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        《數(shù)學分析》初學中存在的問題及其成因

        2021-07-28 07:34:32王雅萱
        速讀·上旬 2021年1期
        關鍵詞:數(shù)學分析數(shù)學學習學習能力

        王雅萱

        ◆摘? 要:《數(shù)學分析》學習是個難點。本文分析大一學生在概念定義、數(shù)學觀念、問題解決、知識結構、自主自學和數(shù)學思考等方面存在問題及其成因,以提高《數(shù)學分析》教和學的效果。

        ◆關鍵詞:《數(shù)學分析》;數(shù)學學習;學習能力

        《數(shù)學分析》內容理論性比較強,抽象嚴謹,客觀上給學生造成了理解難度,初次學習不易獲得學習成功感受。多數(shù)學生被動學習《數(shù)學分析》,表現(xiàn)為死記硬背,不求甚解,套用教材例題完成作業(yè),學習《數(shù)學分析》僅為了考試通過,缺乏學習興趣和動機。本文針對目前大一學生學習《數(shù)學分析》存在問題及原因進行探討,或許對《數(shù)學分析》教與學有所啟發(fā)。

        1概念定義方面

        《數(shù)學分析》概念是《數(shù)學分析》思維基本形式,而概念的形式化和符號化結果是概念定義,是抽象的。學生能夠理解概念表象,但并不能運用概念定義按照邏輯規(guī)則證明命題或解決問題,尤其不能用概念定義構造思路,表現(xiàn)為概念內涵理解不到位。如,學習了函數(shù)極限ε–δ多種定義后,不會利用定義證明函數(shù)極限題目,不能表達“因變量變化趨勢”與“自變量變化范圍或鄰域”之間的相互依賴的量的關系。這些問題產(chǎn)生緣由,一方面在于學生思維方式還處于初等數(shù)學經(jīng)驗型,沒能過渡到形式化思維,對于定義中涉及到符號邏輯關系理解不清。學生對概念的建構也僅僅是處在一個程序階段,沒有進入抽象階段。所以,他們難以建立來自于數(shù)學結構的思維方式。另一方面在于教師教學時,沒有創(chuàng)設概念定義的認知圖式,不利于形成豐富的概念具象;沒有從言語、符號、圖形等表征有邏輯地推理式理解,不能形成定義的模式結構,在證明過程中也就不能有效的利用模式定義構建思路。

        2數(shù)學觀念方面

        有的學生認為數(shù)學是一種游戲,學數(shù)學是背記定義定理,套例題,練習習題,要想解決數(shù)學問題必須多練習,借用典型題目是學生常用解題策略,至于其中的數(shù)學思想方法不作為學習任務。學生不去提供實際例子來說明教師的講課內容。對于數(shù)學考試中的問題,在他們看來,研究試題的求解對考試來說是比較有用的,而定理的證明往往不太有用,除非考試前有明確告知。而授課過程中的一些評論或注釋則認為是比較有用的,這大概是因為考試中會涉及到這些知識點的緣由。如,初學《極限與連續(xù)》時,它涉及到極限理論相對抽象,學生不愿思考概念的來龍去脈,只是把重點放在求極限的例習題上。這些問題產(chǎn)生緣由,一方面在于學生在數(shù)學學習經(jīng)歷中形成的傳統(tǒng)認識,以為數(shù)學知識是真理,學生只能復制運用。即使到了高等數(shù)學階段學習,科學數(shù)學觀念仍然沒有建立起來,表現(xiàn)為只注重數(shù)學思維的結果而不注重思維的過程,缺乏批判數(shù)學知識的意識性和主動性,很少去“再創(chuàng)造”自己數(shù)學知識。另一方面在于教師教學時,提供給學生都是一些算法和常規(guī)訓練,這就使得學生在解決這類問題時也慣于進行常規(guī)思維,高水平認知技能得不到鍛煉,《數(shù)學分析》思維也就得不到發(fā)展。機械地傳授知識,沒有引導學生深究知識的來龍去脈,也沒有發(fā)掘學生的數(shù)學發(fā)現(xiàn)能力,學生的數(shù)學觀念得不到有效的糾正。

        3問題解決方面

        學生解決問題僅限于模仿例題完成,獨立地運用所學知識解決實際問題或證明命題感覺不足,課后練習參考答案或抄襲別人情形居多,沒有形成應用《數(shù)學分析》知識解決問題的能力和信心,學生對問題解決表現(xiàn)出一些恐懼,尤其是證明題目,不能從所學知識中構造出解題思路,不能全面地考慮推理過程,不能理解邏輯推理的數(shù)學意義和本質,對于解決數(shù)學問題是旁觀者。產(chǎn)生這些問題緣由,一方面在于學生沿襲以往的解題模式,缺乏條件和結論以及所涉及到的數(shù)學模型的全局性思考,不具備研究性思維方式。另一方面在于教師教學時,為了趕任務和進度,只重視知識傳授,學生數(shù)學思考能力培養(yǎng)不足,沒有在問題解決過程中進行數(shù)學知識和方法學習,沒有采用探究性學習方式。在證明命題教學中,沒有引導學生使用模型、例子、視覺等表達數(shù)學,即解釋數(shù)學,Moore(1994)提出解釋性對話是一種元數(shù)學,證明需要解釋來揭示證明的思想內涵。其次,沒有提出證明的一個全局的視角,即證明框架,Leron(1985)認為證明框架就是意味著證明思路的一個高水平結構的表征,依賴于細節(jié)性知識,可能是一個命題序列,或是一個整體思路。要激發(fā)學生討論各種證明方法和思路,學會構造例子解釋,并體會證明中的推理規(guī)則和邏輯結構。

