王松英

[摘? 要] 文章以4的平方根計算失誤為例，具體闡述在初中數(shù)學(xué)計算中常見的失誤原因有思維定式的影響、新舊認(rèn)知沖突與程序跳躍性錯誤等. 為了避免這些問題對計算的影響，筆者從順應(yīng)學(xué)生認(rèn)知發(fā)展需求，認(rèn)識計算與結(jié)果的關(guān)系和建立概念與符號的認(rèn)識三方面出發(fā)提出相應(yīng)的教學(xué)建議.

[關(guān)鍵詞] 平方根;計算;思維定式

運算能力是初中學(xué)生必備的基本技能之一. 新課標(biāo)明確提出：“要注重學(xué)生的符號意識、數(shù)學(xué)感覺與運算能力等的培養(yǎng)[1] . ”計算作為體現(xiàn)運算能力的重要指標(biāo)之一，在數(shù)學(xué)教學(xué)中具有舉足輕重的作用. 但從當(dāng)前學(xué)生的實際計算水平來看，總存在著一些不盡如人意的地方，不少學(xué)生在一些簡單的計算中出現(xiàn)失分的現(xiàn)象讓人感到十分惋惜. 鑒于此，筆者以4的平方根計算失誤為例，具體剖析計算失誤常見的原因，并提出幾點教學(xué)建議.

常見計算失誤原因

1. 思維定式的影響

從心理學(xué)角度來看，思維定式是一種習(xí)慣性的反應(yīng)，它具有促進(jìn)問題解決與阻礙問題解決的雙重效應(yīng). 在初中數(shù)學(xué)計算中，學(xué)生受小學(xué)計算經(jīng)驗的影響，容易出現(xiàn)一些因思維定式產(chǎn)生的計算錯誤. 筆者在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)高頻率出現(xiàn)的受思維定式影響的計算錯誤有：（a+b）2=a2+b2;sin（A+B）=sinA+sinB;4的平方根為2等.

出現(xiàn)4的平方根為2的錯誤，從思維定式的角度分析，主要因小學(xué)時期對數(shù)的認(rèn)識僅僅停留在正數(shù)上，對有理數(shù)尚未形成一個完備的體系，習(xí)慣性地認(rèn)為4的平方根為2，而忽略了-2這個結(jié)論.

2. 新舊認(rèn)知的沖突

新知的構(gòu)建都是建立在舊知的基礎(chǔ)上的，而新知替代舊知必須經(jīng)歷一個矛盾沖突的過程，有些學(xué)生在此過程中容易產(chǎn)生計算上的錯誤. 在對算術(shù)平方根有一定認(rèn)識的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)平方根時，在概念模糊的狀態(tài)下，學(xué)生更傾向于用已有的知識結(jié)構(gòu)代替新知，或?qū)烧吆隙橐坏厥褂?

計算4的平方根時，學(xué)生因無法清晰地辨識平方根與算術(shù)平方根這兩個概念，而將它們混為一談，在模棱兩可中出現(xiàn)偷梁換柱的現(xiàn)象. 理所當(dāng)然地認(rèn)為2的平方為4，那么4的平方根必然為2.

3. 程序跳躍性錯誤

教學(xué)中，我們常發(fā)現(xiàn)一些計算能力較強(qiáng)的學(xué)生在計算時條理清晰，過程明朗. 但一些運算能力較弱的學(xué)生，計算的精確度就大打折扣，尤其是涉及混合運算的計算，有些學(xué)生懶得書寫計算步驟，從而出現(xiàn)程序跳躍性錯誤，這也是初中數(shù)學(xué)計算中最常見的錯誤原因之一. 如一元二次方程的計算，一些學(xué)生未能掌握移項、去括號、合并同類項等計算順序，導(dǎo)致因程序混亂而出現(xiàn)計算錯誤.

平方根概念的形成主要建立在方程思想上，而方程思想又建立在代數(shù)結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上形成一種正序或倒序的綜合體，這種綜合體是正向思維與逆向思維的體現(xiàn). 表征4的平方根時需要動用逆向思維，這給部分學(xué)生帶來了一定的思維障礙，從而出現(xiàn)程序跳躍性的錯誤，單純地認(rèn)為4的平方根為2.

