陸華勇

(江蘇省鹽城生物工程高等職業(yè)技術(shù)學校 224000)

對于高等數(shù)學的各種解題公式而言，泰勒公式屬于利用率較高的數(shù)學基礎公式.然而在解答數(shù)學題目的各個環(huán)節(jié)中，由于某些學生沒有正確選擇以及正確運用數(shù)學解題公式，導致了解答錯誤的產(chǎn)生.并且，很多學生對于數(shù)學泰勒公式習慣于進行套用，那么將會忽視數(shù)學題目的特殊性，無法達到順利解答數(shù)學題目的效果.因此，學生只有正確利用泰勒公式來嘗試自主進行數(shù)學解題的實踐操作，才能逐步鍛煉學生獨立完成高等數(shù)學解題操作的實踐能力.

一、泰勒公式的基本定理內(nèi)容

泰勒公式包含如下的基本定理內(nèi)容：首先設計x0的函數(shù)點，確定該點經(jīng)過f(x)的函數(shù)曲線，進而引出n+1作為特定范圍的導函數(shù).在此基礎上，再次設計x的另一個函數(shù)點，并且確定x與x0之間的某個特殊函數(shù)區(qū)域，因此引出f(x)=1/2*(x-x0)2*f(x0)+(x-x0)2*f(x0)+(x-x0)n*f(x0)(n)/n!的泰勒公式主體內(nèi)容.并且，麥克勞林公式屬于泰勒公式中的子公式，該公式的成立前提為x0值是零.

泰勒公式對于學生探索高等數(shù)學的基礎知識具有重要作用，并且泰勒公式可以用來解答高等數(shù)學中很多類型的題目.學生在合理運用泰勒公式的前提下，對于函數(shù)級別進行降級處理，運用冪級數(shù)來代替題干中原有的函數(shù).通過上述的數(shù)學解題轉(zhuǎn)換，即可保證解題操作環(huán)節(jié)達到難度明顯降低的效果，又能夠增強學生運用泰勒公式來靈活解答高等數(shù)學題的綜合應用能力.例如對于近似值在進行求解的環(huán)節(jié)中，泰勒公式的正確運用將會起到明顯簡化解題流程的目標，增強了學生獨立解答高等數(shù)學難題的信心.

在高等數(shù)學的實踐領域中，麥克勞林公式與泰勒公式都可以用于求解函數(shù)極限，學生應當善于分辨母公式與子公式存在的差異，正確選擇解題公式的類型.為了保證高效解答高等數(shù)學題，那么在高等數(shù)學科目的日常解題訓練中必須做到充分利用上述兩個高等數(shù)學公式，對于高階導數(shù)以及其他的高等數(shù)學函數(shù)題目展開深入的題干剖析.并且，學生需要做到在教師的解題引導下，靈活結(jié)合數(shù)學函數(shù)題的隱含內(nèi)容來實施正確的公式選擇.學生在學習泰勒公式時，需要做到整體把握泰勒公式的內(nèi)涵，將其運用于解答多種不同類型的函數(shù)題目.

二、在高等數(shù)學解題中運用泰勒公式的具體實例

函數(shù)題目在高等數(shù)學題目中占有較高的比例，并且函數(shù)題目普遍具有繁瑣的解答步驟.通常情況下，學生對于函數(shù)題目的題干基本內(nèi)容必須進行逐層的分析，按照由淺入深的順序來剖析函數(shù)題目，然后選擇適合解答函數(shù)題目的數(shù)學公式.在解答高等數(shù)學題中，正確運用泰勒公式主要包含如下幾點：

1.解答高階導數(shù)的高等數(shù)學題目

與高階導數(shù)有關的數(shù)學函數(shù)題目呈現(xiàn)多種不同的題干表述形式，學生對于題干在進行全面分析時，必須善于結(jié)合高階導數(shù)的基本數(shù)學定理加以詳細的題干分析.在解答高階導數(shù)類型的數(shù)學題目時，學生對于泰勒公式應當嘗試結(jié)合運用，充分利用高階導數(shù)與泰勒公式之間的關聯(lián)性來解決高等數(shù)學難題.反之，學生如果局限于利用通項公式的解題視角，那么很難給出高階導數(shù)的正確解題思路.在某些情況下，學生還會出現(xiàn)混淆非正極數(shù)與正極數(shù)的現(xiàn)象，造成同學們給出錯誤的高等數(shù)學題答案.因此可以判斷出，高階導數(shù)類的高等數(shù)學題主要適用泰勒公式來進行解答.

