心選取并組織教學材料，創(chuàng)設“求同”“辨異”“聯(lián)系”等思維活動的契機，則能讓學生在辨析、推理、構建、反思等過程中溝通知識間的異同、承接、遞進，從而優(yōu)化學習過程，積累思維活動經驗，提高思維能力。