王柳萍

[摘 要]數(shù)學(xué)知識可謂是取之于生活，用之于生活，從生產(chǎn)生活中總結(jié)抽象出的，最終用來解決生產(chǎn)生活中的相關(guān)問題的。讓學(xué)生參與綜合實(shí)踐活動，在動手操作和體驗(yàn)式探究中感悟數(shù)學(xué)知識的起源和生成過程，認(rèn)真觀察、動腦思考，理論結(jié)合實(shí)際，手腦并用，實(shí)踐與理論循環(huán)印證，有利于學(xué)生透徹理解知識本質(zhì)，融會貫通，形成扎實(shí)過硬的學(xué)習(xí)技能。

[關(guān)鍵詞]動手操作;植樹問題;間隔數(shù)

[中圖分類號] G623.5[文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A[文章編號] 1007-9068（2021）20-0037-02

教學(xué)中，一部分教師舍不得放手讓學(xué)生去開展活動，深入體驗(yàn)，觀察生活現(xiàn)象，并帶著疑問和目的去動手操作，再動腦反思其中的奧秘和道理，而是將現(xiàn)成的結(jié)論教給學(xué)生，強(qiáng)制學(xué)生機(jī)械記憶和模仿練習(xí)，然后打出練習(xí)“組合拳”，以期達(dá)到理解、鞏固知識的目的。這樣做，無法啟迪智慧，也嚴(yán)重阻遏了學(xué)生思維品質(zhì)的提升，扼殺了學(xué)生創(chuàng)新精神的萌發(fā)。下面，筆者以人教版教材五年級上冊 “植樹問題”教學(xué)為例，引導(dǎo)學(xué)生動手操作，幫助學(xué)生探尋規(guī)律，讓學(xué)生從中感悟數(shù)學(xué)知識的起源和生成過程，從而透徹理解知識本質(zhì)，融會貫通，形成扎實(shí)過硬的學(xué)習(xí)技能。

一、動手操作參與實(shí)踐活動，創(chuàng)設(shè)情境揭示規(guī)律

設(shè)計(jì)一：參與實(shí)踐活動

【例1】學(xué)校門口有一條6米長的鵝卵石小路，一邊要植上棕櫚樹，每隔2米植一棵（兩端都要植），需要幾棵棕櫚樹？（教師用課件展示）

師：請小組合作探究，并交流討論。

（學(xué)生積極思索，熱烈討論，小組發(fā)言人代表發(fā)言）

組1：我們小組列式6÷2=3，故需要3棵棕櫚樹。

師：組1的答案是否正確？（贊成者有之，反對者有之，各執(zhí)一詞，相持不下）

組2：我們組的意見是需要4棵棕櫚樹，但不會列算式。

師：既然眾說紛紜，無法統(tǒng)一，那么我們就做一次場景還原，模擬實(shí)驗(yàn)，親自動手勘驗(yàn)測量，用事實(shí)說話，孰是孰非，到時(shí)自見分曉。

（讓學(xué)生裝扮成棕櫚樹，用列隊(duì)方式模擬植樹。教室的地板磚為正方形，每塊的邊長是1米，教室的寬正好是6米，每隔2米站一人，排頭排尾各站一人，分別代表兩個(gè)端點(diǎn)植樹，看一共站了幾名學(xué)生。）

（學(xué)生非常主動，排好隊(duì)后，認(rèn)真觀察和清點(diǎn)人數(shù)：發(fā)現(xiàn)隊(duì)伍里站了4人。

師：組2的答案正確，是怎么回事呢？怎么列式？

課件播放還原植樹情境（如圖1）：

填空：6米長的鵝卵石小路的一邊，每隔2米植一棵棕櫚樹，有________段間隔，一共要植________棵樹，按這種算法，植樹的棵數(shù)比間隔的段數(shù)________。（學(xué)生迅速填完空，找到解題方法，并且從中總結(jié)出規(guī)律）

師：本題中，鵝卵石小路的一邊兩端要植樹，故植樹的棵數(shù)比間隔的段數(shù)多1，本題算式為6÷2+1=4（棵）。

我們總說，分析解決問題時(shí)要化繁為簡，化難為易，也就是運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想將復(fù)雜的問題簡單化，但是，即使是最簡單的基礎(chǔ)模型，也要通過操作活動才能深刻地揭露其中的規(guī)律，然后將這個(gè)規(guī)律作為特殊案例，通過合情推理推廣到一般情況，最后歸納出解決這類問題的一般法則。如先讓學(xué)生通過排隊(duì)的方式直觀感知在兩端都站人的情況下，站隊(duì)人數(shù)比間隔數(shù)多1，然后通過課件展示，得出類似的規(guī)律：兩端都植樹的情況下，3段間隔可以植樹4棵。

二、動手畫圖，融會貫通發(fā)展變式

設(shè)計(jì)二：動手畫線段圖

【例2】一根角鐵長10米，工人師傅要用手鋸把它平均鋸成5段，每鋸斷一次耗時(shí)8分鐘，工人師傅鋸?fù)赀@根角鐵需要多久？（教師用課件展示）

師：大家在草稿本上畫線段圖來演示鋸角鐵的過程，小組合作探究。

組1：我們小組認(rèn)為，10米長的角鐵，平均鋸成5段，除去兩頭，還有4個(gè)切口，因此需要鋸4次（如圖2），每鋸一次用8分鐘，因此，算式為（5-1）×8=32（分鐘），故鋸?fù)赀@根角鐵一共要花32分鐘。