例如，給出如下的高等數(shù)學題：已知AB的兩個數(shù)值，并且與之有關的函數(shù)式為Ax+1/Bx+1=ex，x是趨向于零的.并且，題干給出的函數(shù)式具有三階無窮小的特征(相對于未知數(shù)x而言).在此基礎上，要求同學們利用所學的泰勒公式來判斷AB的數(shù)值.學生對于此類數(shù)學題目應當首先聯(lián)想泰勒公式相關的基礎數(shù)學定理，然后嘗試展開題干中的函數(shù)式，并且分析歸納AB的數(shù)值.

具體在利用泰勒公式展開函數(shù)式的過程中，應當給出如下的正確函數(shù)式：Bx+x+A+1/2!*x2+1/3!*x2=ex.并且經(jīng)過泰勒公式的變換處理后，對于變換后的函數(shù)式還可以寫成1-Bx+Bx2=ex的新函數(shù)式.據(jù)此可以歸納出，B-A+1的數(shù)值為零，而且AB-B*B+1/2的數(shù)值也是零.學生通過運用以上的題目題干轉(zhuǎn)換方式，將會給出AB同為1/2的正確題目答案.

2.解答函數(shù)極限與函數(shù)極值類型的題目

函數(shù)極值與函數(shù)極限都屬于數(shù)學函數(shù)題目中的側(cè)重點，同時也具有很大的解答難度.學生在解答函數(shù)極限以及函數(shù)極值類型的數(shù)學題時，對于現(xiàn)有的數(shù)學解題技巧必須做到靈活利用，據(jù)此判斷出函數(shù)極限類型題目的正確解答方法.泰勒公式可以用于輔助進行函數(shù)極值類的題目解答，幫助學生準確判斷某些函數(shù)的極值，避免出現(xiàn)判斷失誤的情況.學生在進入題干分析的環(huán)節(jié)后，應當聯(lián)想所學的泰勒公式基礎原理，靈活解答各類的函數(shù)極限題目.

例如，給出函數(shù)極限類的如下數(shù)學題目：x的數(shù)值趨向于零，并且將其設定為函數(shù)極限的前提條件，進而要求學生給出cosx-ex/x2的數(shù)值.經(jīng)過分析能夠判斷出，以上的函數(shù)式帶有明顯的函數(shù)極限性質(zhì)，而x趨向于零就是題目設定的lim極值條件.對于帶有極值特征的函數(shù)式在進行轉(zhuǎn)換時，應當結(jié)合泰勒公式將其轉(zhuǎn)換成為1/4!*x2+1/2!*x2=ex的函數(shù)式，然后判斷出limx趨向于零的函數(shù)式數(shù)值為-1/10.

除此以外，對于無窮小的函數(shù)階數(shù)特征在進行表達時，一般來講也可利用泰勒公式作為解題的輔助.某些函數(shù)階數(shù)在特定區(qū)域中可以達到無窮小的狀態(tài)，那么運用泰勒公式能夠進行正確的表述，增強了學生對于函數(shù)階數(shù)性質(zhì)類題目的解題實踐水平.在平時的解題訓練中，學生有必要多接觸泰勒公式有關的數(shù)學函數(shù)題目，逐步加深學生利用泰勒公式來思考題目以及解答題目的印象.

3.解答函數(shù)斂散性類型的題目

廣義積分類型的高等數(shù)學題目呈現(xiàn)較大的解答難度，但是在引入泰勒公式的基礎上，函數(shù)的斂散性將會得到充分的呈現(xiàn)，有效保證了函數(shù)題目解答思路的正確性.在多數(shù)情況下，函數(shù)表達式在特定的組合方式基礎上，將會形成通項公式，并且代表特定的函數(shù)級數(shù).因此為了達到正確理解函數(shù)斂散性的目的，則不能缺少泰勒公式在實踐中的靈活運用.函數(shù)斂散性的高等數(shù)學定理主要涉及到判斷廣義積分的性質(zhì)，在此過程中，泰勒公式具有不可忽視的解題利用價值.

此外，學生對于解答斂散性有關的高等數(shù)學題目還要充分利用函數(shù)二次開方的相關定理與公式.在二次開方的前提下，1/n的函數(shù)斂散性將會得以充分的呈現(xiàn)，進而體現(xiàn)了函數(shù)斂散性運用于解答廣義積分類型題目的重要作用.因此在確定函數(shù)斂散性的過程中，泰勒公式能夠達到較好的數(shù)學公式運用效果.