        4知識結構方面

        學生初學《數(shù)學分析》時,僅掌握一些孤立的定義、定理和例題習題,至于其內在聯(lián)系學生不大注意,認為沒必要搞清楚,只會做題考試就行。學生知識成線性化、條塊化和平面化,沒有形成網(wǎng)絡化、層狀化和立體化,不利于知識的利用和提取。知識間內在聯(lián)系不緊密,不能面對問題提取信息構成解題模式。如,學生學了極限、連續(xù)和導數(shù)后,僅限于孤立內容的數(shù)學問題解決,對于綜合題目以及證明推理問題感到困難。造成問題緣由,一方面在于學生對知識學習的意義沒搞清楚,對知識之間的內在邏輯沒搞清楚,沒有很好地應用知識解決問題,沒有按照數(shù)學家研究數(shù)學的過程體會知識的來龍去脈,正如Tall所說的三個世界的行進:感知—運算—形式化,對所學知識沒能進行反思,知識之間的聯(lián)系和信念也體會不到,沒有形成對知識內容的學習看法。另一方面在于教師教學時,過分強化習題演練,沒有引導對新舊知識的對比分析,對問題解決中的數(shù)學知識思想方法的分析應用強化不夠,沒有對所學知識進行歸納總結,甚至一本書的思想認識的分析串講。

        5自主自學能力

        初學《數(shù)學分析》時,大學生對內容體系和作用意義不夠清楚,沒有應有的內在學習動機和興趣。表現(xiàn)為,不做課前預習,也不做相似教材的比較學習,不能主動地學習《數(shù)學分析》。剛上大學時,也不知道怎樣做筆記,聽老師講課,做作業(yè),面對一堂課這么多的定義定理,又復雜又抽象,感覺到僅靠記憶有些力不從心,必要的學習方法不能及時形成,不能跟蹤教師做好《數(shù)學分析》深度學習。造成這些問題緣由,一方面學生形成《數(shù)學分析》學習方法,仍是慣用高中學習方式,模仿例題做習題,來應付考試,不能抓住《數(shù)學分析》的知識核心本質,體會不到數(shù)學知識的思想方法。另一方面教師教學時,沒有比較初等數(shù)學與《數(shù)學分析》的特點,知識體系結構的形成,以及課程與教學的要求,尤其是大學數(shù)學的形式化、系統(tǒng)化和演繹化的看法,以及這些知識內容背后的探究過程,以至于提供幫助學生理解的具體素材,如具體直觀的表達形式,數(shù)學家發(fā)現(xiàn)知識的原始路徑,專業(yè)知識背景的數(shù)學模型了解等。

        6數(shù)學思考能力

        初學《數(shù)學分析》時,多數(shù)學生沒有發(fā)展起元數(shù)學思考能力,即確信性和解釋性的關系性思考,僅限于操作性思考,也沒有發(fā)展起來辯證思維能力。形式推理能力水平不高,影響著學生對《數(shù)學分析》的知識思考,數(shù)學定義的形式化認識不能有效形成,不能利用概念定義進行證明思路的構造,對數(shù)學知識產(chǎn)生的內在邏輯聯(lián)系搞不清楚,影響著《數(shù)學分析》的進一步學習,沒能實現(xiàn)《數(shù)學分析》改善學生數(shù)學思維方式的目的。造成這方面問題的緣由,一是學生沒有從數(shù)學知識產(chǎn)生的角度體會知識產(chǎn)生的緣由,以及知識產(chǎn)生過程的本原性思考,不能產(chǎn)生對數(shù)學知識系統(tǒng)認識。另一方面,教師教學時,教師過多圍繞知識安排教學,沒有對數(shù)學思考進行引導,沒有從知識思想方法引導學生對知識進行思考,以及批評質疑。在《數(shù)學分析》教學時,要進行辨證分析,進而在合情推理能力訓練的基礎上,關注學生邏輯思維能力的培養(yǎng)。

        大學生在初次學習《數(shù)學分析》中存在許多難以克服的問題,分析其產(chǎn)生緣由,及時查漏補缺,總結反思,有助于掌握《數(shù)學分析》的學習方法,也有助于教師提高《數(shù)學分析》教學的有效性。

        參考文獻

        [1]曹榮榮.理工科大一學生高等數(shù)學思維研究[D].華東師范大學,2011,5.

        [2]Morre,R.Making the transition to formal proof. Educational Studies in Mathematics,1994,27:249-266.

        [3]Leron,U.Heuristic presentations:The role of Structuring. For the learning of Mathematics,1985,5(03):7-13.

        [4]Tall,D.Introducing three worlds of mathematics. For the learning of mathematics,2014,23(03):29-33.

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