師：這一做法正確嗎？

生（齊）：對。

師：組1回答得非常正確，算理也解釋得非常清楚。這充分表明，大家動手畫線段圖時(shí)真正做到動腦思考，用心揣摩。

植樹問題只是一個(gè)通用模型，如果按照集合映射的理論來考慮，就會得到很多變式：如“鋸木頭問題”，鋸開的次數(shù)與鋸成的段數(shù)相差1;“上樓梯問題”，樓層號與爬升樓梯的層數(shù)相差1;“敲鐘問題”，鐘聲敲響的次數(shù)與停頓次數(shù)相差1;“結(jié)繩問題”，繩子打結(jié)個(gè)數(shù)與繩子分段數(shù)相差1……這些都是植樹問題的變式，雖然形式各異，但是反映的都是兩個(gè)相關(guān)變量（植樹棵數(shù)與間隔段數(shù)）的“非一一對應(yīng)關(guān)系”，其中一個(gè)量隨著另一個(gè)量等差遞增時(shí)，始終保持恒定為1的級差。

三、積極思考，合理猜測促使問題順利解決

設(shè)計(jì)三：動腦思考，積極猜想

【例3】在一條長100米的鵝卵石小路一邊植樹（兩頭都植），原來每4米栽一棵女貞樹，現(xiàn)改為每隔5米栽一棵女貞樹，共有（?）棵女貞樹不必移栽。

A.4 B.5? C.6? D.7

師（用課件展示圖3）：請根據(jù)前面學(xué)過的方法和總結(jié)的規(guī)律，開動腦筋、細(xì)心推算，小組合作交流。

組1：鵝卵石小路兩頭的女貞樹不必移栽，因?yàn)槊扛?0米處原來的女貞樹和現(xiàn)在的女貞樹重合，因此從任意一頭算起（不算兩端），在20米處、40米處、60米處、80米處共4處女貞樹重合，再加上兩頭的2棵樹，共有6棵樹不必移栽（如圖4），故選C。

師：非常好，思路清晰，分析到位，其他同學(xué)的結(jié)論怎么樣？

組2：因?yàn)樗阒睾系呐憳鋾r(shí)，要從一頭算起，所以原來栽種的女貞樹為（一頭除外）100÷4=25（棵），現(xiàn)在栽種的女貞樹為（一頭除外）100÷5=20（棵），重合的女貞樹數(shù)量為25-20+1=6（棵），故選C。

師：有理有據(jù)，分析精到。說明同學(xué)們做了獨(dú)立思考，有了自己的主見，通過動手操作、合作探究，將難題破解，值得褒獎。

【例4】圓形水池的周長是150米，如果沿著這水池內(nèi)圈一周每隔15米安裝一個(gè)噴頭，一共需要安裝幾個(gè)噴頭？（教師用課件展示）

師：通過前期的研究學(xué)習(xí)，同學(xué)們對植樹問題有了深刻而清醒的認(rèn)識，本題屬于植樹問題中的圓形路線植樹的變式，同學(xué)們?nèi)匀豢梢圆扇D示法或者假想推演法完成。

生1：我采用的是圖示法，把150米的圓周平均分成10份，這樣一來就出現(xiàn)10個(gè)等分點(diǎn)，每個(gè)等分點(diǎn)處安裝一個(gè)噴頭，一共就要安裝10個(gè)噴頭，所列算式是150÷15=10（個(gè)），一共需要安裝10個(gè)噴頭。

師：非常正確。還有其他方法嗎？

生2：圓周上等距（優(yōu)弧和劣弧等長）的兩點(diǎn)可以將圓周切成等長的兩段，等距的三點(diǎn)則能切成等長的三段，同理，等距的10點(diǎn)則能將圓周切成等長的10段，這樣把周長為150米的圓形水池切成等長的10段，正好每隔15米安裝一個(gè)噴頭。算式為150÷15=10（個(gè)），一共需要安裝10個(gè)噴頭。

師：說得真精彩！算理揭示得一清二楚。

師（總結(jié)）：通過動手操作、細(xì)心觀察、認(rèn)真思考、合理猜想等，大家都熟練掌握了解決植樹問題的各種技巧。其實(shí)解決植樹問題是有規(guī)律可循的，這就需要我們一步步去揭曉其規(guī)律。

核心素養(yǎng)反映小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的魂，教師應(yīng)在傳授數(shù)學(xué)知識和技能的同時(shí)，注重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)離不開教學(xué)的引導(dǎo)者——教師，離不開具體的教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)過程，離不開教學(xué)活動的評價(jià)體系。因此只有在具體的數(shù)學(xué)教學(xué)中，重視核心素養(yǎng)、圍繞核心素養(yǎng)設(shè)計(jì)教學(xué)活動，帶領(lǐng)學(xué)生參與豐富多彩的數(shù)學(xué)實(shí)踐活動，使學(xué)生在實(shí)踐中長知識、長才干，學(xué)會解決生活中的數(shù)學(xué)問題。

（責(zé)編 黃春香）