三、泰勒公式運用于高等數(shù)學解題的實踐要點

1.緊密結(jié)合高等數(shù)學的解題過程以及公式運用過程

高等數(shù)學包含比較繁瑣的審題環(huán)節(jié)與題目解答步驟，體現(xiàn)了獨立解題能力在解答題目中的作用.目前看來，很多學生雖然能夠準確記憶泰勒公式，但是仍然沒能達到靈活選擇泰勒公式及其子公式的數(shù)學學習目標，那將會造成高等數(shù)學的審題過程與數(shù)學解題過程存在很大的操作難度，并且造成學生厭倦高等數(shù)學的情緒.因此，對于泰勒公式學生不僅需要能夠準確表述其內(nèi)涵，更應當不斷嘗試靈活運用泰勒公式，緊密結(jié)合解題過程以及公式選擇過程.

泰勒公式較多運用在求解函數(shù)極限的實踐中，但是，一般來講求解函數(shù)極限有關的數(shù)學問題，題干具有很大的理解難度.學生在審題時一旦陷入了判斷誤區(qū)中，那么無法達到精確掌握泰勒公式運用要點的目的，還可能會混淆泰勒公式與相似的數(shù)學函數(shù)公式.為此，學生在初步學習泰勒公式時，就要做到緊密結(jié)合函數(shù)題目的詳細解題過程，保證泰勒公式被充分運用于各個解題環(huán)節(jié)中.

2.透徹理解泰勒公式內(nèi)涵

泰勒公式并不局限于單獨的數(shù)學函數(shù)公式，而是包含了主體公式與子公式的兩個重要部分.因此在理解泰勒公式時，前提是學生已經(jīng)具備了函數(shù)基礎知識、導數(shù)知識與冪級數(shù)知識等關鍵的高等數(shù)學科目基礎知識.學生只有充分掌握以上的數(shù)學基礎知識部分，才能對泰勒公式形成深刻的理解，進而對于泰勒公式做到正確利用.對于高等數(shù)學科目的日常教學來講，學生應當在數(shù)學教師的課堂引導下，首先掌握泰勒公式及其基本原理，然后調(diào)用同學們目前所學的其他數(shù)學基礎定理內(nèi)容來理解泰勒公式，如此才能保證泰勒公式的學習達到最佳的效果.

在學習子公式的過程中，學生必須嚴格區(qū)分子公式以及母公式，明確限定運用以上兩個數(shù)學公式的條件.這是由于，子公式與母公式的特征具有相似性，客觀上將會造成較大的公式混淆的可能性.為了嚴格區(qū)分兩個不同數(shù)學公式，學生應當增強對于公式成立前提要素的理解.在設定已知的公式成立條件時，應當充分結(jié)合不同數(shù)學公式之間的差異性，杜絕產(chǎn)生混淆相似數(shù)學公式的情況.

3.正確選擇泰勒公式及其子公式

泰勒公式的正確利用以及靈活利用構(gòu)成了解答數(shù)學題的關鍵前提.因此，正確運用泰勒公式可以促進學生深入挖掘函數(shù)題目隱藏條件，對于審題難度也能全面的簡化.在解題訓練的環(huán)節(jié)中，學生不僅要做到正確區(qū)分數(shù)學公式，同時還要有效利用解答函數(shù)題的技巧，逐步鍛煉學生選擇公式與利用公式的實踐能力.

從表面上來看，泰勒公式的學習過程以及解題運用過程都存在較大難度.但是學生一旦做到了透徹理解泰勒公式的基礎內(nèi)容，就可以不斷嘗試泰勒公式在日常解題中的有效運用.為了達到數(shù)學解題質(zhì)量明顯提升的目標，學生對于泰勒公式在進行學習時，應當正確辨析泰勒公式與其他的數(shù)學解題公式，不能局限在泰勒公式的簡單解題套用過程.實際上，學生如果要達到熟練選擇公式以及運用公式的水準，唯有經(jīng)過反復的函數(shù)題目解題訓練才能真正實現(xiàn).

在高等數(shù)學題目的日常解題訓練中，數(shù)學教師有必要引導學生全面剖析數(shù)學題目的題干，對于隱藏的數(shù)學題干條件做到充分挖掘.學生若能做到深入挖掘隱藏的數(shù)學題干表述內(nèi)容，則可以做到充分簡化數(shù)學解題的思路，避免高等數(shù)學解題誤區(qū)的產(chǎn)生.學生應當正確運用泰勒公式于解答數(shù)學題目中，增強靈活運用泰勒公式來進行解題操作的能力.