避免計算錯誤的教學(xué)建議

學(xué)生出現(xiàn)的任何錯誤信息表征都與教學(xué)有著千絲萬縷的聯(lián)系. 作為教師，應(yīng)剖析學(xué)生計算錯誤形成的根本原因，從而改進(jìn)教學(xué)設(shè)計與教學(xué)方式，以提高學(xué)生的運算能力. 筆者在近些年的教學(xué)中，著手研究了如何避免計算錯誤發(fā)生的教學(xué)方法. 在此，提出以下幾點教學(xué)建議.

1. 順應(yīng)學(xué)生認(rèn)知發(fā)展需求

皮亞杰的認(rèn)知發(fā)展理論中提到：兒童認(rèn)知發(fā)展的第三和第四階段是具體運算階段與形式運算階段. 其中，第三階段（即具體運算階段）的兒童思維活動離不開具體事物或內(nèi)容的支持，而第四階段（即形式運算階段）的兒童思維則不需要具體事物或內(nèi)容支撐 [2].

例如平方根這部分知識的學(xué)習(xí)，該時期學(xué)生的認(rèn)知水平還處于具體運算階段或三四階段的交界處. 此時若想獲得平方根知識，自然離不開具體事物或內(nèi)容的支持. 因此，教師可借助具體的事物幫助學(xué)生實現(xiàn)平方根知識的內(nèi)化.

在練習(xí)中，教師也不能將眼光只停留在問題的答案是否正確上，更重要的是鼓勵學(xué)生將概念獲得的過程與結(jié)果完整地表述出來. 如求出4的平方根，可鼓勵學(xué)生如此表達(dá)：因為（±2）2=4，所以4的平方根為±2. 將所表達(dá)的信息看作一種習(xí)慣或固定形式來執(zhí)行，就容易形成一種條件反射. 學(xué)生在個案中強(qiáng)化對概念的認(rèn)識，對于一些習(xí)慣于過程型導(dǎo)向的學(xué)生效果尤為明顯.

將整體學(xué)習(xí)分解為一個個局部記憶，學(xué)生在“刺激——反應(yīng)”的慣性中逐漸實現(xiàn)量變到質(zhì)變的飛躍，這為提升學(xué)生的思維搭建了良好的平臺. 因此，順應(yīng)學(xué)生認(rèn)知發(fā)展的規(guī)律，完整學(xué)生計算練習(xí)的過程是避免計算錯誤發(fā)生的基礎(chǔ).

2. 認(rèn)識計算與結(jié)果的關(guān)系

為了讓學(xué)生理解計算規(guī)律，掌握計算技巧，教師真可謂是費盡心機(jī). 不少教師將學(xué)生引入他們所熟悉的運算領(lǐng)域，利用類比的方法來進(jìn)行各種計算，如加減法或乘除法的逆運算等. 在平方根教學(xué)時，將開平方與乘方的逆運算放在一起思考，這種做法無可厚非，但開平方與乘方還是有區(qū)別的，乘方的計算與結(jié)果是一一對應(yīng)的關(guān)系，而開平方則不一定，這就要看運算形式的域與運算結(jié)果的域是否在同一范圍內(nèi).

如有理數(shù)范圍內(nèi)的加法，其結(jié)果對應(yīng)有理數(shù)，而開平方的作用的域是非負(fù)實數(shù)的范圍，其結(jié)果卻是全體實數(shù)，此時就會出現(xiàn)關(guān)于0對稱的正負(fù)實數(shù)，式子與結(jié)論不是逐一對應(yīng)的關(guān)系.

為了讓學(xué)生理解這種非一一對應(yīng)的關(guān)系，教師可通過數(shù)形結(jié)合（見圖1）的方式加深學(xué)生的印象. 這種不是一一對應(yīng)的關(guān)系與后期所學(xué)的點與實數(shù)在數(shù)軸上是一一對應(yīng)的內(nèi)容形成類比. 在平方根階段強(qiáng)調(diào)對應(yīng)思想可為后期的函數(shù)思想做鋪墊，這對后期涉及函數(shù)中自變量x的值與y一一對應(yīng)的教學(xué)大有裨益.

