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        定比分點(diǎn)的幾種形式在高考中的應(yīng)用

        2021-08-05 07:31:56楊偉達(dá)
        數(shù)理化解題研究 2021年16期
        關(guān)鍵詞:分點(diǎn)拋物線人教版

        楊偉達(dá)

        (廣東省廣州市花都區(qū)第二中學(xué) 510800)

        縱觀近幾年高考題,筆者發(fā)現(xiàn)定比分點(diǎn)在現(xiàn)成的人教版教材不作要求,但它卻是平面向量的一部分(人教版必修4第99頁(yè)例8),在數(shù)學(xué)教材的思考、探索之中,在歷年的高考中都能夠捕捉到它的影子.

        一、向量形式

        定比分點(diǎn)作為向量分解的補(bǔ)充,以三角形形式在高考中累累呈現(xiàn),常常考查基向量系數(shù)或比值,對(duì)提高學(xué)生的邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)具有重要意義.

        特別地,當(dāng)點(diǎn)P為線段P1P2的中點(diǎn)時(shí),此時(shí)λ=1有

        又因?yàn)锽、C、D三點(diǎn)共線,所以

        因?yàn)椤鰽BC中,AB=4,AC=3,∠BAC=90°

        二、坐標(biāo)形式

        定比分點(diǎn)以線段的形式出現(xiàn),常常轉(zhuǎn)化為坐標(biāo),結(jié)合方程思想求出;另一種方式根據(jù)向量的分解,依托三角形法則分解未知向量,化為基本量,用坐標(biāo)法即可解決.這些在解析幾何或空間立體幾何中時(shí)常呈現(xiàn),在高考中是一種習(xí)以為常的題型.

        設(shè)P1、P2的坐標(biāo)分別是(x1,y1),(x2,y2)

        分析本題考查了橢圓與直線的綜合問(wèn)題.題目給出分點(diǎn)坐標(biāo)和比值,采用坐標(biāo)法代入,列方程組轉(zhuǎn)化為關(guān)于一元二次函數(shù)即可將問(wèn)題解決.

        解設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),

        即x1=-2x2,y1=3-2y2.

        所以當(dāng)m=5時(shí),點(diǎn)B橫坐標(biāo)的絕對(duì)值最大,最大值為2.

        (1)求證:CD⊥平面PAD;

        (2)求二面角F-AE-P的余弦值;

        分析本題考查了立體幾何的線面垂直、二面角、線面關(guān)系.關(guān)鍵是分點(diǎn)F和分點(diǎn)G.第二、三問(wèn)涉及定比分點(diǎn),題目已知端點(diǎn)坐標(biāo)和比值,用三角形法則或坐標(biāo)法即可求得.

        三、坐標(biāo)形式拓展

        例4(2015浙江)如圖6,設(shè)拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F,不經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)的直線上有三個(gè)不同的點(diǎn)A,B,C,其中點(diǎn)A,B在拋物線上,點(diǎn)C在y軸上,則△BCF與△ACF的面積之比是( ).

        分析本題考查拋物線與直線相交的綜合問(wèn)題.利用等高不同底原理把面積比轉(zhuǎn)化為線段之比,再利用相似比轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)比,結(jié)合拋物線的定義問(wèn)題即可解決.

        當(dāng)然,定比分點(diǎn)的代數(shù)形式還與函數(shù)、數(shù)列、不等式等有著千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系,筆者在此沒(méi)有展開,不一一列舉.

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