平方根的重要性質(zhì)之一就是計算結(jié)果具有不唯一性的特征，教師強(qiáng)調(diào)計算與結(jié)果不是逐一對應(yīng)的關(guān)系，就是強(qiáng)化學(xué)生對此性質(zhì)的理解. 此知識點的教學(xué)需用一定數(shù)量的計算來訓(xùn)練學(xué)生的熟練性，學(xué)生在練習(xí)中感悟開平方與普通運算的區(qū)別，以形成開平方的條件反射，提高計算正確率.

3. 建立概念與符號的認(rèn)識

符號意識是新課標(biāo)提出的十個關(guān)鍵詞之一，主要指在理解的基礎(chǔ)上用符號來表示數(shù)學(xué)現(xiàn)象的變化規(guī)律或數(shù)量關(guān)系. 符號意識的建立是實現(xiàn)數(shù)學(xué)表達(dá)與思考的重要形式之一. 符號作為理學(xué)科特有的表現(xiàn)形式，其形成經(jīng)歷了漫長而又曲折的過程，具有深厚的文化底蘊與內(nèi)涵. 符號可視為一種特殊的記號，反映了數(shù)學(xué)現(xiàn)象或事物的邏輯關(guān)系或內(nèi)在結(jié)構(gòu)，是誘導(dǎo)學(xué)生思維發(fā)展的刺激物 [3].

平方根的概念就是通過符號信息與文字信息進(jìn)行組合闡述的，在表征平方根信息時可借助符號的功能. 例如表征的主問題是開4的平方根，可先寫± ，再將要執(zhí)行的4代入根號內(nèi)，這樣就能減少丟掉-2的可能. 用這種方式表征的前提是要有良好的符號與概念對應(yīng)意識，將± 與平方根準(zhǔn)確地對應(yīng)起來.

從廣義上來看，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)并不完全是為了知識，知識是文化的表現(xiàn)形式，因此，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)從根本上來說就是文化的傳承. 教師從這個高度來看待數(shù)學(xué)教學(xué)、設(shè)計教學(xué)活動，就會真正起到教書育人的效果. 而傳統(tǒng)的教學(xué)模式是機(jī)械式地向?qū)W生介紹 這個符號，這就顯得過于生硬，學(xué)生也難以消化. 教師可鼓勵學(xué)生參與平方根符號的設(shè)計活動或講述平方根符號形成的歷史文化等，以此為鋪墊引出平方根的符號與概念. 因有數(shù)學(xué)文化的潤澤和活動的支撐，學(xué)生對平方根概念與符號的認(rèn)知建立會更加牢固.

總之，學(xué)習(xí)是一個訓(xùn)練心理與行為能力的復(fù)雜過程. 教學(xué)中的任何一個細(xì)節(jié)都會對學(xué)生的認(rèn)知產(chǎn)生一定的影響. 作為數(shù)學(xué)教師，應(yīng)立足于學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展需求與規(guī)律，重視學(xué)生計算能力的培養(yǎng)，根據(jù)學(xué)生的興趣全方位地關(guān)注整個教學(xué)過程，避免因思維定式、新舊知識互相影響以及程序錯誤而導(dǎo)致一些計算錯誤的發(fā)生.

參考文獻(xiàn)：

[1]中華人民共和國教育部. 全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)[S]. 北京：北京師范大學(xué)出版社，2011.

[2]鄭毓信，梁貫成. 認(rèn)知科學(xué)——建構(gòu)主義與數(shù)學(xué)教育[M]. 南京：江蘇教育出版社，1999.

[3]張慶林. 走進(jìn)學(xué)生心靈? 把握教學(xué)細(xì)節(jié)——談輕負(fù)高質(zhì)的數(shù)學(xué)教學(xué)策略[J]. 初中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2016（16）.